Как решать графические уравнения при помощи таблиц

Графический способ решения уравнений в среде Microsoft Excel 2007

Тип урока: Обобщение, закрепление пройденного материала и объяснение нового.

Цели и задачи урока:

• повторение изученных графиков функций;
• повторение и закрепление графического способа решения уравнений;
• закрепление навыков записи и копирования формул, построения графиков функций в электронных таблицах Excel 2007;
• формирование и первичное закрепление знаний о решении уравнений с использованием возможностей электронных таблиц Excel 2007;
• формирование мышления, направленного на выбор оптимального решения;
• формирование информационной культуры школьников.

Оборудование: персональные компьютеры, мультимедиапроектор, проекционный экран.

Материалы к уроку: презентация Power Point на компьютере учителя (Приложение 1).

Слайд 1 из Приложения1 ( далее ссылки на слайды идут без указания Приложения1).

Объявление темы урока.

1. Устная работа (актуализация знаний).

Слайд 2 — Соотнесите перечисленные ниже функции с графиками на чертеже (Рис. 1):

у = 6 — х; у = 2х + 3; у = (х + 3) 2 ; у = -(х — 4) 2 ; .

Слайд 3 Графический способ решения уравнений вида f(x)=0.

Корнями уравнения f(x)=0 являются значения х₁, х₂, … точек пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс (Рис. 2).

Найдите корни уравнения х 2 -2х-3=0, используя графический способ решения уравнений (Рис.3).

Слайд 5 Графический способ решения уравнений вида f (x)=g (x).

Корнями уравнения f(x)=g(x) являются значения х₁, х₂, … точек пересечения графиков функций y=f(x) и у=g(x). (Рис. 4):

Слайд 6 Найдите корни уравнения , используя графический способ решения уравнений (Рис. 5).

2. Объяснение нового материала. Практическая работа.

Решение уравнений графическим способом требует больших временных затрат на построение графиков функций и в большинстве случаев дает грубо приближенные решения. При использовании электронных таблиц, в данном случае – Microsoft Excel 2007, существенно экономится время на построение графиков функций, и появляются дополнительные возможности нахождения корней уравнения с заданной точностью (метод Подбор параметра).

I. Графический способ решения уравнений вида f(x)=0 в Excel.

Дальнейшая работа выполняется учителем в Excel одновременно с учениками с подробными (при необходимости) инструкциями и выводом результатов на проекционный экран. Слайды Приложения 1 используются для формулировки задач и подведения промежуточных итогов.

Пример1: Используя средства построения диаграмм в Excel, решить графическим способом уравнение —х 2 +5х-4=0.

Для этого: построить график функции у=-х 2 +5х-4 на промежутке [ 0; 5 ] с шагом 0,25; \найти значения х точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

Выполнение задания можно разбить на этапы:

1 этап: Представление функции в табличной форме (рис. 6):

• в ячейку А1 ввести текст Х, в ячейку A2 — Y;
• в ячейку В1 ввести число 0, в ячейку С1 – число 0,25;
• выделить ячейки В1:С1, подвести указатель мыши к маркеру выделения, и в тот момент, когда указатель мыши примет форму черного крестика, протянуть маркер выделения вправо до ячейки V1 (Рис. 7).

При вводе формулы можно вводить адрес ячейки с клавиатуры (не забыть переключиться на латиницу), а можно просто щелкнуть мышью на ячейке с нужным адресом.

После ввода формулы в ячейке окажется результат вычисления по формуле, а в поле ввода строки формул — сама формула (Рис. 8):

• скопировать содержимое ячейки B2 в ячейки C2:V2 за маркер выделения. Весь ряд выделенных ячеек заполнится содержимым первой ячейки. При этом ссылки на ячейки в формулах изменятся относительно смещения самой формулы.

2 этап: Построение диаграммы типа График.

• выделить диапазон ячеек B2:V2;
• на вкладке Вставка|Диаграммы|График выбрать вид График;
• на вкладке Конструктор|Выбрать данные (Рис. 9) в открывшемся окне «Выбор источника данных» щелкнуть по кнопке Изменить в поле Подписи горизонтальной оси — откроется окно «Подписи оси». Выделить в таблице диапазон ячеек B1:V1 (значения переменной х). В обоих окнах щелкнуть по кнопкам ОК;

• на вкладке Макет|Оси|Основная горизонтальная ось|Дополнительные параметры основной горизонтальной оси выбрать:

Интервал между делениями: 4;

Интервал между подписями: Единица измерения интервала: 4;

Положение оси: по делениям;

Выбрать ширину и цвет линии (Вкладки Тип линии и Цвет линии);

• самостоятельно изменить ширину и цвет линии для вертикальной оси;
• на вкладке Макет|Сетка|Вертикальные линии сетки по основной оси выбрать Основные линии сетки.

Примерный результат работы приведен на рис. 10:

3 этап: Определение корней уравнения.

График функции у=-х 2 +5х-4 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня: х₁=1; х₂=4.

II. Графический способ решения уравнений вида f(x)=g(x) в Excel.

Пример 2: Решить графическим способом уравнение .

Для этого: в одной системе координат построить графики функций у₁= и у₂=1-х на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25; найти значение х точки пересечения графиков функций.

1 этап: Представление функций в табличной форме (рис. 1):

Аналогично Примеру 1, применив приемы копирования, заполнить таблицу. При табулировании функции у₁=воспользоваться встроенной функцией Корень (Рис. 11).

2 этап: Построение диаграммы типа График.

Примерный результат работы приведен на Рис. 12:

3 этап: Определение корней уравнения.

Графики функций у₁= и у₂=1-х пересекаются в одной точке (0;1) и, следовательно, уравнение имеет один корень – абсцисса этой точки: х=0.

III. Метод Подбор параметра.

Графический способ решения уравнений красив, но далеко не всегда точки пересечения могут быть такими «хорошими», как в специально подобранных примерах 1 и 2.

Возможности электронных таблиц позволяют находить приближенные значения коней уравнения с заданной точностью. Для этого используется метод Подбор параметра.

Пример 3: Разберем метод Подбор параметра на примере решения уравнения —х 2 +5х-3=0.

1 этап: Построение диаграммы типа График для приближенного определения корней уравнения.

Построить график функции у=—х 2 +5х-3, отредактировав полученные в Примере 1 формулы.

• выполнить двойной щелчок по ячейке B2, внести необходимые изменения;
• с помощью маркера выделения скопировать формулу во все ячейки диапазона C2:V2.

Все изменения сразу отобразятся на графике.

Примерный результат работы приведен на Рис. 13:

2 этап: Определение приближенных значений корней уравнения.

График функции у=-х 2 +5х-3 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня.

По графику приближенно можно определить, что х₁≈0,7; х₂≈4,3.

3 этап: Поиск приближенного решения уравнения с заданной точностью методом Подбор параметра.

1) Начать с поиска более точного значения меньшего корня.

По графику видно, что ближайший аргумент к точке пересечения графика с осью абсцисс равен 0,75. В таблице значений функции этот аргумент размещается в ячейке E1.

• Выделить ячейку Е2;
• перейти на вкладку Данные|Анализ «что-если»|Подбор параметра…;

В открывшемся диалоговом окне Подбор параметра (Рис. 14) в поле Значение ввести требуемое значение функции: 0.

В поле Изменяя значение ячейки: ввести $E$1 (щелкнув по ячейке E1).

Щелкнуть по кнопке ОК.

• В окне Результат подбора (Рис. 15) выводится информация о величине подбираемого и подобранного значения функции:
• В ячейке E1 выводится подобранное значение аргумента 0,6972 с требуемой точностью (0,0001).

Установить точность можно путем установки в ячейках таблицы точности представления чисел – числа знаков после запятой (Формат ячеек|Число|Числовой).

Итак, первый корень уравнения определен с заданной точностью: х₁≈0,6972.

2) Самостоятельно найти значение большего корня с той же точностью. (х₂≈4,3029).

IV. Метод Подбор параметра для решения уравнений вида f(x)=g(x).

При использовании метода Подбор параметров для решения уравнений вида f(x)=g(x) вводят вспомогательную функцию y(x)=f(x)-g(x) и находят с требуемой точностью значения х точек пересечения графика функции y(x) с осью абсцисс.

3. Закрепление изученного материала. Самостоятельная работа.

Задание: Используя метода Подбор параметров, найти корни уравнения с точностью до 0,001.

• ввести функцию у=и построить ее график на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25 (Рис. 16):

• найти приближенное значение х точки пересечения графика функции с осью абсцисс (х≈1,4);
• найти приближенное решение уравнения с точностью до 0,001 методом Подбор параметра (х≈1,438).

4. Итог урока.

Слайд 12 Проверка результатов самостоятельной работы.

Слайд 13 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=0.

Слайд 14 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=g(x).

5. Домашнее задание.

Используя средства построения диаграмм в Excel и метод Подбор параметра, определите корни уравнения х 2 -5х+2=0 с точностью до 0,01.

Графическое решение уравнений средствами Microsoft Excel

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Применение табличного процессора Microsoft Excel для графического решения уравнений n-ой степени

Из курса математики известно, что корнями уравнения являются значения точек пересечения графика функции с осью абсцисс. Если же мы решаем систему уравнений, то ее решениями будут координаты точек пересечения графиков функций. Этот метод нахождения корней уравнения называется графическим. Мы уже знаем, что с помощью EXCEL можно строить практически любые графики. Воспользуемся этими знаниями для нахождения корней системы уравнений:

Преобразуем данную систему в приведенную:

Для оценки решений воспользуемся диаграммой, на которой отобразим графики обеих функций. Сначала построим таблицу:

Первая строка – строка заголовков.

При заполнении столбца А: в ячейку А2 заносится начальное значение аргумента Х = – 10, для автоматического заполнения всего столбца в ячейку А3 занести формулу “= А2 + 1” и скопировать ее до ячейки А22.

При заполнении столбца В: в ячейку В2 заносится формула “= А2 * А2”, которая затем копируется до ячейки В22.

При заполнении столбца С: в ячейку С2 заносится формула “ = 2 * А2 + 9”, и также копируется до С22

С помощью Мастера диаграмм построим в одной координатной плоскости графики заданных функций для первоначальной оценки решений/

На диаграмме видно, что оба графика имеют точки пересечения – координаты этих точек и есть решения системы. Так как шаг изменения аргумента достаточно велик, то мы получим приближенные значения решений.

Уточним их, построив два графика в интервалах от – 3 до 0, где находится первое решение, и от 3 до 5, где находится второе решение. Составим новые таблицы. Для первого решения – рисунок 4, для второго – рисунок 5.

Для более точного построения мы уменьшили шаг изменения аргумента. Решением нашей системы будут координаты точек пересечения графиков: Х ₁ = – 2,2; Y ₁ = 4,6; Х ₂ = 4,2; Y ₂ = 17,4. Как вы уже поняли, графическое решение системы дает приблизительные результаты.
Это можно сделать, построив график и определив координаты точек его пересечения с осью OX, либо построив два графика: Y = X3;
Y = 2X2 + 4X – 12 и определив точки их пересечения.

Мастер -класс: «Функционально — графический способ решения уравнений и систем уравнений в электронных таблицах»
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Вы узнаете, как можно использовать электронные таблицы на уроках алгебры при построении графиков функций, решении уравнений и систем уравнений функционально- графическим способом.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Мастер- класс: « Функционально-графический метод решения уравнений и систем уравнений в электронных таблицах»

Цель данной работы : показать, как электронные таблицы Microsoft Excel могут помочь учителю математики в совершенствовании преподавания и обучения.

1 Учитель математики: Старцева Л.В.

Мастер- класс называется: « Функционально-графический метод решения уравнений и систем уравнений в электронных таблицах» . Сегодня мы расскажем, как можно использовать электронные таблицы на уроках алгебры при построении графиков функций, при решении уравнений и систем уравнений функционально- графическим методом. Конечно, покажем это все на конкретных примерах.

В настоящее время уже нет ни одного учителя, утверждающего, что применение информационно — коммуникационных технологий на уроке математики неэффективно. Это здорово, быстро и наглядно. Вопрос уже другой: как сделать чтобы применение компьютера стало естественной потребностью, не вызывало различных дополнительных проблем, чтобы компьютер экономил время учителя, разгружал его.

Компьютерным уроком называют любой урок с применением компьютера как обучающего средства.

• Использование достоинств компьютера для повышения эффективности урока, учебного процесса.
• Формирование у учащихся умений работать с информацией, развитие коммуникативных способностей.
• Формирование личности человека «информационного общества».
• Формирование исследовательских умений, умений принимать оптимальные решения.
• Предоставление учащемуся возможности выбора форм и методов работы,

возможности использования дополнительного материала.

В большинстве же случаев учитель, применяя информационные технологии, сталкивается с рядом проблем:

• сложность приобретения электронных учебников;
• много времени тратится на ознакомление с их структурой, особенностями поиска, использования, редактирования материалов;
• невозможность быстро адаптировать мультимедийные материалы к своим конкретным условиям;
• задания трудно «вписать» в структуру урока;
• многие замечательные программы требуют специального обучения.

Электронные таблицы Microsoft Excel входят в полный пакет офисных программ Microsoft, что позволяет учителю на любом компьютере применять их на уроках математики, а также ученикам при выполнении домашних заданий.

В данной работе представлены «наработки» использования электронных таблиц Microsoft Excel на уроках математики и информатики.

2 Устройство электронных таблиц вам расскажет учитель информатики и ИКТ Мартынова Елена Анатольевна.

Использование встроенных функций для выполнения стандартных вычислений

Excel содержит более 900 встроенных функций. Функции – это уже готовые, встроенные в Excel формулы, которым присвоены уникальные имена. Среди этого разнообразия есть функции, созданные специально для финансовых, инженерных, статистических и других специфических расчётов.

Каждая функция состоит из трёх обязательных элементов.

Знак равенства (=). Признак того, что в данную ячейку введена функция или формула, а не данные какого-либо другого типа.

Имя функции. Характеризует тип выполняемых операций.

Аргументы. Значения, на основе которых выполняются вычисления. Аргументы вводят в круглых скобках сразу после имени функции. Аргументами могут быть числа, адреса ячеек, текст, выражения, содержащие другие функции.

Функции, используемые на уроках математики.

СУММ(В2:В5) – вычисление суммы числовых значений диапазона ячеек начиная с В2 до В5.

СУММ(В2:В5;100;К4) – вычисление суммы числовых значений диапазона ячеек В2:В5, числа 100 и значения ячейки К4.

СУММЕСЛИ(В2:В5;”>10”) – вычисление суммы чисел, больших 10, из диапазона ячеек В2:В5.

СРЗНАЧ(В2:В5) – вычисление среднего значения для диапазона ячеек В2:В5.

МАКС(В2:В5) – вычисление максимального значения из диапазона ячеек В2:В5.

МИН(В2:В5) – вычисление минимального значения из диапазона ячеек В2:В5.

СЧЕТ(В2:В5) – подсчёт общего количества чисел из диапазона ячеек В2:В5.

СТЕПЕНЬ(В1;А4) – вычисление значения степени с основанием В1 и показателем степени А4.

КОРЕНЬ(В1) – вычисление значения квадратного корня.