Биквадратные уравнения
Биквадратное уравнение — уравнение, которое можно привести к виду:
Для решения биквадратных уравнений x 2 заменяется на любую другую букву, например, на y, то есть:
Следовательно, относительно y, уравнение является квадратным и решается по формуле корней квадратного уравнения, а затем вычисляются корни биквадратного уравнения, если они есть.
Пример. Решить уравнение:
Решение: Заменяем x 2 на y, чтобы получить квадратное уравнение:
D = b 2 — 4ac = (-10) 2 — 4 · 1 · 9 = 100 — 36 = 64, D > 0.
Биквадратные уравнения: решение уравнений, примеры
Содержание:
В самом начале напомним, что в математике принято называть уравнением. Уравнение представляет собой равенство, содержащее одну или более неизвестных величин. Решить уравнение означает найти значение неизвестной величины (или нескольких неизвестных) таким образом, чтобы их подстановка в исходное выражение давала истинное математическое равенство.
Далее подробно расскажем о биквадратных уравнениях и способах их решения. Небольшой урок по этой теме – основа, которая может оказаться неплохим подспорьем, в тот момент, когда настанет время сдавать тест по алгебре. Таким образом не приходя в школьный класс, вы сможете вполне уверенно находить решение любого биквадратного уравнения.
Формула биквадратного уравнения
ax 4 +bx 2 +c = 0, где
a и b – числовые коэффициенты,
с – свободный член.
При этом коэффициент «a» не должен равняться нулю.
Решение биквадратных уравнений
Для полной ясности рассмотрим, как решается биквадратное уравнение на примерах.
Биквадратные уравнения: примеры для решения
Сначала выполним замену переменной x2 = t и запишем новое квадратное уравнение:
Находим дискриминант для квадратного уравнения по известной формуле:
D = b 2 – 4ac = (-5) 2 – 4 ∙ 1 ∙ 4 = 9.
Напомним о том, что в случае, когда дискриминант оказывается меньше нуля, то уравнение не будет иметь корней, а когда он равен нулю, то корень будет один.
Так как полученный дискриминант D>0, то уравнение будет иметь два корня, которые найдем по формулам: t1 = -b+D2a и -b-D2a.
Теперь задача состоит в подстановке найденных корней в формулу, по которой мы ранее изменили переменную:
x 2 = 1 и x 2 = 4.
Корни этих уравнений очевидны, но все-таки найдем их традиционным для математики способом. Для этого занесем обе части полученных равенств под знак квадратного корня:
x 2 = 1, тогда x1 = 1 и x2 = –1.
x 2 = 4, тогда x3 = 2 и x4 = –2.
Ответ. Таким образом мы получили четыре искомых корня биквадратного уравнения
Теперь рассмотрим другой пример, в котором корни биквадратного уравнения будем находить без вычисления дискриминанта. Задание будет состоять в решении уравнения:
В этом случае будет вполне логично вынести переменную x 2 за скобки, тогда получим выражение: x 2 (–9x 2 +81) = 0.
Теперь можно приравнять к нулю каждый из сомножителей уравнения.
x 2 = 0, соответственно один из корней нашего уравнения x1 = 0.
Второе равенство решаем следующим путем:
Заносим под знак радикала обе части полученного равенства
x 2 = 9, тогда x2 = 3 и x3 = –3.
Ответ. Получено три корня заданного биквадратного уравнения: x1 = 0, x2 = 3 и x3 = –3.
Таким образом на примерах из школьной программы мы продемонстрировали как решать биквадратные уравнения различными способами. Надеемся, что приведенная информация будет полезной при сдаче теста.
Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.
Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.
Формула биквадратного уравнения:
Формулы биквадратного уравнения отличается от квадратного уравнения тем, что у переменной х степени повышатся в два раза.
ax 4 +bx 2 +c=0, где a≠0
Как решаются биквадратные уравнения?
Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
\(x^<2>=t,\;t\geq0\)
t должно быть положительным числом или равным нулю
Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at 2 +bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.
\(t^<2>-5t+6=0\)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-5)^<2>-4\times1\times6=25-24=1\)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:
Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: \(x^<2>=3\)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.
Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-4)^<2>-4\times1\times4=16-16=0\)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
\(t=\frac<-b><2a>=\frac<-(-4)><2\times1>=2\)
Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.
Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.
Выносим переменную x 2 за скобку,
Приравниваем каждый множитель к нулю
Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить \(x^<2>=4\) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<2>=2\\
&x_<3>=-2\\
\end
Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
\(x^<4>-16=0\)
Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<1>=2\\
&x_<2>=-2
\end
Ответ: решения нет.
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
http://bingoschool.ru/manual/bikvadratnyie-uravneniya-reshenie-uravnenij-primeryi/
http://tutomath.ru/baza-znanij/bikvadratnye-uravneniya.html