Как решать графические уравнения 11 класс

Урок по математике по теме «Функционально-графический метод решения уравнений» (11-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 11

Цели:

Систематизировать, обобщить, расширить знания, умения учащихся, связанные с применением функционально-графического метода решения уравнений

Отработка навыков решения уравнений функционально-графическим методом.

Формирование логического мышления, умения самостоятельно и нестандартно мыслить.

Развивать коммуникативные навыки в процессе групповой работы.

Осуществлять продуктивное взаимодействие в группе для достижения максимального общего результата.

Отработка умений слушать товарища. Анализировать его ответ и задавать воросы.

Для проведения этого урока в классе организовались группы ребят, которые получила вспомнить определённый метод решения уравнений, подобрать 5-8 уравнений, решить их и подготовить презентацию.

Оборудование: Компьютер, проектор. Презентация.

В презентацию учителя были вставлены презентации ребят, но у них разный фон.

Сегодня на уроке мы вспомним функционально — графический метод решения уравнений, рассмотрим когда он применяется, какие трудности могут возникнуть при решении и будем выбирать методы решения уравнений.

Вспомним основные методы решения уравнений.(слайд № 2)

Первая группа разбирает графический метод.

Вторая группа рассказывает о методе мажорант.

Метод мажорант — метод нахождения ограниченности функции.

Мажорирование — нахождение точек ограничения функции. М — мажоранта.

Если имеем f(x) = g(x) и известно ОДЗ, и если

, , то

.№1 Решите уравнение:

х = 4 — решение уравнения.

№2 Решить уравнение

Решение: Оценим правую и левую части уравнения:

а) , так как , а ;

б) , так как .

Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение равносильно системе

Первое уравнение системы имеет только один корень х=-2. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем верное числовое равенство:

Третья группа объясняет использование теоремы об единственности корня.

Если одна из функций(F(x)) убывает, а другая (G(x))возрастает на некоторой области определения, то уравнение F(x)=G(x) имеет не более одного решения.

№1 Решить уравнение

Решение: область определения данного уравнения x>0. Исследуем на монотонность функции . Первая из них — убывающая (так как это — логарифмическая функция с основанием больше нуля, но меньше единицы), а вторая — возрастающая (это линейная функция с положительным коэффициентом при х). Подбором легко находится корень уравнения х=3, который является единственным решением данного уравнения.

Учитель напоминает. где ещё используется монотонность функции при решении уравнений.

А) — От уравнения вида h(f(x))=h(g(x)) переходим к уравнению вида f(x)=g(x)

Графический метод в задачах с параметром

Данный метод используется не только в задачах с параметром, но и для решения обыкновенных уравнений, систем уравнений или неравенств. Он входит в стандартный курс школьной программы и наверняка вы с ним сталкивались, но в несколько упрощенном варианте. Сначала я кратко напомню, в чем заключается этот метод. Затем разберем, как его применять для решения задач с параметром, и рассмотрим несколько типовых примеров.

Для начала рассмотрим уравнение с одной переменной \(f(x)=0\). Для того, чтобы решить его графическим методом, нужно построить график функции \(y=f(x)\). Точки пересечения графика с осью абсцисс (ось \(х\)) и будут решениями нашего уравнения.

Или рассмотрим уравнение \(f(x)=g(x)\). Точно так же строим на одной координатной плоскости графики функций \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\), абсциссы точек их пересечения будут решениями уравнения.

Стоит отдельно отметить, что для решения графическим методом необходимо выполнять очень качественный и точный рисунок.

Решить графическим методом уравнение \(x^2+3x=5x+3\).

Решение: Построим на одной координатной плоскости графики функций \(y=x^2+3x\) и \(y=5x+3\). См. рис.1.

\(y=5x+3\) – красный график; \(y=x^2+3x\) – синий график.

Из Рис.1 видно, что графики пересекаются в точках \((-1;2)\) и \((3;18)\). Таким образом, решением нашего уравнения будут: \(_<1>=-1; _<2>=3\).

Теперь рассмотрим уравнение с двумя переменными \(f(x,y)=0\). Решением этого уравнения будет множество пар точек \((x,y)\), которые можно изобразить в виде графика на координатной плоскости \((xOy)\). Если решать это уравнение аналитически, то, как правило, мы выражаем одну переменную через другую \((x,y=f(x))\) или \((x=f(y),y)\).

В качестве примера рассмотрим обыкновенное линейное уравнение \(2x-5y=10\). (1) Выражаем \(x=\frac<10+5y><2>\) – это называется общим решением уравнения. Изобразим его на координатной плоскости, построив график (Рис. 2):

Конпект урока алгебры в 11 классе по теме «Функционально-графический метод решения уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

формирование у учащихся умений и навыков решения уравнений функционально-графическим методом;

рассмотрение применения математической программы Advanced Grapher для решения уравнений функционально-графическим методом;

развитие познавательного интереса учащихся к предмету.

Тип урока: урок совершенствования знаний, формирования умений и навыков.

Учебно-наглядный материал : карточки с заданиями для учащихся, шаблон параболы, карточки с изображением графиков некоторых функций в одной системе координат, компьютеры заранее установленным программным обеспечением Advanced Grapher .

Постановка цели и мотивация учебной деятельности.

Учитель: нередко в учебниках математики можно встретить уравнения вида

Уравнение кажется неестественным, ведь оно относится одновременно к двум различным темам, которые редко пересекаются на одном уроке, а тем более в одном уравнении. Но функционально-графический метод, который мы будем использовать на этом уроке, поможет нам решить такое уравнение.

Из названия метода понятно, что он основан на свойствах функций и построении графиков функций. Конечно, строить графики — работа не из самых увлекательных, особенно когда приходиться находить производную или вычислять значения функций в ряде точек. Но имеем возможность, строить графики с помощью программы Advanced Grapher .

Учитель: Для того чтобы успешно работать в дальнейшем, необходимо вспомнить основные определения и свойства функций, ответив на вопросы:

1. Какую зависимость между величинами называют функцией?

Что называется графиком функции?

Что называется множеством значений функции?

Приведите множество значений функций ,у которых множество значений ограничено.

Для функций записанных на доске назовите их наибольшие и наименьшие значения, если таковые существуют.

3. Решение нестандартных уравнений.

Учитель: На этом уроке мы будем рассматривать так называемые уравнениянестандартного вида f ( x )= g ( x ), где f ( x ) и g ( x ) функции совершено разного типа.

Существуют теоремы, способные облегчить решение уравнения вида

Сегодня мы познакомимся с ними. Откройте учебник (стр.307). Здесь курсивом выделены два утверждения. Прочтём первое: Если одна из функций y = f ( x ), y = g ( x ) возрастает, а другая убывает, то уравнение f ( x )= g ( x ) либо не имеет корней, либо имеет один корень (который иногда можно угадать).

Воспользовавшись данным утверждением, решим уравнение ( x =0)

Но уравнение, приведенное в начале урока невозможно решить, опираясь на данное утверждение. Познакомимся со вторым утверждением: (читаем стр.307) Если на промежутке Х наибольшее значение одной из функций y = f ( x ), y = g ( x ) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f ( x )= g ( x ) равносильно системе уравнений

Данное утверждение мы вводим без доказательства, а для подтверждения решим уравнение . Ученик у доски строит графики функций и



4. Закрепление изучаемого материала.

Задание 1. Устно решить уравнение, обосновывая решение с помощью изученных теорем. . Рассуждения ученика: графиком функции у= является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находиться в точке с координатами (0;-1), значит наибольшее значение –1 функция принимает при х=0.

Функция у= при х=0 принимает своё наименьшее значение, равное –1. Значит уравнение имеет один корень х=0.

Задание 2. Вернёмся к уравнению, записанному в начале урока. Удовлетворяют ли оно условию теоремы? Сразу трудно ответить на этот вопрос. По графику функции легче определить ограничена она или нет. А графики этих функций мы построим с помощью программы Advanced Grapher. Для того, чтобы построить на компьютере графики функций у= и у= мы должны записать формулы функций в виде, необходимом для компьютера.

Один из учащихся записывает формулы на доске: y=ln(x^2-4*x+8)/ln(2); y=sin(5*3.14*x/4)-cos(3*3.14*x/2). Затем учащиеся переходят к компьютерам, открывают программу Advanced Grapher и строят графики функций. На экране возникает рисунок.

Учитель: По построенным графикам ответьте на вопросы:

Ограничена ли логарифмическая функция? (да, снизу)

Имеет ли она наибольшее значение? (нет)

Имеет ли она наименьшее значение? (да)

Чему равно наименьшее значение логарифмической функции?

Ограничена ли тригонометрическая функция?

Имеет ли она наибольшее и наименьшее значения?

Чему равно наибольшее значение тригонометрической функции?

Удовлетворяют ли данные функции условию теоремы?

Каков корень уравнения?

Затем учащиеся знакомятся с записью решения, которое заранее записано на доске. Рассмотрим функции f ( x )= log ₂ ( x 2 -4 x +8) и f ( x )= .

( x 2 -4 x + log ₂ 8)  2 при x  ),  2 при x x  ).

=2.



log ₂ (x 2 -4x+8)=2,

5. Самостоятельная работа учащихся на компьютере по индивидуальным заданиям.

Используя программу Advanced Grapher , решите уравнения

. Ответ:-3.