Как разложить на линейные множители квадратное уравнение

8.2.5. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Квадратный трехчлен ax 2 +bx+c можно разложить на линейные множители по формуле:

ax 2 +bx+c=a (x-x₁)(x-x₂), где x_1, x₂ — корни квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.

Разложить квадратный трехчлен на линейные множители:

Пример 1). 2x 2 -7x-15.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения: 2x 2 -7x-15=0.

a=2; b=-7; c=-15. Это общий случай для полного квадратного уравнения. Находим дискриминант D.

D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 действительных корня.

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x₁)(x-x₂).

2x 2 -7x-15=2 (х+1,5)(х-5)=(2х+3)(х-5). Мы представили данный трехчлен 2x 2 -7x-15 в виде произведения двучленов 2х+3 и х-5.

Ответ: 2x 2 -7x-15=(2х+3)(х-5).

Пример 2). 3x 2 +2x-8.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

a=3; b=2; c=-8. Это частный случай для полного квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (b=2). Находим дискриминант D₁.

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x₁)(x-x₂).

Мы представили трехчлен 3x 2 +2x-8 в виде произведения двучленов х+2 и 3х-4.

Ответ: 3x 2 +2x-8=(х+2)(3х-4).

Пример 3). 5x 2 -3x-2.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

a=5; b=-3; c=-2. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a+b+c=0 (5-3-2=0). В таких случаях первый корень всегда равен единице, а второй корень равен частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x₁)(x-x₂).

5x 2 -3x-2=5 (х-1)(х+0,4)=(х-1)(5х+2). Мы представили трехчлен 5x 2 -3x-2 в виде произведения двучленов х-1 и 5х+2.

Ответ: 5x 2 -3x-2=(х-1)(5х+2).

Пример 4). 6x 2 +x-5.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

a=6; b=1; c=-5. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a-b+c=0 (6-1-5=0). В таких случаях первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x₁)(x-x₂).

Мы представили трехчлен 6x 2 +x-5 в виде произведения двучленов х+1 и 6х-5.

Ответ: 6x 2 +x-5=(х+1)(6х-5).

Пример 5). x 2 -13x+12.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

x 2 -13x+12=0. Проверим, можно ли применить теорему Виета. Для этого найдем дискриминант и убедимся, что он является полным квадратом целого числа.

a=1; b=-13; c=12. Находим дискриминант D.

D=b 2 -4ac=13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .

Применим теорему Виета: сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней должно быть равно свободному члену:

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x₁)(x-x₂).

Ответ: x 2 -13x+12=(х-1)(х-12).

Пример 6). x 2 -4x-6.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

a=1; b=-4; c=-6. Второй коэффициент — четное число. Находим дискриминант D₁.

Дискриминант не является полным квадратом целого числа, поэтому, теорема Виета нам не поможет, и мы найдем корни по формулам для четного второго коэффициента:

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x₁)(x-x₂) и запишем ответ:

Друзья, для того, чтобы разложить квадратные трехчлены на множители, мы решали каждое квадратное уравнение рациональным способом. Все эти способы мы рассмотрели ранее в теме: «Решение полных квадратных уравнений».

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Алгоритм разложения квадратного трёхчлена на множители с помощью дискриминанта

Данный алгоритм является универсальным.

На входе: квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$

Задача: разложить трёхчлен на множители

Шаг 1. Находим дискриминант $D = b^2-4ac$

Шаг 2. Если $D \gt 0, x_1,2 = \frac<-b \pm \sqrt> <2a>$ и $ax^2+bx+c = a(x-x_1 )(x-x_2 )$

Если D = 0, $x_0 = — \frac<2a>$ и $ax^2+bx+c = a(x-x_0 )^2$

Если $D \lt 0$, разложение на множители невозможно.

Шаг 3. Работа завершена.

Алгоритм разложения квадратного трёхчлена на множители по теореме Виета

Данный алгоритм применяется в частных случаях.

Если один (или оба) корня квадратного уравнения целые, то полезным навыком становится разложение на множители «в уме», с помощью теоремы Виета.

Навык этот не простой, и если у вас сразу не получится, не расстраивайтесь.

Рассмотрим следующий трёхчлен: $x^2+8x+15$

Если корни трёхчлена существуют, то их произведение равно 15.

Прикинем «в уме» соответствующие пары натуральных чисел:

В трёхчлене $c \gt 0$, значит корни одного знака, и в построении b участвует сумма этих корней. Из пары (1;15) сумма 8 не выходит, а вот из пары (3;5) — получается.

Для выбранной пары (3;5) запишем разложение, пока без знаков:

Теперь видно, что знаки в скобках – два плюса:

Рассмотрим другой трёхчлен: $x^2+2x-35$

Пары натуральных чисел, дающие произведение 35:

В трёхчлене $c \lt 0$, значит корни разных знаков, и в построении b участвует разность этих корней. Из пары (1;35) разность 2 не выходит, а вот из пары (5;7) — получается.

Для выбранной пары (5;7) запишем разложение, пока без знаков:

Теперь видно, что 7 должно быть с плюсом, а 5 – с минусом:

Обобщим алгоритм разложения по теореме Виета.

На входе: приведенный квадратный трёхчлен $x^2+bx+c$

Задача: разложить трёхчлен на множители при гипотезе, что корни — целочисленные

Шаг 1. Записать все пары натуральных чисел (m;n), дающих в произведении c.

Шаг 2. Если $c \gt 0$, то из всех пар выбрать ту, сумма которой даёт b.

Если $c \lt 0$, то из всех пар выбрать ту, разность которой даёт b.

Если выбрать пару не удаётся, данный алгоритм не подходит, и нужно приступить к разложению с помощью дискриминанта.

Шаг 3. Для выбранной пары записать разложение без знаков в виде:

Сопоставляя левую и правую части, окончательно расставить знаки в скобках.

Шаг 4. Работа завершена.

Предложенный алгоритм позволяет не только раскладывать на линейные множители трёхчлены, но и находить их корни, т.е. решать соответствующие квадратные уравнения.

Не забывайте менять знаки при записи решений уравнения!

Решаем $x^2+8x+15 = 0$. Получаем (x+3)(x+5) = 0. Корни $x_1 = -3, x_2 = -5$.

Решаем $x^2+2x-35 = 0$. Получаем (x-5)(x+7) = 0. Корни $x_1 = 5, x_2 = -7$.

При некотором опыте, можно наловчиться раскладывать не только приведенные трёхчлены, например:

$$ 5x^2-14x-3 = (5x+1)(x-3), 3x^2+13x-10 = (3x-2)(x+5), $$

В этих случаях алгоритм усложняется за счёт дополнительных вариантов расстановки коэффициентов при переменной в скобках.

Примеры

Пример 1. Разложите квадратный трёхчлен с помощью дискриминанта:

$ D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2 $

$ x = \frac<-7 \pm 9> <4>= \left[ \begin x_1 = -4 \\ x_2 = \frac<1> <2>\end \right. $

Получаем: $2x^2+7x-4 = 2(x+4) \left(x- \frac<1> <2>\right)$

Можно также записать: $2x^2+7x-4 = (x+4)(2x-1)$

$ D = 20^2-4 \cdot 3 \cdot (-7) = 400+84 = 484 = 22^2 $

$x = \frac<-20 \pm 22> <6>= \left[ \begin x_1 = -7 \\ x_2 = \frac<1> <3>\end \right.$

Получаем: $3x^2+20x-7 = 3(x+7) \left(x-\frac<1> <3>\right)$

Можно также записать: $3x^2+20x-7 = (x+7)(3x-1)$

$D = 19^2-4 \cdot 4 \cdot (-5) = 361+80 = 441 = 21^2$

$ x = \frac<19 \pm 21> <8>= \left[ \begin x_1 = -\frac<1> <4>\\ x_2 = 5 \end \right.$

Получаем: $4x^2-19x-5 = 4 \left(x+ \frac<1> <4>\right)(x-5)$

Можно также записать: $4x^2-19x-5 = (4x+1)(x-5)$

$ D = (\sqrt<2>)^2-4 \cdot \frac<1> <2>= 2-2 = 0, x = \frac<\sqrt<2>> <2>$

Получаем: $x^2-\sqrt <2>x+ \frac<1> <2>= \left(x- \frac<\sqrt<2>> <2>\right)^2 $

Пример 2*. Разложите трёхчлены на множители подбором по теореме Виета:

Пары множителей: (1;12),(2;6),(3;4)

$c = 12 \gt 0 \Rightarrow$ выбираем из пар ту, что в сумме дает b = 7. Это пара (3;4).

Записываем разложение без знаков: $(x…3)(x…4) = x^2+7x+12$

Расставляем знаки, результат: $x^2+7x+12 = (x+3)(x+4)$

Пары множителей: (1;18),(2;9),(3;6)

$c = -18 \lt 0 \Rightarrow$ выбираем из пар ту, разность которой дает b = 3. Это пара (3;6).

Записываем разложение без знаков: $(x…3)(x…6) = x^2+3x-18$

Расставляем знаки, результат: $x^2+3x-18 = (x-3)(x+6)$

Пары множителей: (1;77),(7;11)

$c = -18 \lt 0 \Rightarrow$ выбираем из пар ту, разность которой дает b=4. Это пара (7;11).

Записываем разложение без знаков: $(x…7)(x…11) = x^2+4x-77$

Расставляем знаки, результат: $x^2+4x-77 = (x-7)(x+11)$

Одна пара множителей (1;3)

Возможные разложения с коэффициентом:

$c = -3 \lt 0$, в скобках разные знаки.

Перебираем четыре возможных варианта и получаем:

$$2x^2-x-3 = (2x+3)(x-1) = 2 \left(x+ \frac<3> <2>\right)(x-1)$$

Пример 3. Сократите дробь.

Разложение на множители проводим по формулам сокращенного умножения, с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Как разложить на множители квадратный трёхчлен

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax 2 + bx + c .

В прошлых уроках мы решали квадратные уравнения. Общий вид таких уравнений выглядел так:

Левая часть этого уравнения является квадратным трёхчленом.

Одним из полезных преобразований при решении задач является разложение квадратного трёхчлена на множители. Для этого исходный квадратный трёхчлен приравнивают к нулю и решают квадратное уравнение. В этом случае говорят, что выполняется поиск корней квадратного трёхчлена.

Полученные корни x₁ и x₂ следует подстáвить в следующее выражение, которое и станет разложением:

Таким образом, чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители при помощи решения квадратного уравнения, нужно воспользоваться следующей готовой формулой:

Где левая часть — исходный квадратный трёхчлен.

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Найдём корни квадратного трёхчлена. Для этого приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим квадратное уравнение:

В данном случае коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента. Чтобы сэкономить время, некоторые подробные вычисления можно пропустить:

Итак, x₁ = 6 , x₂ = 2 . Теперь воспользуемся формулой ax 2 + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). В левой части вместо выражения ax 2 + bx + c напишем свой квадратный трёхчлен x 2 − 8x + 12. А в правой части подставим имеющиеся у нас значения. В данном случае a = 1, x₁ = 6, x₂ = 2

Если a равно единице (как в данном примере), то решение можно записать покороче:

Чтобы проверить правильно ли разложен квадратный трёхчлен на множители, нужно раскрыть скобки у правой части получившегося равенства.

Раскроем скобки у правой части равенства, то есть в выражении (x − 6)(x − 2) . Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен x 2 − 8x + 12

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим уравнение:

Как и в прошлом примере коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента:

Итак, x₁ = 4 , x₂ = 3 . Приравняем квадратный трехчлен 2x 2 − 14x + 24 к выражению a(x − x₁)(x − x₂) , где вместо переменных a , x₁ и x₂ подстáвим соответствующие значения. В данном случае a = 2

Выполним проверку. Для этого раскроем скобки у правой части получившегося равенства. Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен 2x 2 − 14x + 24

Как это работает

Разложение квадратного трёхчлена на множители происходит, если вместо коэффициентов квадратного трёхчлена подстáвить теорему Виета и выполнить тождественные преобразования.

Для начала рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена равен единице:

Вспоминаем, что если квадратное уравнение является приведённым, то теорема Виета имеет вид:

Тогда приведённый квадратный трехчлен x 2 + bx + c можно разложить на множители следующим образом. Сначала выразим b из уравнения x₁ + x₂ = −b . Для этого можно умножить обе его части на −1

Переменную c из теоремы Виета выражать не нужно — она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть:

Теперь подставим выраженные переменные b и c в квадратный трёхчлен x 2 + bx + c

Раскроем скобки там где это можно:

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

Из первых скобок вынесем общий множитель x , из вторых скобок — общий множитель −x₂

Далее замечаем, что выражение ( x − x₁ ) является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Но это был случай, когда исходный квадратный трёхчлен является приведённым. В нём коэффициент a равен единице. И соответственно, в формуле разложения такого квадратного трехчлена коэффициент a можно опустить.

Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена не равен единице. Это как раз тот случай, когда в формуле разложения присутствует перед скобками коэффициент a

Вспоминаем, что если квадратное уравнение не является приведённым, то есть имеет вид ax 2 + bx + c = 0 , то теорема Виета принимает следующий вид:

Это потому что теорема Виета работает только для приведённых квадратных уравнений. А чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 стало приведённым, нужно разделить обе его части на a

Далее чтобы квадратный трёхчлен вида ax 2 + bx + c разложить на множители, нужно вместо b и c подставить соответствующие выражения из теоремы Виета. Но в этот раз нам следует использовать равенства и

Для начала выразим b и c . В первом равенстве умножим обе части на a . Затем обе части получившегося равенства умножим на −1

Теперь из второго равенства выразим c . Для этого умножим обе его части на a

Теперь подставим выраженные переменные b и с в квадратный трёхчлен ax 2 + bx + c . Для наглядности каждое преобразование будем выполнять на новой строчке:

Здесь вместо переменных b и c были подставлены выражения −ax₁ − ax₂ и ax₁x₂ , которые мы ранее выразили из теоремы Виета. Теперь раскроем скобки там где это можно:

Теперь из первых скобок вынесем общий множитель ax , а из вторых — общий множитель −ax₂

Далее замечаем, что выражение x − x₁ тоже является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Вторые скобки содержат общий множитель a . Вынесем его за скобки. Его можно расположить в самом начале выражения:

Отметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители. Действительно, если не найдены корни квадратного трёхчлена, то нéчего будет подставлять в выражение a(x − x₁)(x − x₂) вместо переменных x₁ и x₂ .

Если квадратный трёхчлен имеет только один корень, то этот корень одновременно подставляется в x₁ и x₂ . Например, квадратный трёхчлен x 2 + 4x + 4 имеет только один корень −2

Тогда значение −2 в процессе разложения на множители будет подставлено вместо x₁ и x₂ . А значение a в данном случае равно единице. Её можно не записывать, поскольку это ничего не даст:

Скобки внутри скобок можно раскрыть. Тогда получим следующее:

При этом если нужно получить короткий ответ, последнее выражение можно записать в виде (x + 2) 2 поскольку выражение (x + 2)(x + 2) это перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен (x + 2)

Примеры разложений

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения. В левой части напишем квадратный трёхчлен 3x 2 − 2x − 1 , а в правой части — его разложение в виде a(x − x₁)(x − x₂) , где вместо a , x₁ и x₂ подстáвим соответствующие значения:

Во вторых скобках можно заменить вычитание сложением:

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Упорядочим члены так, чтобы старший коэффициент располагался первым, средний — вторым, свободный член — третьим:

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

Упростим получившееся разложение. Вынесем за первые скобки общий множитель 3

Теперь воспользуемся сочетательным законом умножения. Напомним, что он позволяет перемножать сомножители в любом порядке. Умножим 3 на вторые скобки. Это позвóлит избавиться от дроби в этих скобках:

Пример 3. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

Пример 4. Найдите значение k , при котором разложение на множители трёхчлена 3x 2 − 8x + k содержит множитель (x − 2)

Если разложение содержит множитель (x − 2) , то один из корней квадратного трёхчлена равен 2 . Пусть корень 2 это значение переменной x₁

Чтобы найти значение k , нужно знать чему равен второй корень. Для его определения воспользуемся теоремой Виета.

В данном случае квадратный трёхчлен не является приведённым, поэтому сумма его корней будет равна дроби , а произведение корней — дроби

Выразим из первого равенства переменную x₂ и сразу подстáвим найденное значение во второе равенство вместо x₂

Теперь из второго равенства выразим k . Так мы найдём его значение.

Пример 5. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Перепишем данный трёхчлен в удобный для нас вид. Если в первом члене заменить деление умножением, то получим . Если поменять местами сомножители, то получится . То есть коэффициент a станет равным