Как разложить квадратное уравнение по теореме виета
Ключевые слова: квадратный трехчлен, разложение на множители, теорема Виета
Квадратный трехчлен раскладывается на множители: ax 2 + bx + c = a ( x – x 1 )( x – x 2 ) ,
где $$x_<1>= \frac<-b + \sqrt
Если D ax 2 + bx + c не имеет действительных корней.
Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два корня (при D = 0 они совпадают). Если же D x 2 – 4 x + 3.
Решение.
1 способ. По формулам $$x_<1>= \frac<-b + \sqrt
Применяя формулу для разложения квадратичной функции на множители, получаем: x 2 – 4 x + 3 = ( x – 1)( x — 3).
2 способ. Применим непосредственное выделение полного квадрата.
x 2 – 4 x + 3 = x 2 – 4 x + 4 – 1 = ( x – 2) 2 – 1 = ( x – 2) 2 – 1 2 = ( x – 2 + 1)( x – 2 – 1) = ( x – 1)( x – 3).
Ответ. ( x – 1)( x – 3).
Пример. Пусть $$x_<1>$$ и $$x_<2>$$ — корни квадратичной функции x 2 + px + q = 0 Найти, чему равно значение выражения $$\frac
Решение. Так как x 1 и x 2 — корни квадратичной функции x 2 + px + q = 0 , то справедливы соотношения: $$x_ <1>+ x_ <2>= — p$$ и $$x_ <1>\cdot x_ <2>= q$$. Тогда имеем: $$\frac — 2q> > Ответ. $$\frac > О чем эта статья: Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член. Существует три вида квадратных уравнений: Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b 2 − 4ac. Его свойства: В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где . В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство. Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: . Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену. Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства: Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам. Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0. Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре: Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит: Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента: Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное. Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется: Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения: Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе. Дано квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену: Докажем, что следующие равенства верны Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2. Раскроем скобки и приведем подобные члены: Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b: Мы доказали: x₁ + x₂ = −b. Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c. Перемножаем числители и знаменатели между собой: Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a 2 − b 2 . Получаем: Далее произведем трансформации в числителе: Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D. Далее раскроем скобки и приведем подобные члены: Сократим: Мы доказали: x₁ * x₂ = c. Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана. Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так: Обратная теорема Виета Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x 2 + bx + c = 0. Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением. Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0. Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c. Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0. Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c: При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем. При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем. Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0. Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета. Дано: x 2 − 6x + 8 = 0. Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8. Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы. Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже. Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам: Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице: ax 2 + bx + c = 0, где а = 1. Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 . Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x 2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x 2 , то есть на 4. Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax 2 + bx + c . В прошлых уроках мы решали квадратные уравнения. Общий вид таких уравнений выглядел так: Левая часть этого уравнения является квадратным трёхчленом. Одним из полезных преобразований при решении задач является разложение квадратного трёхчлена на множители. Для этого исходный квадратный трёхчлен приравнивают к нулю и решают квадратное уравнение. В этом случае говорят, что выполняется поиск корней квадратного трёхчлена. Полученные корни x1 и x2 следует подстáвить в следующее выражение, которое и станет разложением: Таким образом, чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители при помощи решения квадратного уравнения, нужно воспользоваться следующей готовой формулой: Где левая часть — исходный квадратный трёхчлен. Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен: Найдём корни квадратного трёхчлена. Для этого приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим квадратное уравнение: В данном случае коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента. Чтобы сэкономить время, некоторые подробные вычисления можно пропустить: Итак, x1 = 6 , x2 = 2 . Теперь воспользуемся формулой ax 2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2). В левой части вместо выражения ax 2 + bx + c напишем свой квадратный трёхчлен x 2 − 8x + 12. А в правой части подставим имеющиеся у нас значения. В данном случае a = 1, x1 = 6, x2 = 2 Если a равно единице (как в данном примере), то решение можно записать покороче: Чтобы проверить правильно ли разложен квадратный трёхчлен на множители, нужно раскрыть скобки у правой части получившегося равенства. Раскроем скобки у правой части равенства, то есть в выражении (x − 6)(x − 2) . Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен x 2 − 8x + 12 Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен: Приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим уравнение: Как и в прошлом примере коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента: Итак, x1 = 4 , x2 = 3 . Приравняем квадратный трехчлен 2x 2 − 14x + 24 к выражению a(x − x1)(x − x2) , где вместо переменных a , x1 и x2 подстáвим соответствующие значения. В данном случае a = 2 Выполним проверку. Для этого раскроем скобки у правой части получившегося равенства. Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен 2x 2 − 14x + 24 Разложение квадратного трёхчлена на множители происходит, если вместо коэффициентов квадратного трёхчлена подстáвить теорему Виета и выполнить тождественные преобразования. Для начала рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена равен единице: Вспоминаем, что если квадратное уравнение является приведённым, то теорема Виета имеет вид: Тогда приведённый квадратный трехчлен x 2 + bx + c можно разложить на множители следующим образом. Сначала выразим b из уравнения x1 + x2 = −b . Для этого можно умножить обе его части на −1 Переменную c из теоремы Виета выражать не нужно — она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть: Теперь подставим выраженные переменные b и c в квадратный трёхчлен x 2 + bx + c Раскроем скобки там где это можно: В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым: Из первых скобок вынесем общий множитель x , из вторых скобок — общий множитель −x2 Далее замечаем, что выражение ( x − x1 ) является общим множителем. Вынесем его за скобки: Но это был случай, когда исходный квадратный трёхчлен является приведённым. В нём коэффициент a равен единице. И соответственно, в формуле разложения такого квадратного трехчлена коэффициент a можно опустить. Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена не равен единице. Это как раз тот случай, когда в формуле разложения присутствует перед скобками коэффициент a Вспоминаем, что если квадратное уравнение не является приведённым, то есть имеет вид ax 2 + bx + c = 0 , то теорема Виета принимает следующий вид: Это потому что теорема Виета работает только для приведённых квадратных уравнений. А чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 стало приведённым, нужно разделить обе его части на a Далее чтобы квадратный трёхчлен вида ax 2 + bx + c разложить на множители, нужно вместо b и c подставить соответствующие выражения из теоремы Виета. Но в этот раз нам следует использовать равенства и Для начала выразим b и c . В первом равенстве умножим обе части на a . Затем обе части получившегося равенства умножим на −1 Теперь из второго равенства выразим c . Для этого умножим обе его части на a Теперь подставим выраженные переменные b и с в квадратный трёхчлен ax 2 + bx + c . Для наглядности каждое преобразование будем выполнять на новой строчке: Здесь вместо переменных b и c были подставлены выражения −ax1 − ax2 и ax1x2 , которые мы ранее выразили из теоремы Виета. Теперь раскроем скобки там где это можно: В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым: Теперь из первых скобок вынесем общий множитель ax , а из вторых — общий множитель −ax2 Далее замечаем, что выражение x − x1 тоже является общим множителем. Вынесем его за скобки: Вторые скобки содержат общий множитель a . Вынесем его за скобки. Его можно расположить в самом начале выражения: Отметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители. Действительно, если не найдены корни квадратного трёхчлена, то нéчего будет подставлять в выражение a(x − x1)(x − x2) вместо переменных x1 и x2 . Если квадратный трёхчлен имеет только один корень, то этот корень одновременно подставляется в x1 и x2 . Например, квадратный трёхчлен x 2 + 4x + 4 имеет только один корень −2 Тогда значение −2 в процессе разложения на множители будет подставлено вместо x1 и x2 . А значение a в данном случае равно единице. Её можно не записывать, поскольку это ничего не даст: Скобки внутри скобок можно раскрыть. Тогда получим следующее: При этом если нужно получить короткий ответ, последнее выражение можно записать в виде (x + 2) 2 поскольку выражение (x + 2)(x + 2) это перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен (x + 2) Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен: Найдём корни квадратного трёхчлена: Воспользуемся формулой разложения. В левой части напишем квадратный трёхчлен 3x 2 − 2x − 1 , а в правой части — его разложение в виде a(x − x1)(x − x2) , где вместо a , x1 и x2 подстáвим соответствующие значения: Во вторых скобках можно заменить вычитание сложением: Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен: Упорядочим члены так, чтобы старший коэффициент располагался первым, средний — вторым, свободный член — третьим: Найдём корни квадратного трёхчлена: Воспользуемся формулой разложения: Упростим получившееся разложение. Вынесем за первые скобки общий множитель 3 Теперь воспользуемся сочетательным законом умножения. Напомним, что он позволяет перемножать сомножители в любом порядке. Умножим 3 на вторые скобки. Это позвóлит избавиться от дроби в этих скобках: Пример 3. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен: Найдём корни квадратного трёхчлена: Воспользуемся формулой разложения: Пример 4. Найдите значение k , при котором разложение на множители трёхчлена 3x 2 − 8x + k содержит множитель (x − 2) Если разложение содержит множитель (x − 2) , то один из корней квадратного трёхчлена равен 2 . Пусть корень 2 это значение переменной x1 Чтобы найти значение k , нужно знать чему равен второй корень. Для его определения воспользуемся теоремой Виета. В данном случае квадратный трёхчлен не является приведённым, поэтому сумма его корней будет равна дроби , а произведение корней — дроби Выразим из первого равенства переменную x2 и сразу подстáвим найденное значение во второе равенство вместо x2 Теперь из второго равенства выразим k . Так мы найдём его значение. Пример 5. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен: Перепишем данный трёхчлен в удобный для нас вид. Если в первом члене заменить деление умножением, то получим . Если поменять местами сомножители, то получится . То есть коэффициент a станет равным Коэффициент b можно перевести в обыкновенную дробь. Так проще будет искать дискриминант: Найдём корни квадратного трёхчлена: Воспользуемся формулой разложения: Понравился урок? Возникло желание поддержать проект? http://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-vieta-formula http://spacemath.xyz/razlozhenie-kvadratnogo-tryohchlena-na-mnozhiteli/=
\frac= \frac
— 2$$.
— 2$$
Теорема Виета для квадратного уравнения
Основные понятия
Формула Виета
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>Доказательство теоремы Виета
Объединим числитель и знаменатель в правой части.
Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:
Обратная теорема Виета
Докажем теорему, обратную теореме Виета
Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:
Примеры
2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/tFokx3SM93Hwlr7ZM9BqX1xiHKv_2dUIB9MoNa8RAwSTmQKXdCcqcFXxTZmxNGw7bOVek-RzRXqBkoCqnYMiqIYVwKhfnHeU-7mA03feEqJTlyKB7e-OsTTKgPaOlddfiaTGszcv» width=»99″>
2 − 6x + 8 = 0″ height=»57″ src=»https://lh3.googleusercontent.com/rohB7Bvd-elMhTxEUuOhKqLJjqLAvo9VlJxZvOnMeDAHARfKT-SYOWb1WXTTWEN2h0oKbLl6wH7lc0IWL_vH3Si2AJGAGXVn8TPFDT_J1Wu2WeoQ-WP1qgXjCnZ99tWUkK2BOvF2″ width=»64″>Неприведенное квадратное уравнение
Получается, второй коэффициент при x равен, свободный член —. Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:
Разложение квадратного трёхчлена на множители
Как разложить на множители квадратный трёхчлен
Как это работает
Примеры разложений
Задания для самостоятельного решения
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Используй кнопку ниже