Как различать виды дифференциальных уравнений 1 порядка

Типы дифференциальных уравнений

Далее в тексте – функции своих аргументов. Штрих ′ означает производную по аргументу. – постоянные.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Особенности дифференциальных уравнений первого порядка

При решении уравнений первого порядка функцию y и переменную x следует считать равноправными. То есть решение может быть в виде так и в виде .

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной

Уравнения с разделяющимися переменными

;
. Подробнее
Приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными:
Подробнее

Однородные уравнения

Однородные уравнения не меняют свой вид при замене
,
где t – постоянная. При такой замене производная не меняется:
.
В общем виде обобщенно однородные уравнения можно записать посредством однородных функций:
,
где и – однородные функции с равными показателями однородности, то есть обладающие следующим свойством:
.
Общий вид однородных уравнений также можно выразить через произвольную функцию:
. Подробнее

Приводящиеся к однородным
,
где и – однородные функции с равными показателями однородности. В общем виде такие уравнения можно выразить через произвольную функцию:
. Подробнее

Обобщенно однородные уравнения не меняют свой вид при замене
,
где t – постоянная, . Для производной такая замена выглядит так:
.
В общем виде обобщенно однородные уравнения можно записать посредством однородных функций:
,
где и – однородные функции с равными показателями однородности.
Обобщенно однородные уравнения также можно записать через произвольную функцию:
. Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним

• Линейное по y:
• Линейное по f(y):
• Линейное по x:
• Линейное по f(x):

Уравнения Риккати

Уравнения Якоби

Уравнения в полных дифференциалах

Интегрирующий множитель

Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то следует попытаться найти интегрирующий множитель, чтобы свести его к уравнению в полных дифференциалах:
;
. Подробнее

Уравнения, не разрешенные относительно производной y′

Уравнения, допускающие решение относительно производной y′

Сначала нужно попытаться разрешить уравнение относительно производной y′ . Если это возможно, то уравнение может быть приведено к одному из перечисленных выше типов.

Уравнения, не разрешенные относительно производной y′

Уравнения, допускающие разложение на множители:
.
Подробнее
Уравнения, не содержащие x и y:
. Подробнее
Уравнения, не содержащие x или y:
, или . Подробнее

Уравнения, разрешенные относительно зависимой переменной y

Уравнения Клеро:
. Подробнее
Уравнения Лагранжа:
. Подробнее
Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли:
;
. Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения высших порядков, решаемые в квадратурах

Уравнения, содержащие переменную и старшую производную

Общий случай:
. Подробнее
Разрешенные относительно старшей производной:
. Подробнее
Разрешенные относительно переменной:
. Подробнее

Уравнения, содержащие только производные порядков n и n-1

Общий случай:
. Подробнее
Разрешенные относительно младшей производной:
. Подробнее
Разрешенные относительно старшей производной:
. Подробнее

Уравнения, содержащие только производные порядков n и n-2

Общий случай:
. Подробнее
Разрешенные относительно старшей производной:
. Подробнее

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнения, не содержащие зависимую переменную y (и возможно несколько первых производных):
, или
. Подробнее
Уравнения, не содержащие независимую переменную x:
. Подробнее
Уравнения, однородные относительно функции и ее производных y, y′, y′′, . :
, причем
. Подробнее
Обобщенно однородные уравнения относительно переменных x, y:
, причем
. Подробнее
Дифференциальные уравнения с полной производной:
. Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами:
. Подробнее
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами:
.
Решение методом Бернулли (двух функций)
Решение методом Лагранжа (вариация постоянных)
Решение линейной подстановкой
Линейные неоднородные уравнения со специальной неоднородной частью:
,
где – многочлены степеней и . Подробнее
Уравнения Эйлера:
. Подробнее

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 12-05-2012 Изменено: 26-11-2021

Виды дифференциальных уравнений

Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.

В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.

Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.

Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.

Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».

Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1 -го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2 -го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.

Напомним, что y ‘ = d x d y , если y является функцией аргумента x .

Дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y ‘ = f ( x )

Начнем с примеров таких уравнений.

y ‘ = 0 , y ‘ = x + e x — 1 , y ‘ = 2 x x 2 — 7 3

Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f ( x ) · y ‘ = g ( x ) является метод деления обеих частей на f ( x ) . Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y ‘ = g ( x ) f ( x ) . Оно является эквивалентом исходного уравнения при f ( x ) ≠ 0 .

Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:

e x · y ‘ = 2 x + 1 , ( x + 2 ) · y ‘ = 1

Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х , при которых функции f ( x ) и g ( x ) одновременно обращаются в 0 . В качестве дополнительного решения в уравнениях f ( x ) · y ‘ = g ( x ) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х .

Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x · y ‘ = sin x , ( x 2 — x ) · y ‘ = ln ( 2 x 2 — 1 )

Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1 -го порядка».

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f 1 ( y ) · g 1 ( x ) d y = f 2 ( y ) · g 2 ( x ) d x или f 1 ( y ) · g 1 ( x ) · y ‘ = f 2 ( y ) · g 2 ( x )

Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f ( y ) d y = g ( x ) d x . Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у , разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.

Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫ f ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x

К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:

y 2 3 d y = sin x d x , e y d y = ( x + sin 2 x ) d x

Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f 2 ( y ) ⋅ g 1 ( x ) . Так мы придем к уравнению f 1 ( y ) f 2 ( y ) d y = g 2 ( x ) g 1 ( x ) d x . Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f 2 ( y ) ≠ 0 и g 1 ( x ) ≠ 0 . Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.

В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: d y d x = y · ( x 2 + e x ) , ( y 2 + a r c cos y ) · sin x · y ‘ = cos x y .

К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = a x + b y . Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y ‘ = f ( a x + b y ) , a , b ∈ R .

Подставив z = 2 x + 3 y в уравнение y ‘ = 1 e 2 x + 3 y получаем d z d x = 3 + 2 e z e z .

Заменив z = x y или z = y x в выражениях y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.

Если произвести замену z = y x в исходном уравнении y ‘ = y x · ln y x + 1 , получаем x · d z d x = z · ln z .

В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.

Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y ‘ = y 2 — x 2 2 x y . Нам необходимо привести его к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x . Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x 2 или y 2 .

Нам дано уравнение y ‘ = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 , a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 ∈ R .

Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , нам необходимо ввести новые переменные u = x — x 1 v = y — y 1 , где ( x 1 ; y 1 ) является решением системы уравнений a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0

Введение новых переменных u = x — 1 v = y — 2 в исходное уравнение y ‘ = 5 x — y — 3 3 x + 2 y — 7 позволяет нам получить уравнение вида d v d u = 5 u — v 3 u + 2 v .

Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u . Также примем, что z = u v . Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u · d z d u = 5 — 4 z — 2 z 2 3 + 2 z .

Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x )

Приведем примеры таких уравнений.

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1 -го порядка относятся:

y ‘ — 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 ; y ‘ — x y = — ( 1 + x ) e — x

Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y ( x ) = u ( x ) v ( x ) . Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».

Дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) y = Q ( x ) y a

Приведем примеры подобных уравнений.

К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:

y ‘ + x y = ( 1 + x ) e — x y 2 3 ; y ‘ + y x 2 + 1 = a r c t g x x 2 + 1 · y 2

Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z = y 1 — a , которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1 -го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y ( x ) = u ( x ) v ( x ) .

Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.

Уравнения в полных дифференциалах P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0

Если для любых значений x и y выполняется ∂ P ( x , y ) ∂ y = ∂ Q ( x , y ) ∂ x , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y представляло собой полный дифференциал некоторой функции U ( x , y ) = 0 , то есть, d U ( x , y ) = P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y . Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U ( x , y ) = 0 по ее полному дифференциалу.

Выражение, расположенное в левой части записи уравнения ( x 2 — y 2 ) d x — 2 x y d y = 0 представляет собой полный дифференциал функции x 3 3 — x y 2 + C = 0

Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , p , q ∈ R

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k 2 + p k + q = 0 . Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q :

• действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k 1 ≠ k 2 , k 1 , k 2 ∈ R ;
• действительные и совпадающие k 1 = k 2 = k , k ∈ R ;
• комплексно сопряженные k 1 = α + i · β , k 2 = α — i · β .

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

• y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ;
• y = C 1 e k x + C 2 x e k x ;
• y = e a · x · ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) .

Пример 13

Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + 3 y ‘ = 0 . Найдем корни характеристического уравнения k 2 + 3 k = 0 . Это действительные и различные k 1 = — 3 и k 2 = 0 . Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ⇔ y = C 1 e — 3 x + C 2 e 0 x ⇔ y = C 1 e — 3 x + C 2

Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = f ( x ) , p , q ∈ R

Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y 0 , которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , и частного решения y

исходного уравнения. Получаем: y = y 0 + y

Способ нахождения y 0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y

мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f ( x ) , которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2 -го порядка с постоянными коэффициентами относятся:

y ‘ ‘ — 2 y ‘ = ( x 2 + 1 ) e x ; y ‘ ‘ + 36 y = 24 sin ( 6 x ) — 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x

Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x )

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.

На некотором отрезке [ a ; b ] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, y = C 1 y 1 + C 2 y 2 .

Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 x , e k 2 x , . . . , e k n x 3 ) e k 1 x , x · e k 1 x , . . . , x n 1 · e k 1 x , e k 2 x , x · e k 2 x , . . . , x n 2 · e k 2 x , . . . e k p x , x · e k p x , . . . , x n p · e k p x 4 ) 1 , c h x , s h x

Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ — x y ‘ + y = 0 .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) мы можем найти в виде суммы y = y 0 + y

, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y

частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y 0 можно описанным выше способом. Определить y

нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ — x y ‘ + y = x 2 + 1 .

Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Мы можем провести замену y ( k ) = p ( x ) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0 , которое не содержит искомой функции и ее производных до k — 1 порядка.

В этом случае y ( k + 1 ) = p ‘ ( x ) , y ( k + 2 ) = p ‘ ‘ ( x ) , . . . , y ( n ) = p ( n — k ) ( x ) , и исходное дифференциальное уравнение сведется к F 1 ( x , p , p ‘ , . . . , p ( n — k ) ) = 0 . После нахождения его решения p ( x ) останется вернуться к замене y ( k ) = p ( x ) и определить неизвестную функцию y .

Дифференциальное уравнение y ‘ ‘ ‘ x ln ( x ) = y ‘ ‘ после замены y ‘ ‘ = p ( x ) станет уравнением с разделяющимися переменными y ‘ ‘ = p ( x ) , и его порядок с третьего понизится до первого.

В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F ( y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) = 0 , порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену d y d x = p ( y ) , где p ( y ( x ) ) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:

d 2 y d x 2 = d p d y d y d x = d p d y p ( y ) d 3 y d x 3 = d d p d y p ( y ) d x = d 2 p d y 2 d y d x p ( y ) + d p d y d p d y d y d x = = d 2 p d y 2 p 2 ( y ) + d p d y 2 p ( y )
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

Рассмотрим решение уравнения 4 y 3 y ‘ ‘ = y 4 — 1 . Путем замены d y d x = p ( y ) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4 y 3 p d p d y = y 4 — 1 .

Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x )

Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:

• находим корни характеристического уравнения k n + f n — 1 · k n — 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 ;
• записываем общее решение ЛОДУ y 0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y = y 0 + y

— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y

целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.

Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y ( 4 ) + y ( 3 ) — 5 y ‘ ‘ + y ‘ — 6 y = x cos x + sin x соответствует линейное однородное ДУ y ( 4 ) + y ( 3 ) — 5 y ‘ ‘ + y ‘ — 6 y = 0 .

Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x )

Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y = y 0 + y

, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y

— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

y 0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y 1 , y 2 , . . . , y n , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 в тождество. Частные решения y 1 , y 2 , . . . , y n обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y = y 0 + y

Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».

Системы дифференциальных уравнений вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2

Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.

Как различать дифференциальные уравнения первого порядка. Основные определения дифференциальных уравнений и их решений. Обобщенные однородные уравнения

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все «игреки», а в другой – «иксы»:

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию , обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему «Как решать дифференциальные уравнения»:

Дифференциальное уравнение — это уравнение, в которое входят функция и одна или несколько ее производных. В большинстве практических задач функции представляют собой физические величины, производные соответствуют скоростям изменения этих величин, а уравнение определяет связь между ними.

В данной статье рассмотрены методы решения некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых могут быть записаны в виде элементарных функций , то есть полиномиальных, экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических, а также обратных им функций. Многие из этих уравнений встречаются в реальной жизни, хотя большинство других дифференциальных уравнений нельзя решить данными методами, и для них ответ записывается в виде специальных функций или степенных рядов, либо находится численными методами.

Для понимания данной статьи необходимо владеть дифференциальным и интегральным исчислением, а также иметь некоторое представление о частных производных. Рекомендуется также знать основы линейной алгебры в применении к дифференциальным уравнениям, особенно к дифференциальным уравнениям второго порядка, хотя для их решения достаточно знания дифференциального и интегрального исчисления.

Предварительные сведения

• Дифференциальные уравнения имеют обширную классификацию. В настоящей статье рассказывается об обыкновенных дифференциальных уравнениях , то есть об уравнениях, в которые входит функция одной переменной и ее производные. Обыкновенные дифференциальные уравнения намного легче понять и решить, чем дифференциальные уравнения в частных производных , в которые входят функции нескольких переменных. В данной статье не рассматриваются дифференциальные уравнения в частных производных, поскольку методы решения этих уравнений обычно определяются их конкретным видом.
  • Ниже приведены несколько примеров обыкновенных дифференциальных уравнений.
    • d y d x = k y <\displaystyle <\frac <<\mathrm >y><<\mathrm >x>>=ky>
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 <\displaystyle <\frac <<\mathrm >^<2>x><<\mathrm >t^<2>>>+kx=0>
  • Ниже приведены несколько примеров дифференциальных уравнений в частных производных.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 <\displaystyle <\frac <\partial ^<2>f><\partial x^<2>>>+<\frac <\partial ^<2>f><\partial y^<2>>>=0>
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 <\displaystyle <\frac <\partial u><\partial t>>-\alpha <\frac <\partial ^<2>u><\partial x^<2>>>=0>
• Порядок дифференциального уравнения определяется по порядку старшей производной, входящей в данное уравнение. Первое из приведенных выше обыкновенных дифференциальных уравнений имеет первый порядок, в то время как второе относится к уравнениям второго порядка. Степенью дифференциального уравнения называется наивысшая степень, в которую возводится один из членов этого уравнения.
  • Например, приведенное ниже уравнение имеет третий порядок и вторую степень.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 <\displaystyle \left(<\frac <<\mathrm >^<3>y><<\mathrm >x^<3>>>\right)^<2>+ <\frac <<\mathrm >y><<\mathrm >x>>=0>
• Дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением в том случае, если функция и все ее производные стоят в первой степени. В противном случае уравнение является нелинейным дифференциальным уравнением . Линейные дифференциальные уравнения примечательны тем, что из их решений можно составить линейные комбинации, которые также будут решениями данного уравнения.
  • Ниже приведены несколько примеров линейных дифференциальных уравнений.
    • d y d x + p (x) y = q (x) <\displaystyle <\frac <<\mathrm >y><<\mathrm >x>>+p(x)y=q(x)>
    • x 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 <\displaystyle x^<2><\frac <<\mathrm >^<2>y><<\mathrm >x^<2>>>+ax <\frac <<\mathrm >y><<\mathrm >x>>+by=0>
  • Ниже приведены несколько примеров нелинейных дифференциальных уравнений. Первое уравнение является нелинейным из-за слагаемого с синусом.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 <\displaystyle <\frac <<\mathrm >^<2>\theta ><<\mathrm >t^<2>>>+<\frac >\sin \theta =0>
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 <\displaystyle <\frac <<\mathrm >^<2>x><<\mathrm >t^<2>>>+\left( <\frac <<\mathrm >x><<\mathrm >t>>\right)^<2>+tx^<2>=0>
• Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения не является единственным, оно включает в себя произвольные постоянные интегрирования . В большинстве случаев число произвольных постоянных равно порядку уравнения. На практике значения этих констант определяются по заданным начальным условиям , то есть по значениям функции и ее производных при x = 0. <\displaystyle x=0.>Число начальных условий, которые необходимы для нахождения частного решения дифференциального уравнения, в большинстве случаев также равно порядку данного уравнения.
  • Например, в данной статье будет рассмотрено решение приведенного ниже уравнения. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение содержит две произвольные постоянные. Для нахождения этих постоянных необходимо знать начальные условия при x (0) <\displaystyle x(0)>и x ′ (0) . <\displaystyle x"(0).>Обычно начальные условия задаются в точке x = 0 , <\displaystyle x=0,>, хотя это и не обязательно. В данной статье будет рассмотрено также, как найти частные решения при заданных начальных условиях.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 <\displaystyle <\frac <<\mathrm >^<2>x><<\mathrm >t^<2>>>+k^<2>x=0>
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x <\displaystyle x(t)=c_<1>\cos kx+c_<2>\sin kx>

Уравнения первого порядка

При использовании этого сервиса некоторая информация может быть передана YouTube.

Эту страницу просматривали 69 354 раз.

Была ли эта статья полезной?

Определение. Уравнение вида

, неизвестную функцию и ее производные называютдифференциальным уравнением n -го порядка.

Определение. Уравнение вида

связывающее независимую переменную , неизвестную функцию и ее производную называется дифференциальным уравнением первого порядка .

Порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (2) в области называют функцию , где с – произвольная постоянная, удовлетворяющая следующим условиям:

1) для каждого числа с функция является решением уравнения (2);

2) если , то существует такое число, что решение удовлетворяет начальному условию .

Если общее решение получено в неявном виде , то называют общим интегралом, а – частным интегралом уравнения (8).

Если дифференциальное уравнение (8) можно разрешить относительно , то оно примет вид:

Дифференциальное уравнение (9) называют разрешенным относительно производной .

Уравнение (9) записывают иногда в виде:

где – функции двух переменных.

Теорема Коши. (Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (9)). Если в уравнении (9) функция и ее частная производная по определены и непрерывны в области плоскости (XOY ) и – произвольная точка из , то существует, причем единственное, решение этого уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Задачу нахождения решения уравнения (9) с заданным начальным условием называют задачей Коши .

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (9) называют любую функцию , которая получается из общего решения, если произвольной постоянной придать определенное значение .

Определение. Дифференциальное уравнение I порядка называют уравнением сразделяющимися переменными , если его можно записать в виде

где – заданные функции.

Для решения уравнения (11) разделим переменные:

Или разделим обе части (12) на :

Определение. Уравнение или (13) называют уравнением с разделенными переменными .

Определение. Функция называетсяоднородной функцией нулевого измерения, если она зависит только от отношения , т.е. .

Определение. Однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида (14)

Введем новую неизвестную функцию, положив , или . Дифференцируя, получим .

Подставим в уравнение (14), преобразуем его к виду . Разделяя переменные и интегрируя, найдем

После выполнения интегрирования нужно вернуться к функции , положив .

Пример . Решить уравнение .

Выражая производную, получим или .

Положим . Тогда , . Подставив в уравнение, получаем . Откуда .

После интегрирования находим

Определение. Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

Введем две новые неизвестные функции и , положив . Поскольку неизвестных функций стало две, а условий на эти функции только одно (их произведение должно удовлетворять уравнению (15)), то еще одно условие на эти функции мы можем наложить произвольно, чем мы и воспользуемся ниже.

В качестве функции выберем любую функцию, удовлетворяющую условию . (17)

Получим уравнение с разделяющимися переменными для нахождения . Проинтегрируем это уравнение, полагая постоянную интегрирования равной нулю (последнее законно, так как нас устраивает любое решение уравнения (17)):

Подставим найденное значение в уравнение (16):

Интегрируя, найдем функцию : . Перемножив найденные функции и , получим общее решение уравнения (15).

Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида

где m – любое действительное число. Решается это уравнение с помощью того же приема, что и линейное уравнение.

называется уравнением полного дифференциала, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции . В этом случае уравнение (18) можно переписать в виде . Общий интеграл уравнения (18) будет

Теорема. Пусть функции имеют непрерывные частные производные в некоторой области (D ) плоскости (XOY ). Для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области (D ) выполнялось равенство

Пусть дано уравнение (18), для которого выполняется условие (20). Последнее означает, что существует функция такая, что

Чтобы решить уравнение (18), нужно, исходя из равенств (21), найти функцию и записать общий интеграл уравнения (18) в форме (19).

Пример . Найти решение уравнения , удовлетворяющее условию .

Таким образом, , т.е. существует такая функция , что

Для нахождения проинтегрируем по x первое из равенств (22):

Здесь неизвестная функция играет роль постоянной интегрирования. Для нахождения продифференцируем (23) по y :

С другой стороны, из (22) имеем Из этих двух равенств получаем или .

Подставляя в (24), получаем, согласно (19), общий интеграл данного уравнения в виде .

Замечание. Так как, согласно (19), функция приравнивается произвольной постоянной, то при выполнении интегрирования (24) постоянную интегрирования можно не писать.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины. Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением. (Темп изменения расстояния со временем определяется скоростью; следовательно, скорость – производная от расстояния; аналогично, ускорение – производная от скорости, так как ускорение задает темп изменения скорости со временем.) Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач. Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).

Примеры.

Следующие примеры позволяют лучше понять, как различные задачи формулируются на языке дифференциальных уравнений.

1) Закон распада некоторых радиоактивных веществ состоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству этого вещества. Если x – количество вещества в некоторый момент времени t , то этот закон можно записать так:

где dx /dt – скорость распада, а k – некоторая положительная постоянная, характеризующая данное вещество. (Знак «минус» в правой части указывает на то, что x убывает со временем; знак «плюс», подразумеваемый всегда, когда знак явно не указан, означал бы, что x возрастает со временем.)

2) Емкость первоначально содержит 10 кг соли, растворенной в 100 м 3 воды. Если чистая вода вливается в емкость со скоростью 1 м 3 в минуту и равномерно перемешивается с раствором, а образовавшийся раствор вытекает из емкости с такой же скоростью, то сколько соли окажется в емкости в любой последующий момент времени? Если x – количество соли (в кг) в емкости в момент времени t , то в любой момент времени t в 1 м 3 раствора в емкости содержится x /100 кг соли; поэтому количество соли убывает со скоростью x /100 кг/мин, или

3) Пусть на тело массы m , подвешенное к концу пружины, действует возвращающая сила, пропорциональная величине растяжения пружины. Пусть x – величина отклонения тела от положения равновесия. Тогда по второму закону Ньютона, который утверждает, что ускорение (вторая производная от x по времени, обозначаемая d 2 x /dt 2) пропорционально силе:

Правая часть стоит со знаком минус потому, что возвращающая сила уменьшает растяжение пружины.

4) Закон охлаждения тел утверждает, что количество тепла в теле убывает пропорционально разности температур тела и окружающей среды. Если чашка кофе, разогретого до температуры 90° С находится в помещении, температура в котором равна 20° С, то

где T – температура кофе в момент времени t .

5) Министр иностранных дел государства Блефуску утверждает, что принятая Лиллипутией программа вооружений вынуждает его страну увеличить военные расходы на сколько это только возможно. С аналогичными заявлениями выступает и министр иностранных дел Лиллипутии. Возникающую в результате ситуацию (в простейшей интерпретации) можно точно описать двумя дифференциальными уравнениями. Пусть x и y – расходы на вооружение Лиллипутии и Блефуску. Предполагая, что Лиллипутия увеличивает свои расходы на вооружение со скоростью, пропорциональной скорости увеличения расходов на вооружение Блефуску, и наоборот, получаем:

где члены —ax и —by описывают военные расходы каждой из стран, k и l – положительные постоянные. (Эту задачу впервые таким образом сформулировал в 1939 Л.Ричардсон.)

После того, как задача записана на языке дифференциальных уравнений, следует попытаться их решить, т.е. найти величины, скорости изменения которых входят в уравнения. Иногда решения находятся в виде явных формул, но чаще их удается представить лишь в приближенном виде или же получить о них качественную информацию. Часто бывает трудно установить, существует ли решение вообще, не говоря уже о том, чтобы найти его. Важный раздел теории дифференциальных уравнений составляют так называемые «теоремы существования», в которых доказывается наличие решения у того или иного типа дифференциальных уравнений.

Первоначальная математическая формулировка физической задачи обычно содержит упрощающие предположения; критерием их разумности может служить степень согласованности математического решения с имеющимися наблюдениями.

Решения дифференциальных уравнений.

Дифференциальному уравнению, например dy /dx = x /y , удовлетворяет не число, а функция, в данном конкретном случае такая, что ее график в любой точке, например в точке с координатами (2,3), имеет касательную с угловым коэффициентом, равным отношению координат (в нашем примере 2/3). В этом нетрудно убедиться, если построить большое число точек и от каждой отложить короткий отрезок с соответствующим наклоном. Решением будет функция, график которой касается каждой своей точкой соответствующего отрезка. Если точек и отрезков достаточно много, то мы можем приближенно наметить ход кривых-решений (три такие кривые показаны на рис. 1). Существует ровно одна кривая-решение, проходящая через каждую точку с y № 0. Каждое отдельное решение называется частным решением дифференциального уравнения; если удается найти формулу, содержащую все частные решения (за исключением, быть может, нескольких особых), то говорят, что получено общее решение. Частное решение представляет собой одну функцию, в то время как общее – целое их семейство. Решить дифференциальное уравнение – это значит найти либо его частное, либо общее решение. В рассматриваемом нами примере общее решение имеет вид y 2 – x 2 = c , где c – любое число; частное решение, проходящее через точку (1,1), имеет вид y = x и получается при c = 0; частное решение, проходящее через точку (2,1), имеет вид y 2 – x 2 = 3. Условие, требующее, чтобы кривая-решение проходила, например, через точку (2,1), называется начальным условием (так как задает начальную точку на кривой-решении).

Можно показать, что в примере (1) общее решение имеет вид x = ce –kt , где c – постоянная, которую можно определить, например, указав количество вещества при t = 0. Уравнение из примера (2) – частный случай уравнения из примера (1), соответствующий k = 1/100. Начальное условие x = 10 при t = 0 дает частное решение x = 10e –t /100 . Уравнение из примера (4) имеет общее решение T = 70 + ce –kt и частное решение 70 + 130 –kt ; чтобы определить значение k , необходимы дополнительные данные.

Дифференциальное уравнение dy /dx = x /y называется уравнением первого порядка, так как содержит первую производную (порядком дифференциального уравнения принято считать порядок входящей в него самой старшей производной). У большинства (хотя и не у всех) возникающих на практике дифференциальных уравнений первого рода через каждую точку проходит только одна кривая-решение.

Существует несколько важных типов дифференциальных уравнений первого порядка, допускающих решения в виде формул, содержащих только элементарные функции – степени, экспоненты, логарифмы, синусы и косинусы и т.д. К числу таких уравнений относятся следующие.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнения вида dy /dx = f (x )/g (y ) можно решить, записав его в дифференциалах g (y )dy = f (x )dx и проинтегрировав обе части. В худшем случае решение представимо в виде интегралов от известных функций. Например, в случае уравнения dy /dx = x /y имеем f (x ) = x , g (y ) = y . Записав его в виде ydy = xdx и проинтегрировав, получим y 2 = x 2 + c . К уравнениям с разделяющимися переменными относятся уравнения из примеров (1), (2), (4) (их можно решить описанным выше способом).

Уравнения в полных дифференциалах.

Если дифференциальное уравнение имеет вид dy /dx = M (x ,y )/N (x ,y ), где M и N – две заданные функции, то его можно представить как M (x ,y )dx – N (x ,y )dy = 0. Если левая часть является дифференциалом некоторой функции F (x ,y ), то дифференциальное уравнение можно записать в виде dF (x ,y ) = 0, что эквивалентно уравнению F (x ,y ) = const. Таким образом, кривые-решения уравнения – это «линии постоянных уровней» функции, или геометрические места точек, удовлетворяющих уравнениям F (x ,y ) = c . Уравнение ydy = xdx (рис. 1) – с разделяющимися переменными, и оно же – в полных дифференциалах: чтобы убедиться в последнем, запишем его в виде ydy – xdx = 0, т.е. d (y 2 – x 2) = 0. Функция F (x ,y ) в этом случае равна (1/2)(y 2 – x 2); некоторые из ее линий постоянного уровня представлены на рис. 1.

Линейные уравнения.

Линейные уравнения – это уравнения «первой степени» – неизвестная функция и ее производные входят в такие уравнения только в первой степени. Таким образом, линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид dy /dx + p (x ) = q (x ), где p (x ) и q (x ) – функции, зависящие только от x . Его решение всегда можно записать с помощью интегралов от известных функций. Многие другие типы дифференциальных уравнений первого порядка решаются с помощью специальных приемов.

Уравнения старших порядков.

Многие дифференциальные уравнения, с которыми сталкиваются физики, это уравнения второго порядка (т.е. уравнения, содержащие вторые производные) Таково, например, уравнение простого гармонического движения из примера (3), md 2 x /dt 2 = –kx . Вообще говоря, можно ожидать, что уравнение второго порядка имеет частные решения, удовлетворяющие двум условиям; например, можно потребовать, чтобы кривая-решение проходила через данную точку в данном направлении. В случаях, когда дифференциальное уравнение содержит некоторый параметр (число, величина которого зависит от обстоятельств), решения требуемого типа существуют только при определенных значениях этого параметра. Например, рассмотрим уравнение md 2 x /dt 2 = –kx и потребуем, чтобы y (0) = y (1) = 0. Функция y є 0 заведомо является решением, но если – целое кратное числа p , т.е. k = m 2 n 2 p 2, где n – целое число, а в действительности только в этом случае, существуют другие решения, а именно: y = sin npx . Значения параметра, при которых уравнение имеет особые решения, называются характеристическими или собственными значениями; они играют важную роль во многих задачах.

Уравнение простого гармонического движения служит примером важного класса уравнений, а именно: линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Более общий пример (также второго порядка) – уравнение

где a и b – заданные постоянные, f (x ) – заданная функция. Такие уравнения можно решать различными способами, например, с помощью интегрального преобразования Лапласа. То же можно сказать и о линейных уравнениях более высоких порядков с постоянными коэффициентами. Не малую роль играют также и линейные уравнения с переменными коэффициентами.

Нелинейные дифференциальные уравнения.

Уравнения, содержащие неизвестные функции и их производные в степени выше первой или каким-либо более сложным образом, называются нелинейными. В последние годы они привлекают все большее внимание. Дело в том, что физические уравнения обычно линейны лишь в первом приближении; дальнейшее и более точное исследование, как правило, требует использования нелинейных уравнений. Кроме того, многие задачи нелинейны по своей сути. Так как решения нелинейных уравнений зачастую очень сложны и их трудно представить простыми формулами, значительная часть современной теории посвящена качественному анализу их поведения, т.е. разработке методов, позволяющих, не решая уравнения, сказать нечто существенное о характере решений в целом: например, что все они ограниченны, или имеют периодический характер, или определенным образом зависят от коэффициентов.

Приближенные решения дифференциальных уравнений могут быть найдены в численном виде, но для этого требуется много времени. С появлением быстродействующих компьютеров это время сильно сократилось, что открыло новые возможности численного решения многих, ранее не поддававшихся такому решению, задач.

Теоремы существования.

Теоремой существования называется теорема, утверждающая, что при определенных условиях данное дифференциальное уравнение имеет решение. Встречаются дифференциальные уравнения, не имеющие решений или имеющие их больше, чем ожидается. Назначение теоремы существования – убедить нас в том, что у данного уравнения действительно есть решение, а чаще всего заверить, что оно имеет ровно одно решение требуемого типа. Например, уже встречавшееся нам уравнение dy /dx = –2y имеет ровно одно решение, проходящее через каждую точку плоскости (x ,y ), а так как одно такое решение мы уже нашли, то тем самым полностью решили это уравнение. С другой стороны, уравнение (dy /dx ) 2 = 1 – y 2 имеет много решений. Среди них прямые y = 1, y = –1 и кривые y = sin(x + c ). Решение может состоять из нескольких отрезков этих прямых и кривых, переходящих друг в друга в точках касания (рис. 2).

Дифференциальные уравнения в частных производных.

Обыкновенное дифференциальное уравнение – это некоторое утверждение о производной неизвестной функции одной переменной. Дифференциальное уравнение в частных производных содержит функцию двух или более переменных и производные от этой функции по крайней мере по двум различных переменным.

В физике примерами таких уравнений являются уравнение Лапласа

X , y ) внутри круга, если значения u заданы в каждой точке ограничивающей окружности. Поскольку проблемы с более чем одной переменной в физике являются скорее правилом, чем исключением, легко представить, сколь обширен предмет теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Найти функцию f по некоторой заданной зависимости, в которую входят сама функция с аргументами и ее производные. Подобный тип задач актуален в физики, химии, экономики, технике и других областях науки. Подобные зависимости носят название дифференциальных уравнений. К примеру, y» — 2xy = 2 — это дифференциальное уравнение 1-го порядка. Посмотрим, как подобные типы уравнений решаются.

Что это?

Уравнение, выглядящее следующим образом:

носит название обыкновенного дифура и характеризуется как уравнение порядка k, и зависит оно от x и производных y», y»», . — вплоть до k-й.

Разновидности

В случае, когда функция, которую нужно найти, в дифференциальном уравнении зависима только от одного аргумента, тип дифференциального уравнения именуется обыкновенным. Иными словами, в уравнении функция f и все ее производные зависят только от аргумента x.

При зависимости же искомой функции от нескольких разных аргументов уравнения носят название дифференциальных в частных производных. В общем случае они выглядят:

где под выражением fx» понимается производная функции по аргументу x, а fz»» — двойная производная функции по аргументу z, и т. д.

Решение

Несложно догадаться, что именно считается решением диф. уравнения. Это функция, подстановка которой в уравнение дает тождественный результат по обе стороны знака равно, называется решением. Например, уравнение t»»+a2t = 0 имеет решение в виде t = 3Cos(ax) — Sin(ax):

1 t»= -3aSin(ax) — aCos(ax) 2 t»»= -3a2Cos(ax) + a2Sin(ax) 3 t»»+a2t= (-3a2Cos(ax) + a2Sin(ax)) + a2(3Cos(ax) — Sin(ax))

Проведя упрощение уравнения 3 мы выясним, что t»»+a2t = 0 при всех значения аргумента x. Однако стоит сразу оговориться. Уравнение t = 3Cos(ax) — Sin(ax) является не единственным решением, а лишь одним из бесконечного множества, которое описывается формулой mCos(ax) + nSin(ax), где m и n — это произвольные числа.

Причина такого соотношения заключается в определение первообразной функции в интегральном исчислении: если Q — первообразная (точнее одна из многих) для функции q , то ∫q(x) dx = Q(x) + C, где С — произвольная константа, которая обнуляется при обратной операции — взятии производной функции Q»(x).

Опустим определение того, что такое решение уравнения k-го порядка. Не трудно представить, чем больше порядок производной, тем больше констант возникает в процессе интегрирования. Также следует уточнить, что описанное выше определение для решения не является полным. Но для математиков XVII века оно было достаточным.

Ниже будут рассмотрены лишь основные типы дифференциальных уравнений первого порядка. Самые базовые и простые. Помимо них существуют и другие диф. уравнения: однородные, в полных дифференциалах и Бернулли. Но решение всех часто связано с методом разделяющихся переменных, который будет рассмотрен ниже.

Разделение переменных как способ решения

F = 0 — представляет собой диф. уравнение порядка 1. При решении данного типа дифференциальных уравнений они легко приводятся к виду y» = f. Так, например, уравнение ey» — 1 — xy = 0 приводится к виду y» = ln(1 + xy). Операция приведения дифференциального уравнения к подобному виду называется его разрешением относительно производной y».

После разрешения уравнения нужно привести его к дифференциальному виду. Это делается путем умножения на dx всех частей равенства. Из y» = f получается y»dx = fdx. С учетом того, что y»dx = dy, получим уравнение в виде:

• dy = f dx — которое называется дифференциальной формой.

Очевидно, y» = f(x) — наиболее простое дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение достигается простым интегрированием. Более сложным видом является q(y)*y» = p(x), в котором q(y) — это функция, зависящая от y, а p(x) — функция зависящая от x. Приведя его к дифференциальному виду, получим:

Легко понять, почему уравнение называется разделенным: его левая часть содержит только переменную y, а правая — только x. Решается такое уравнение с применением следующей теоремы: если у функции p существует первообразная P, а у q — Q, то интеграл дифура будет Q(y) = P(x) + C.

Решим уравнение z»(x)ctg(z) = 1/x. Приведя это уравнение к дифференциальному виду: ctg(z)dz = dx/x; и взяв интеграл от обеих частей ∫ctg(z)dz = ∫dx/x; получим решение в общем виде: C + ln|sin(z)| = ln|x|. Красоты ради данное уравнение по правилам логарифмов может быть записано в иной форме, если положить C = ln W — получим W|sin(z)| = |x| или, еще проще, WSin(z) = x.

Уравнения вида dy/dx = q(y)p(x)

Разделение переменных можно применить на уравнениях вида y» = q(y)p(x). Нужно только учесть случай, когда q(y) при некотором числе а обращается в нуль. То есть q(a) = 0. В таком случае функция y = a будет решением, т. к. для нее y» = 0, следственно, q(a)p(x) также равно нулю. Для всех остальных значений, где q(y) не равно 0, можно записать дифференциальную форму:

интегрируя которую, получают общее решение.

Решим уравнение S» = t2(S-a)(S-b). Очевидно, корнями уравнения являются числа a и b. Поэтому S=a и S=b — решения данного уравнения. Для других значений S имеем дифференциальную форму: dS/[(S-a)(S-b)] = t2dt. Откуда легко получить общий интеграл.

Уравнения вида H(y)W(x)y» + M(y)J(x) = 0

Разрешив данный вид уравнение относительно y» получим: y» = — C(x)D(y) / A(x)B(y). Дифференциальная форма данного уравнения будет такова:

Для решения данного уравнения нужно рассмотреть нулевые случаи. Если а — корень W(x), то x = a — интеграл, т. к. из этого следует, что dx = 0. Аналогично, со случаем, если b — корень M(y). Тогда для области значений x, при которых W и M не обращаются в ноль, можно провести разделение переменных путем деления на выражение W(x)M(y). После чего выражение можно интегрировать.

Множество видов уравнений, к которым на первый взгляд невозможно применить разделение переменных, оказываются таковыми. Например, в тригонометрии это достигается за счет тождественных преобразований. Также часто может быть уместной какая-либо остроумная замена, после которой можно будет использовать метод разделенных переменных. Типы дифференциальных уравнений 1 порядка могут выглядеть самым разным образом.

Линейные уравнения

Не менее важный тип дифференциальных уравнений, решение которых происходит путем подстановки и сведения их к методу разделенных переменных.

• Q(x)y + P(x)y» = R(x) — представляет собой уравнение, линейное при рассмотрении относительно функции и ее производной. P, Q, R — представляют собой непрерывные функции.

Для случаев, когда P(x) не равном 0, можно привести уравнение к разрешенному относительно y» виду, поделив все части на P(x).

• y» + h(x)y = j(x), в котором h(x) и j(x) представляют собой соотношения функций Q/P и R/P, соответственно.

Решение для линейных уравнений

Линейное уравнение можно назвать однородным в случае, когда j(x) = 0, то есть h(x)y+ y» = 0. Такое уравнение называется однородным и легко разделяется: y»/y = -h(x). Интегрируя его, получаем: ln|y| = -H(x) + ln(C). Откуда y выражается в виде y = Ce-H(x).

Например, z» = zCos(x). Разделяя переменные и приводя уравнение к дифференциальному виду, после чего интегрируя, получим, что общее решение будет иметь выражение y = CeSin(x).

Неоднородным называется линейное уравнение в его общем виде, то есть j(x) не равно 0. Его решение состоит из нескольких этапов. Сначала следует решить однородное уравнение. То есть приравнять j(x) к нулю. Пусть u — одно из решений соответствующего однородного линейного уравнения. Тогда имеет место быть тождество u» + h(x)u = 0.

Проведем в y» + h(x)y = j(x) замену вида y = uv и получим (uv)» + h(x)uv = j(x) или u»v + uv» + h(x)uv = j(x). Приведя уравнение к виду u(u» + h(x)u) + uv» = j(x) можно заметить, что в первой части u» + h(x)u = 0. Откуда получаем v»(x) = j(x) / u(x). Отсюда вычисляем первообразную ∫v = V+С. Проведя обратную замену, находим y = u(V+C), где u — решение однородного уравнения, а V — первообразная соотношения j / u.

Найдем решение для уравнения y»-2xy = 2, которое относится к типу дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого сначала решим однородное уравнение u» — 2xu = 0. Получим u = e2x + C. Для простоты решения положим C = 0, т. к. для решения поставленной задачи нам нужно лишь одно из решений, а не всевозможные варианты.

После чего проведем подстановку y = vu и получим v»(x)u + v(u»(x) — 2u(x)x) = 2. Затем: v»(x)e2x = 2, откуда v»(x) = 2e-2x. Тогда первообразная V(x) = -∫e-2xd(-2x) = — e-2x + С. В итоге общее решение для y» — 2xy = 2 будет y = uv = (-1)(e2x + С) e-2x = — 1 — Ce-2x.

Как определить тип дифференциального уравнения? Для этого следует разрешить его относительно производной и посмотреть, можно воспользоваться методом разделения переменных напрямую или подстановкой.