Как решать графические уравнения кубическая парабола

Как решать графические уравнения кубическая парабола

Мы уже говорили, что уже арабские математики средневековья владели всей теорией решения квадратных уравнений. Другое дело – уравнения кубические. Если решение квадратных уравнений может быть найдено с помощью определенных построений циркулем и линейкой (эти построения, так называемые «приложения площадей», были известны уже древним грекам), то корень кубического уравнения, вообще говоря, невозможно построить циркулем и линейкой. Поэтому для их решений были нужны другие методы. Во-первых, существовали приближенные методы вычисления корней, с помощью которых можно было найти корень с любой заданной точностью. А во-вторых, для анализа разрешимости уравнения, числа его корней и примерной их оценки применялись графические методы.

Под графическим решением уравнения мы сейчас обычно понимаем (в простейшем случае) построение графиков функций и и нахождение абсцисс точек их пересечения. В более общем случае уравнение может быть сведено к системе каких-либо двух уравнений с двумя неизвестными – не обязательно эти уравнения должны иметь форму и . Каждое из уравнений трактуется как уравнение некоторой кривой на координатной плоскости; координаты точек их пересечения этих кривых удовлетворяют обоим уравнениям, и, следовательно, являются решением системы, по ним можно получить и корень исходного уравнения. Разумеется, с помощью графического решения, как правило, невозможно найти значение корней уравнения точно. Тем не менее, оно часто бывает полезным для того, чтобы приблизительно определить их значение или получить общее представление о числе положительных и отрицательных корней и т. п.

Хотя у древних греков не было идеи графиков функций в современном смысле, они владели определенной техникой, которую мы бы, в переводе на современный язык, сочли именно графическим решением уравнений. Задача, которую было необходимо решить, формулировалась в виде некоторого соотношения (уравнения), которое затем переводилось в форму двух соотношений между двумя неизвестными величинами (система двух уравнений с двумя неизвестными). Эти две величины трактовались как расстояния от точки до двух перпендикулярных прямых (фактически, осей координат): строились две кривые, соответствующие двум данным соотношениям между этими расстояниями (координатами), и находились точки пересечения этих кривых.

С помощью этой техники греки, а затем и арабы, находили, в частности, решения кубических уравнений. Уже говорилось, что с помощью точек пересечения гиперболы и параболы или двух парабол Менехм строил решение знаменитой задачи об удвоении куба, то есть решал уравнение вида 3 = . Греки сталкивались и с другими типами кубических уравнений. Так, Архимед рассматривал задачу о делении шара плоскостью на два сегмента, объемы которых находятся в данном отношении (₁ : ₂ = ). Эта задача сводится к решению кубического уравнения вида 3 + = 2 . Дело в том, что объем шарового сегмента (как это открыл тот же Архимед) является кубической функцией его высоты (да еще без линейного члена):

Это довольно приятное обстоятельство: скажем, площадь кругового сектора зависит от его высоты существенно более сложным образом.

Архимед построил корень полученного кубического уравнения как координату точки пересечения параболы и гиперболы и произвел тщательный анализ задачи.

Выведите уравнение, соответствующее задаче Архимеда (приняв за высоту одного из сегментов).

Если радиус шара , а высота одного из сегментов , то высота другого – . Объем первого сегмента ,

а объем второго (в сумме, нетрудно видеть, они составляют – известная формула объема шара, доказанная также Архимедом).

Т. к. отношение объемов равно ,

3 ( + 1) + 4 3 = 3 ( + 1) 2 ,

3 + 4 3 / ( + 1) = 3 2 .

Другой вариант – положить обратное отношение равным . Тогда:

Кубическая парабола

Вы будете перенаправлены на Автор24

Кубическая парабола – это парабола, задаваемая уравнением вида $y=ax^3$, где $a ≠ 0$. Также в литературе можно встретить и другие формулы для кубической параболы, все они эквивалентны.

Рисунок 1. График кубической параболы

Свойства функции кубической параболы

1. График кубической параболы определён на всём пространстве действительных чисел.
2. Функция, задаваемая графиком кубической параболы, является нечётной, то есть: $f(-x) =(-x)^3= — x^3 = f(x)$.
3. Из этого следует, что обратная функция кубической параболы, заданная уравнением $y = -x^3$ будет располагаться II и IV четвертях графика, тогда как для $y = x^3$ график располагается в I и III четвертях.
4. График кубической параболы центрально-симметричен относительно начала координат или точки перегиба, если он сдвинут относительно начала координат. То есть форма кривой справа до точки перегиба полностью идентична форме кривой слева. График кубической параболы хотя бы 1 раз пересекает ось абсцисс.
5. График кубической параболы возрастает на всей области определения.

Анализ графика функции кубической параболы

1. Найдя производную $f'(x)$ кубической функции первого порядка и приравняв полученное выражение к нулю, вы получите критические точки для кубической параболы, называемые также локальными минимумами и максимумами.
2. Вторая производная $f»(x)$ параболы определяет точку перегиба функции.
3. Области значения и определения кубической параболы — все действительные числа.

Найдите точку перегиба для кубической параболы, заданной уравнением $y = 2x^3 + 6x^2 – x +2$.

1. Сначала найдём первую производную функции, она равна: $y’ = 6x^2 + 12x – 1$.
2. Теперь найдём вторую производную, $y» = 12x + 12$. Чтобы найти значение по оси абсцисс точки перегиба, приравняем вторую производную к нулю и решим уравнение: $12x + 12 = 0$, $x = -1$.
3. Найдём значение по оси ординат, для этого в исходную функцию подставим значение найденного $x$: $y = -2 + 6 + 1 +2 = 7$. Точка перегиба кубической параболы, заданной уравнением $y = 2x^3 + 6x^2 – x +2$ находится по координатам $(-1; 7)$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 09 12 2021

Кубическая функция

Кубическая функция — это функция вида y=ax³, где a — число ( a≠0).

График кубической функции называется кубической параболой.

Для начала рассмотрим свойства и график кубической функции y=x³ (при a=1).

Свойства функция y=x³:

1) Область определения — множество действительных чисел:

2) Область значений — все действительные числа:

3) Функция имеет один нуль:

4) Точка O (0;0) делит кубическую параболу на две равные части, каждая из которых называется ветвью кубической параболы. Ветви кубической параболы симметричны относительно точки O — начала координат.

Отсюда следует, что противоположным значениям x соответствуют противоположные значения y: (- x)³= — x³ .

5) Функция возрастает на всей числовой прямой.

6) Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения при x∈(0;∞) (или y>0 при x>0);

функция принимает отрицательные значения при x∈(-∞;0) (или y

Эти точки отмечаем на координатной плоскости и строим кубическую параболу:

График функции y=ax³ при a≠1 ( a≠0) получают из графика функции y=x³ при помощи геометрических преобразований.

Функция y=x³ — один из частных случаев степенной функции

где α — любое действительное число.

В курсе алгебры из частных случаев степенной функции мы уже встречались с квадратичной функцией y=x² и функцией обратной пропорциональности