Как решать дробные уравнения крест накрест

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Урок по теме «Решение дробных рациональных уравнений». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели урока:

• формирование понятия дробных рационального уравнения;
• рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
• рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
• обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
• проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.

• развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
• развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;
• развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
• развитие критического мышления;
• развитие навыков исследовательской работы.

• воспитание познавательного интереса к предмету;
• воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
• воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)
2. Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).
3. Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)
4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)
5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)
6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)

3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.

Решение неравенств. Общие соображения.

Свойства числовых неравенств

Для любых дейcтвительных чисел a, b, c и d выполняются следующие свойства:

Особое внимание обратите на свойства 5 и 9. Они непосредственно связаны с нашей темой — дробно-рациональные неравенства.
Напомню, что рациональными называются выражения, которые не содержат радикалов и трансцендентных функций, т.е. это алгебраические выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков арифметических действий.

Почему неравенства не решают так же, как уравнения?

Итак, нужно найти корни уравнения. Что можно сделать?

Вариант первый.

Зафиксировать область допустимых значений (ОДЗ) выражения: \( x-1 \ne 0; \; x+5 \ne 0. \)
Убедиться в том, что уравнение представляет собой равенство двух дробей и воспользоваться основным свойтвом пропорции — произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов — в простореции «перемножить крест накрест.» \[(x — 2)\cdot(x+5) = (x-1)\cdot(2x-2).\] Решить простое (без дробей) рациональное уравнение. Здесь после раскрытия скобок и приведения подобных членов оно сведется к квадратному.
Сверить полученные корни с ОДЗ и, отбросив лишние, сформировать ответ.

Вариант второй.

Привести к общему знаменателю. При этом неважно перенесены ли предварительно все члены уравнения в одну сторону или нет.
Не забыть об ограниченности области допустимых значений выражения (написать ОДЗ).
Отбросить общий знаменатель (одинаковые знаменатели в обеих частях равенства, если не переносили всё в одну сторону).
Решить упрощенное уравнение, проверить полученные корни на соответствие ОДЗ, написать ответ.

Вариант третий.

Перенести все члены уравнения в левую часть равенства и привести к общему знаменателю. \[ \frac— \frac<2x-2> = 0;\\ \frac <(x - 2)\cdot(x+5) - (2x-2)\cdot(x-1)> <(x-1)(x+5)>= 0. \] Затем, вспомнив о том, что дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, записать и решать следующую равносильную систему: \[ \begin < (x - 2)\cdot(x+5) - (2x-2)\cdot(x-1) = 0;\\ (x-1)(x+5) \ne 0. >\end \]

Попробуйте всё это проделать самостоятельно для тренировки навыков решения дробно-рациональных уравнений. И убедитесь в том, что во всех трёх случаях будут получены одинаковые ответы.
Для решения уравнений реального ЕГЭ вы можете выбрать любой из этих подходов, который вам придётся по душе.

Здесь дорешаем уравнение в третьем варианте, чтобы потом сравнить его корни с решением неравенства. \[ \left\< <\begin<*<20>c> <(x^2+3x-10) - (2x^2-4x+2) = 0;>\\ <(x-1)(x+5) \ne 0;>\hfill \\ \end > \right.\left| <\begin<*<20>c> <-x^2 +7x - 12 = 0;>\\ \\ \end > \right. \left| <\begin<*<20>c> <> \\ <> \\ \end > \right. x_1 = 3; \; x_2 = 4. \]

Ответ: x ∈ <3;4>.

Замечение:Отдельные ответы удобно записывать в фигурных скобках как элементы перечислимого множества, в отличие от интервалов (a;b) и отрезков [a;b], для обозначения которых используются круглые или квадратные скобки соответственно..

Это неравенство содержит те же самые дробные выражения, что и предыдущее уравнение. Однако теперь
варианты «крест накрест» и отбрасывание общего знаменателя НЕПРИМЕНИМЫ,
потому что в знаменателе присутствуют неизвестные величины, а следовательно мы не знаем знаков множителей и не сможем корректно применять свойства неравенств. Особенно это касается свойства 5, которое требует изменить знак неравенства при умножении на отрицательное число. Поэтому при решении дробно-рационального неравенства
самое разумное действие — перенести все его члены в одну сторону и сравнивать итоговое выражение с нулем,
т.е. применим способ аналогичный рассмотренному варианту 3 для уравнений.

Итак, переносим всё в левую часть неравенства и преобразуем выражение: \[ \frac— \frac<2x-2> \le 0;\\ \frac <(x - 2)\cdot(x+5) - (2x-2)\cdot(x-1)> <(x-1)(x+5)>\le 0;\\ \frac <-x^2 +7x - 12 > <(x-1)(x+5)>\le 0. \]

Далее можем рассуждать так:
Фактически, здесь мы должны определить знак дробного выражения. То есть при каких значениях переменной результат деления является неположительным числом (отрицательным или нулём).
Очевидно, это будет тогда, когда знаки числителя и знаменателя не совпадают. Таким образом, нужно рассмотреть два случая: числитель дроби меньше либо равен нулю И знаменатель положителен (> 0) ИЛИ числитель дроби больше либо равен нулю И знаменатель отрицателен ( 0;> \hfill \\ \end > \right.> \\ <\left\< <\begin<*<20>c> <-x^2 +7x - 12 \ge 0;>\\ <(x-1)(x+5) x ∈ (−∞; −5)U(1;3]U[4;+∞) . Решения неравенств второй системы не пересекаются: x ∈ ∅ .

Объединяя эти случаи, т.е. первую часть ответа с пустым множеством, в итоге получаем:

Ответ: x ∈ (−∞;−5)U(1;3]U[4;+∞) .

Сравним ответ неравенства с ответом уравнения, рассмотренного выше. Значения переменной \(x = -5; x = 1; x = 3; x = 4 \) присутствовали как ключевые при решении уравнения, однако те из них, которые обращают знаменатель в 0, не вошли в ответ.
Но в ответе неравенства мы явно видим все эти значения переменной. Они фигурируют как границы промежутков. При этом входят или не входят граничные точки в ответ зависит от ОДЗ выражений и степени строгости неравенства.
Таким образом, наиболее частые ошибки при решении неравенств состоят в потере граничных точек и слиянии промежутков.

Как проверить ответ неравенства?

И всё-таки, если это ответственное решение, например, важный экзамен, имеет смысл потратить некоторое время и провести вычисление нескольких числовых значений для неравенства.
1) Подставить в неравенство хотя бы по одному значению из промежутков, входящих в ответ, чтобы убедиться, что полученные числовые неравенства будут верными,
2) и по одному значению из промежутков, не входящих в ответ, чтобы убедиться что соответствующие числовые неравенства будут неверными.
3) Также не мешает перепроверить граничные точки промежутков.

Проверка ответа примера 2.

1) Все следующие числовые неравенства должны оказаться верными.

\(x \in (-\infty;-5) \). Пусть \(x = -7 \), тогда \[ \frac<-7-2> <-7-1>\le \frac<-14-2><-7+5>;\;\; \frac<9> <8>0,\) которое является составной частью рассмотренной в примере 2 совокупности систем, будет верным, если оба сомножителя имеют одинаковые знаки — оба положительны или оба отрицательны, т.е. в свою очередь сводится к совокупности двух систем неравенств

Выход из положения может быть следующим:

Если \(7x-7 > 0\), то знак исходного неравенства сохраняется: \[\frac<21> <7x-7>> \frac<8x-8> <7x-7>\Leftrightarrow 21 > 8x-8. \] Если \(7x-7 \frac<8x-8> <7x-7>\Leftrightarrow 21 \frac<8x-8> <7x-7>\Leftrightarrow \left[ <\begin<*<20>c> <\left\< <\begin<*<20>c> <7x-7>0;> \\ <21 >8x-8> \hfill \\ \end > \right.> \\ <\left\< <\begin<*<20>c> <7x -7<0;>\\ <21 < 8x-8. >\hfill \\ \end > \right.> \\ \end > \right. \] К этой совокупности систем быстрее и надёжнее, т.е. с меньшей вероятностью допустить ошибку, мы приходим тогда, когда с самого начала переносим всё в одну часть неравенства и сравниваем выражение с нулем.

Вывод: Отбрасывание общего знаменателя можно производить только для тех неравенств, в которых этот знаменатель положительная константа. Т.е. здесь для неравенства (1). Во всех остальных случаях требуется более детальный анализ знаков чисел и выражений.

Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.

Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.