Как решать графические уравнения 8 класс с корнями

Урок-практикум «Графическое решение уравнений, содержащих функцию y=√х (функцию квадратного корня)». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Базовый учебник: Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А. Г. Мордкович.

Цель урока: применить алгоритм решения уравнений графически к функции у = .

Задачи:

• Обучающая: способствовать закреплению знаний свойств функции у = , умение строить график этой функции, использовать алгоритм графического решения уравнений применительно к графику квадратного корня из неотрицательного числа.
• Развивающая: развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить; развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом; работа на интерактивной доске, познавательная активность.
• Воспитывающая: воспитание познавательного интереса к предмету; к самостоятельности при решении учебных задач; воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: урок практикум.

Методы:

• словестные: фронтальная работа
• наглядные алгоритм, графики.
• практические: индивидуальная, парная и групповая работа, тренировочная самостоятельная работа.

Оборудование: учебник, рабочая тетрадь, раздаточный материал, школьная доска, интерактивная доска.

План урока.

1. Организационный момент. 1 мин

2. Проверка домашнего задания. 5 мин

3. Актуализация знаний. Устная работа с классом. 7 мин

4. Закрепление материала 20 мин

5. Тренировочная самостоятельная работа. 8 мин

6. Постановка домашнего задания. 3 мин

7. Рефлексия. 1 мин

8. Итог урока. 1мин

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания. (Учащиеся проверяют домашнюю работу, сверяясь с эталоном, оценивают правильность и полноту выполнения согласно критериям, ставят оценку).

Для №13.3 Сопоставьте график который получился у вас дома с одним из графиков. Слайд 2. Из данных утверждений (приложение 1 у каждого ученика) выберите те свойства, которые подходят для функции у = — :

С помощью графика найдите: Слайд 3

а) значения у при х = 1; ; 9; (выборочно)

б) значения х, если у = 0; -2; -4; (выборочно)

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке ;

г) при каких значениях х график функции расположен выше прямой у = -2. Ниже прямой у = -2.

3. Актуализация знаний. Устная работа с классом.

1. Принадлежит ли графику функции у = точки

А(2; ); В(1; 0); С(6,25; 2,5); Д(-9; 3).Слайд 4

2. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции у = Слайд 5

а) на отрезке ;

б) на полуинтервале [4; 7);

в) на луче [0; )

3. Решите уравнение по заданному графику: х 2 = х +2. Слайд 6

Учащиеся вспоминают (7 класс) алгоритм решения уравнений данного типа, проговаривая, что является корнем уравнения. Как данное задание мы будем применять на уроке.

Ученики говорят тему урока(на доске записана), формулируют цель,

4. Закрепление материала

Задание 1. Итак, повторив алгоритм решения уравнений графически выполним задание № 13.9 (б).

(ученик у доски, остальные в тетради)

= 6 – х;

1) Рассмотрим две функции у = и у = 6 — х

2) Построим график функции у = ,

х	0	1	4
у	0	1	2

3) Построим график функции у = 6 – х,

х	0	2
у	6	4

4) По графику устанавливаем, что графики пересекаются в одной точке А(4; 2). Проверим принадлежность данной точки нашим функциям.

Ответ: х = 4. Слайд 7

Задание 2 Решить уравнение графически: два человека у доски остальные на местах выполняют соответственно свои варианты самостоятельно. Совместно устраняют в ходе проверки обнаруженные пробелы (на доске и на листах учеников готовая памятка с построенным графиком линейной функции). Построение графика квадратного корня ученики выполняют самостоятельно. И записывают ответ.

Памятка 1 вариант

а) – = х – 2

Оцените себя, отметив уровень этого показателя. Понимание: – ______________+

Памятка 2 вариант

б) — = 2 – 3х

Оцените себя, отметив уровень этого показателя. Понимание: – ______________+

Задание 3. Решить графически систему уравнений

(работа выполняется в парах используя приложение № 2)

После выполнения задания учащиеся проверяют свое решение, сравнивая с эталоном. Слайд 8

Встаньте те кто справился с данным заданием.

Физкультминутка для глаз. Слайд 9

Задание 4. Работа в группах(задания дифференцированы, приложение 3): Слайд 10

Задание 1 группе: Докажите, что графики функций у = и у = х + 0,5 не имеют общих точек. Слайд 11

Чтобы доказать, что графики функций y = и у = х + 0,5 не имеют общих точек, достаточно их построить.

Задание 2 группе: Сколько корней имеет данное уравнение = х + b Слайд 12

а) Построим график функции y = и будем относительно него передвигать прямые вида y = x + b. Это параллельные прямые, которые образуют острый угол с положительным направлением оси абсцисс.

Таким образом, очевидно, что уравнение = x + b может иметь один, два корня, а может и не иметь корней.

Задание 3 группе: Сколько корней имеет данное уравнение = — х + b

Прямые вида y = –x + b – это параллельные прямые, которые образуют тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.

Получаем, что уравнение = –x + b имеет либо один корень, либо не имеет корней.

Обсуждение решений каждой группы.( Для готовых графиков квадратного корня на интерактивной доске учащиеся показывают свои решения)

5. Тренировочная самостоятельная работа.

В а р и а н т 1

1 . По графику функции у = найдите:

а) значение функции при х = 3, у =____

б) значение аргумента, которому соответствует значение y = 1,8; х = _____

2. Принадлежит ли графику функции y = точка:

а) А (36; 6); ______ б) В (–9; 3)_______?

3. Решите уравнение графически — = — х

На листочках с самостоятельной работой поставьте:

1 – если на уроке вам было интересно и понятно;

2 – интересно, но не понятно;

3 – не интересно, но понятно;

4 – не интересно, не понятно.

В а р и а н т 2

1. По графику функции y = найдите:

а) значение функции при х = 5; у =

б) значение аргумента, которому соответствует значение у = 1,5; х =

2. Принадлежит ли графику функции y = — точка:

а) А (81; -9)______ б) В (–16; 4)_______

3. Решите уравнение графически = х

На листочках с самостоятельной работой поставьте:

1 – если на уроке вам было интересно и понятно;

2 – интересно, но не понятно;

3 – не интересно, но понятно;

4 – не интересно, не понятно.

Проверяем работу с помощью эталона. Слайд 13 Выясняем проблемы по данной теме.

6. Постановка домашнего задания.

№ 13.9(г), № 13.11(г), № 13.16(рис 7 опишите свойства функции)

7. Рефлексия.

На листочках с самостоятельной работой поставьте:

1 – если на уроке вам было интересно и понятно;

2 – интересно, но не понятно;

3 – не интересно, но понятно;

4 – не интересно, не понятно.

8. Итог урока.

Урок я хочу закончить словами древнегреческого ученого Фалеса:

Что быстрее всего? – Ум

Что мудрее всего? – Время

Что приятнее всего? Достичь желаемого.

Я думаю, мы с вами достигли желаемого? Еще раз вспомнли функцию квадратного корня из неотрицательного числа и применили алгоритм решения уравнения графически к этой функции. Но ребята, кроме у = в дальнейшем мы будем рассматривать более сложные функции, например у = у = -1 у = +5.

Так что перспектива развития ваших знаний велика. Дерзайте.

Приложение № 1

Для номера 13.3 Сопоставьте график который получился у вас дома с одним из графиков. Слайд 2

Из данных утверждений выберите те свойства, которые подходят для функции у = — :

1. Область определения функции – луч [0; + )
2. Область определения функции – луч ( + ; 0]
3. у = 0 при х = 0, у 0
4. Функция убывает на луче [0; + )
5. Функция возрастает на луче [0; + )
6. у_наиб = 0, у_наим не существует
7. Функция непрерывна на луче [0; + )
8. Область значения функции – луч [0; + )
9. Область значения функции – луч (- ; 0]
10. Функция выпукла вниз.
11. Функция выпукла вверх.

Приложение 2

Работа в парах Задание № 3

Решите графически систему уравнений:

Приложение 3

Работа в группах Задание № 4

Задание 1 группе: Докажите, что графики функций у = и у = х + 0,5 не имеют общих точек.

Задание 2 группе: Сколько корней имеет данное уравнение = х + b

Задание 3 группе: Сколько корней имеет данное уравнение = — х + b

Графически решить уравнение с корнем

Допустим дано такое уравнение:
√x – 0.5x = 0

Требуется решить его графическим способом.

Графический метод решения уравнений заключается в приравнивании двух выражений (частей уравнения), рисования графиков этих выражений-функций на координатной плоскости, нахождения точек пересечения графиков двух функций.

В данном случае преобразуем уравнение к такому виду:
√x = 0.5x

Получаются две функции, чьи графики следует изобразить на координатной плоскости:
f(x) = √x
g(x) = 0.5x

Первый график — это ветвь параболы, вытянутая вдоль оси x. Второй график — прямая.

Как видно из построения, графики функций пересекаются в двух точках: (0; 0) и (4; 2). Нас интересует только координата x. Значит уравнение √x – 0.5x = 0 имеет два корня: x₁ = 0 и x₂ = 4.

Действительно, если подставить в уравнение определенные по графикам значения x, то левая и правая части уравнения будут равны друг другу.

Решим графически такое уравнение:
√x = (0.6x−3.3) 2 − 4

Здесь в качестве графиков функций имеем параболу и ветвь параболы:

Графики функций, как и в первом случае, пересекаются в двух точках. Однако точно определить точки пересечения нельзя. Можно лишь сказать приблизительно, чему будут равны корни такого уравнения. Одна точка пересечения графиков — это примерно (3; –1.7), вторая точка имеет примерные координаты (7.4; –2.7). Таким образом, x₁ ≈ 3, x₂ ≈ 7.4.

Следует отметить, что графики функций какого-либо заданного уравнения могут пересекаться только в одной точке. В таком случае, уравнение имеет только один корень. Если графики вообще не пересекаются, то уравнение не имеет корней.

Алгебра. 8 класс

Тема: Решение уравнений графическим способом

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Решим графическим способом уравнение:

Решить уравнение – значит найти такие значения x, при которых выполняется равенство x 2 = −3x
Построим в одной системе координат два графика:
график функции y = x 2 и график функции y = −3x.
Для каждого графика составим таблицы значений
y = x 2 – на рисунке синий график

y = −3x – на рисунке красный график

Заметим, что графики пересекаются в двух точках: точке с координатами (0 ; 0) и в точке с координатами (–3 ; 9). Это значит, что при x = 0 и при x = –3 функции y = x 2 и y = −3x имеют одинаковые значения.
Таким образом получаем, что при x = 0 и при x = –3 выполняется равенство x 2 = −3x.
Значит значения x = 0 и x = –3 являются корнями уравнения x 2 = −3x.
Корни, найденные графическим способом – приближённые. Чтобы доказать точность значений корней, надо каждый из них подставить в решаемое уравнение и проверить: выполняется ли полученное равенство.
Подставим в уравнение x 2 = −3x значение x = 0.

0 = 0 – верное равенство, значит x = 0 – точный корень уравнения x 2 = −3x.
Подставим в уравнение x 2 = −3x значение x = –3.

9 = 9 – верное равенство, значит x = −3 – точный корень уравнения x 2 = −3x.
Подведём итог.
Чтобы решить уравнение f₁(x) = f₂(x) графическим способом, необходимо:
1) Построить в одной системе координат графики функций y = f₁(x) и y = f₂(x). Абсциссы точек пересечения – это приближённые корни уравнения f₁(x) = f₂(x).
2) Необходимо подставить каждый приближённый корень в уравнение f₁(x) = f₂(x). Те корни, при которых получается верное равенство будут являться точными корнями уравнения f₁(x) = f₂(x).

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.