Как решается дифференциальное уравнение второго порядка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Данная статья раскрывает смысл нахождения и алгоритм для общего решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с подробным просмотром их решений.

Линейное однородное уравнение второго порядка имеет вид y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 , неоднородное — y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) . F ( x ) , p ( x ) и q ( x ) являются функциями, которые непрерывны из интервала интегрирования x . Частным случаем принято считать p ( x ) = p и q ( x ) = q , то есть при наличии постоянных в записи функции.

Нахождение общего решения линейных дифференциальных уравнений

Общее решение y 0 для линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 из интервала x при наличии постоянных коэффициентов f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) , располагаемых на x , считают линейную комбинацию n линейно независимых частных решений ЛОДУ y j , j = 1 , 2 , . . . , n , где имеются произвольные коэффициенты C j , j = 1 , 2 , . . . , n , то есть y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j .

Общим решением y для линейного неоднородного дифференциального уравнения вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) из интервала x при наличии коэффициентов f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) и функции f ( x ) является сумма вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 , где y

считается одним из общих решений ЛНДУ.

Отсюда следует, что

выражение y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 считается общим решением дифференциального уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 , а y 1 и y 2 считаются линейно независимыми частными решениями;
y = y 0 + y

обозначают в качестве общего решения уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) , где y

принимает одно из любых частных решений, y 0 соответствует общему решению ЛОДУ.

После чего необходимо находить y 1 , y 2 и y

Если функции простые, то применяется метод подбора.

Линейно независимые функции y 1 и y 2 находятся из

1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 · x , e k 2 · x , . . . , e k n · x 3 ) e k 1 · x , x · e k 1 · x , . . . , x n 1 · e k 1 · x , e k 2 · x , x · e k 2 · x , . . . , x n 2 · e k 2 · x , . . . e k p · x , x · e k p · x , . . . , x n p · e k p · x .

Линейную независимость проверяют определителем Вронского вида W ( x ) = y 1 ( x ) y 2 ( x ) y 1 ‘ ( x ) y 2 ‘ ( x ) . Когда функции располагаются на интервале х , тогда такой определитель не равен 0 на заданном промежутке.

Когда имеются функции вида y 1 = 1 и y 2 = x , где x принадлежит множеству действительных чисел, то W ( x ) = 1 x 1 ‘ x ‘ = 1 x 0 1 = 1 ≠ 0 ∀ x ∈ R .

Функции вида y 1 = sin x и y 2 = cos x считаются линейно независимы на области действительных чисел, потому как W ( x ) = sin x cos x ( sin x ) ‘ ( cos x ) ‘ = sin x cos x cos x — sin x = = — sin 2 x — cos 2 x = — 1 ≠ 0 ∀ x ∈ R

Функции y 1 = — x — 1 и y 2 = x + 1 считаются линейно независимыми из интервала ( — ∞ ; + ∞ )

W ( x ) = — x — 1 x + 1 — x — 1 ‘ ( x + 1 ) ‘ = — x — 1 x + 1 — 1 1 = = — x — 1 + x + 1 = 0 ∀ x ∈ R

Не всегда можно подобрать y 1 , y 2 , y

. Поэтому следует использовать другой метод. При наличии ненулевого частного решения y 1 ЛОДУ второго порядка y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) , тогда общее решение находится понижением степени и подстановкой y = y 1 · ∫ u ( x ) d x .

Найти общее решение уравнение вида y » — y ‘ + y x = 0 .

Решение

Частное решение записывается как y 1 = x для дифференциального уравнения y » — y ‘ + y x = 0 , когда x не равен 0 . Необходимо перейти к понижению степени при помощи постановки. Тогда получим уравнение вида y = y 1 · ∫ u ( x ) d x = x · ∫ u ( x ) d x , а итоговое значение примет вид интеграла ∫ u ( x ) d x = y x .

По правилу дифференцирования произведения и свойству неопределенного интеграла получаем выражение вида

y ‘ = x · ∫ u ( x ) d x ‘ = x ‘ · ∫ u ( x ) d x + x · ∫ u ( x ) d x ‘ = = ∫ u ( x ) d x + x · u ( x ) = y x + x · u ( x ) y » = ∫ u ( x ) d x + x · u ( x ) ‘ = ∫ u ( x ) d x ‘ + x ‘ · u ( x ) + x · u ‘ ( x ) = = 2 u ( x ) + x · u ‘ ( x )

Производим подстановку в исходное выражение. Запишем равенство вида:

y » — y ‘ + y x = 0 ⇔ 2 u + x · u ‘ — y x — x · u + y x = 0 ⇔ 2 u + x · u ‘ — x · u = 0 ⇔ x · d u d x + u · — x + 2 = 0 ⇔ d u u = 1 — 2 x d x , u = 0

Интегрируем обе части выражения и получаем, что ln u + C 1 = x — 2 ln x + C 2 ⇔ ln u = x + ln 1 x 2 + C 2 — C 1 . Переходим к записи общего вида выражения. Тогда она примет вид u = C · e x x 2 с C являющейся произвольной постоянной.

Ответ: из выражения y = x · ∫ u d x очевидно, что общее решение заданного ЛОДУ примет вид y = x · C · ∫ e x x 2 d x = x · C · ( F ( x ) + C 3 ) , когда F ( x ) считается одной из первообразных функции e x x 2 .

Для решения неоднородного дифференциального уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) нужно подбирать y

, если возможно найти y 1 и y 2 . Поиск общего решения производится при помощи метода вариации произвольных постоянных.

В таком случаем ЛОДУ принимает вид y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 . Преобразовывая произвольные постоянные для общего решения, ЛНДУ принимает вид y 0 = C 1 ( x ) ⋅ y 1 + C 2 ( x ) ⋅ y 2 , где производные неизвестных функций C 1 ( x ) и C 2 ( x ) можно определить из системы вида C 1 ‘ ( x ) · y 1 + C 2 ‘ ( x ) · y 2 = 0 C 1 ‘ ( x ) · y 1 ‘ + C 2 ‘ ( x ) · y 2 ‘ = f ( x ) , а получение самих функций производится путем интегрирования.

Найти общее решение уравнения y » — y = 2 x .

Решение

Для решения необходимо обратить внимание на его частные решения. Для ЛОДУ y » — y = 0 они являются y 1 = e — x и y 2 = e x , то есть выражение вида y 0 = C 1 · e — x + C 2 · e x . Изменяя постоянные, общее решение получит вид

y = C 1 ( x ) · e — x + C 2 ( x ) · e x .

Необходимо составить систему линейных уравнений и решить

C 1 ‘ ( x ) · y 1 + C 2 ‘ ( x ) · y 2 = 0 C 1 ‘ ( x ) · y 1 ‘ + C 2 ‘ ( x ) · y 2 ‘ = f ( x ) ⇔ C 1 ‘ ( x ) · e — x + C 2 ‘ ( x ) · e x = 0 — C 1 ‘ ( x ) · e — x + C 2 ‘ ( x ) · e x = 2 x

Чтобы разрешить ее, следует применить метод Крамера. Тогда

∆ = e — x e x — e — x e x = e — x · e x + e — x · e x = 2 ∆ C 1 ‘ ( x ) = 0 e x 2 x e x = — ( 2 e ) x ⇒ C 1 ‘ ( x ) = ∆ C 1 ‘ ( x ) ∆ = — 1 2 · 2 e x ∆ C 2 ‘ ( x ) = e — x 0 — e — x 2 x = 2 e x ⇒ C 2 ‘ = ∆ C 2 ‘ ( x ) ∆ = 1 2 · 2 e x

После интегрирования полученных выражений для того, чтобы найти C 1 ( x ) и C 2 ( x ) , запишем, что

C 1 ( x ) = — 1 2 · ∫ ( 2 e ) x d x = — 1 2 · ( 2 e ) x ln ( 2 e ) + C 3 = = — 1 2 · ( 2 e ) x ln 2 + 1 + C 3 C 2 ( x ) = 1 2 · ∫ 2 e x d x = 1 2 · 1 ln 2 e · 2 e x + C 4 = = 1 2 · 1 ln 2 — 1 · 2 e x + C 4

Ответ: общим решением для заданного уравнения получим уравнение вида

y = — 1 2 · ( 2 e ) x ln 2 + 1 + C 3 · e — x + 1 2 · 1 ln 2 — 1 · 2 e x + C 4 · e x .

Итоги

Поиск общего решения ЛОДУ 2 порядка y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 выполняется из y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , где y 1 и y 2 считаются линейно независимыми частными решениями. Для подбора частных решений y 1 и y 2 чаще всего начинается с нахождения общего дифференциального уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 . Когда подбор невозможен, тогда производится снижение порядка с помощью замены y = y 1 · ∫ u ( x ) d x , причем его решение приведет к общему виду ЛОДУ второго прядка.
Поиск общего решения ЛНДУ 2 порядка вида y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) производится с помощью y = y 0 + y

является любым частным решением, а y 0 считают в качестве общего решения ЛОДУ. Нахождение y 0 _, то есть общего дифференциального уравнения y » + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 , производится первоначально. После чего производится подбор y

. Если необходимо, то в начале производится подбор y 1 и y 2 для определения общего решения ЛНДУ с помощью применения метода вариации произвольных постоянных.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Основные понятия о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка и их решениях

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

где y — функция, которую требуется найти, а p(x) , q(x) и f(x) — непрерывные функции на некотором интервале (a, b) .

Если правая часть уравнения равна нулю ( f(x) = 0 ), то уравнение называется линейным однородным уравнением. Таким уравнениям и будет в основном посвящена практическая часть этого урока. Если же правая часть уравнения не равна нулю ( f(x) ≠ 0 ), то уравнение называется линейным неоднородным уравнением (смотрите отдельный урок).

В задачах от нас требуется разрешить уравнение относительно y» :

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка имеют единственное решение задачи Коши.

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка и его решение

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

Если y 1 (x) и y 2 (x) — частные решения этого уравнения, то верны следующие высказывания:

1) y 1 (x) + y 2 (x) — также является решением этого уравнения;

2) Cy 1 (x) , где C — произвольная постоянная (константа), также является решением этого уравнения.

Из этих двух высказываний следует, что функция

также является решением этого уравнения.

Возникает справедливый вопрос: не является ли это решение общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, то есть таким решением, в котором при различных значениях C 1 и C 2 можно получить все возможные решения уравнения?

Ответ на этот вопрос следуюший: может, но при некотором условии. Это условие о том, какими свойствами должны обладать частные решения y 1 (x) и y 2 (x) .

И это условие называется условием линейной независимости частных решений.

Теорема. Функция C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если функции y 1 (x) и y 2 (x) линейно независимы.

Определение. Функции y 1 (x) и y 2 (x) называются линейно независимыми, если их отношение является константой, отличной от нуля:

Однако установить по определению, являются ли эти функции линейно независимыми, часто очень трудоёмко. Существует способ установления линейной независимости с помощью определителя Вронского W(x) :

Если определитель Вронского не равен нулю, то решения — линейно независимые. Если определитель Вронского равен нулю, то решения — линейно зависимымые.

Пример 1. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения .

Решение. Интегрируем дважды и, как легко заметить, чтобы разность второй производной функции и самой функции была равна нулю, решения должны быть связаны с экспонентой, производная которой равна ей самой. То есть частными решениями являются и .

Так как определитель Вронского

не равен нулю, то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение данного уравнения можно записать в виде

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: теория и практика

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

где p и q — постоянные величины.

На то, что это уравнение второго порядка, указывает наличие второй производной от искомой функции, а на его однородность — нуль в правой части. Постоянными коэффициентами называются уже упомянутые выше величины.

Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, нужно сначала решить так называемое характеристическое уравнение вида

которое, как видно, является обычным квадратным уравнением.

В зависимости от решения характеристического уравнения возможны три различных варианта решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, которые сейчас разберём. Для полной определённости будем считать, что все частные решения прошли проверку определителем Вронского и он во всех случаях не равен нулю. Сомневающиеся, впрочем, могут проверить это самостоятельно.

Корни характеристического уравнения — действительные и различные

Иными словами, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Пример 2. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни и — вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

Пример 3. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Корни характеристического уравения — вещественные и равные

То есть, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Пример 4. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

Пример 5. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Корни характеристического уравнения — комплексные

То есть, , , . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Пример 6. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни и . Соответственно и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

Пример 7. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Решить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Пример 9. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Примеры решений дифференциальных уравнений второго порядка методом Лагранжа

Здесь мы применим метод вариации постоянных Лагранжа для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка. Подробное описание этого метода для решения уравнений произвольного порядка изложено на странице
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа >>> .

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Лагранжа:
(1)

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Вначале мы решаем однородное дифференциальное уравнение:
(2)
Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:

Это уравнение второго порядка.

Решаем квадратное уравнение:
.
Корни кратные: . Фундаментальная система решений уравнения (2) имеет вид:
(3) .
Отсюда получаем общее решение однородного уравнения (2):
(4) .

Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями

Варьируем постоянные C ₁ и C ₂ . То есть заменим в (4) постоянные и на функции:
.
Ищем решение исходного уравнения (1) в виде:
(5) .

Находим вторую производную:
.
Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;

.
Поскольку и удовлетворяют однородному уравнению (2), то сумма членов в каждом столбце последних трех строк дает нуль и предыдущее уравнение приобретает вид:
(7) .
Здесь .

Вместе с уравнением (6) мы получаем систему уравнений для определения функций и :
(6) :
(7) .

Решение системы уравнений

Решаем систему уравнений (6-7). Выпишем выражения для функций и :
.
Находим их производные:
;
.

Решаем систему уравнений (6-7) методом Крамера. Вычисляем определитель матрицы системы:

.
По формулам Крамера находим:
;
.

Итак, мы нашли производные функций:
;
.
Интегрируем (см. Методы интегрирования корней). Делаем подстановку
; ; ; .

Общее решение исходного уравнения:

;
.

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение методом вариации постоянных Лагранжа:
(8)

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Решаем однородное дифференциальное уравнение:

(9)
Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:

Это уравнение имеет комплексные корни:
.
Фундаментальная система решений, соответствующая этим корням, имеет вид:
(10) .
Общее решение однородного уравнения (9):
(11) .

Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями

Теперь варьируем постоянные C ₁ и C ₂ . То есть заменим в (11) постоянные на функции:
.
Ищем решение исходного уравнения (8) в виде:
(12) .

Далее ход решения получается таким же, как в примере 1. Мы приходим к следующей системе уравнений для определения функций и :
(13) :
(14) .
Здесь .

Решение системы уравнений

Решаем эту систему. Выпишем выражения функций и :
.
Из таблицы производных находим:
;
.

Решаем систему уравнений (13-14) методом Крамера. Определитель матрицы системы:

.
По формулам Крамера находим:
;
.

Первый интеграл немного сложней (см. Интегрирование тригонометрических рациональных функций). Делаем подстановку :

.
Поскольку , то знак модуля под знаком логарифма можно опустить. Умножим числитель и знаменатель на :
.
Тогда
.

Общее решение исходного уравнения:

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 05-08-2013 Изменено: 19-06-2017

источники:

http://function-x.ru/differential_equations7.html

http://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/lineinie_postoyannie_koeffitsienti/neodnorodnie_lagranzha/primer1/