Как решать интегралы квадратных уравнений

Как решать интегралы квадратных уравнений

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Сложные интегралы

Данная статья завершает тему неопределенных интегралов, и в неё включены интегралы, которые я считаю достаточно сложными. Урок создан по неоднократным просьбам посетителей, которые высказывали пожелания, чтобы на сайте были разобраны и более трудные примеры.

Предполагается, что читатель сего текста хорошо подготовлен и умеет применять основные приемы интегрирования. Чайникам и людям, которые не очень уверенно разбираются в интегралах, следует обратиться к самому первому уроку – Неопределенный интеграл. Примеры решений, где можно освоить тему практически с нуля. Более опытные студенты могут ознакомиться с приемами и методами интегрирования, которые в моих статьях еще не встречались.

Какие интегралы будут рассмотрены?

Сначала мы рассмотрим интегралы с корнями, для решения которых последовательно используется замена переменной и интегрирование по частям. То есть, в одном примере комбинируются сразу два приёма. И даже больше.

Затем мы познакомимся с интересным и оригинальным методом сведения интеграла к самому себе. Данным способом решается не так уж мало интегралов.

Третьим номером программы пойдут интегралы от сложных дробей, которые пролетели мимо кассы в предыдущих статьях.

В-четвертых, будут разобраны дополнительные интегралы от тригонометрических функций. В частности, существуют методы, которые позволяют избежать трудоемкой универсальной тригонометрической подстановки.

И в заключение рассмотрим интеграл от корня из дроби, в числителе и знаменателе которой находятся линейные функции.

Конечно, название урока не совсем точно, будут и не сказать, что сильно сложные интегралы. Тем не менее, крепких орешков предостаточно. Запланировано довольно много примеров, поэтому поехали.

Последовательная замена переменной и интегрирование по частям

Найти неопределенный интеграл

Подынтегральная функция представляет собой арктангенс, под которым находится кубический корень. Первая же мысль, которая приходит в голову – избавиться бы от этого корня. Данный вопрос решается путем замены переменной, сама техника замены специфична, и она подробно рассмотрена на уроке Интегралы от иррациональных функций. Проведем замену:

После такой замены у нас получится вполне симпатичная вещь:

Осталось выяснить, во что превратится . Навешиваем дифференциалы на обе части нашей замены:

И само собой раскрываем дифференциалы:

На чистовике решение кратко записывается примерно так:

Проведем замену:

В результате замены получен знакомый тип интеграла, который интегрируется по частям:

(1) Выносим за скобки. К оставшемуся интегралу применяем прием, который рассмотрен в первых примерах урока статьи Интегрирование некоторых дробей.

(2) В подынтегральной функции почленно делим числитель на знаменатель.

(3) Используем свойство линейности неопределенного интеграла. В последнем интеграле сразу подводим функцию под знак дифференциала.

(4) Берём оставшиеся интегралы. Обратите внимание, что в логарифме можно использовать скобки, а не модуль, так как .

(5) Проводим обратную замену, выразив из прямой замены «тэ»:

Студенты-мазохисты могут продифференцировать ответ и получить исходную подынтегральную функцию, как только что это сделал я. Нет-нет, я-то в правильном смысле выполнил проверку =)

Как видите, в ходе решения пришлось использовать даже больше двух приемов решения, таким образом, для расправы с подобными интегралами нужны уверенные навыки интегрирования и не самый маленький опыт.

На практике, конечно же, чаще встречается квадратный корень, вот три примера для самостоятельного решения:

Найти неопределенный интеграл

Найти неопределенный интеграл

Найти неопределенный интеграл

Данные примеры однотипны, поэтому полное решение в конце статьи будет только для Примера 2, в Примерах 3-4 – одни ответы. Какую замену применять в начале решений, думаю, очевидно. Почему я подобрал однотипные примеры? Часто встречаются в своем амплуа. Чаще, пожалуй, только что-нибудь вроде .

Но не всегда, когда под арктангенсом, синусом, косинусом, экспонентой и др. функциями находится корень из линейной функции, приходится применять сразу несколько методов. В ряде случаев удается «легко отделаться», то есть сразу после замены получается простой интеграл, который элементарно берётся. Самым легким из предложенных выше заданий является Пример 4, в нём после замены получается относительно несложный интеграл.

Методом сведения интеграла к самому себе

Остроумный и красивый метод. Немедленно рассмотрим классику жанра:

Найти неопределенный интеграл

Под корнем находится квадратный двучлен, и при попытке проинтегрировать данный пример чайник может мучаться часами. Такой интеграл берётся по частям и сводится к самому себе. В принципе не сложно. Если знаешь как.

Обозначим рассматриваемый интеграл латинской буквой и начнем решение:

Интегрируем по частям:

(1) Готовим подынтегральную функцию для почленного деления.

(2) Почленно делим подынтегральную функцию. Возможно, не всем понятно, распишу подробнее:

(3) Используем свойство линейности неопределенного интеграла.

(4) Берём последний интеграл («длинный» логарифм).

Теперь смотрим на самое начало решения:

И на концовку:

Что произошло? В результате наших манипуляций интеграл свёлся к самому себе!

Приравниваем начало и конец:

Переносим в левую часть со сменой знака:

А двойку сносим в правую часть. В результате:

Или:

Константу , строго говоря, надо было добавить ранее, но приписал её в конце. Настоятельно рекомендую прочитать, в чём тут строгость:

Примечание: Более строго заключительный этап решения выглядит так:

Таким образом:

Константу можно переобозначить через . Почему можно переобозначить? Потому что всё равно принимает любые значения, и в этом смысле между константами и нет никакой разницы.
В результате:

Подобный трюк с переобозначением константы широко используется в дифференциальных уравнениях. И там я буду строг. А здесь такая вольность допускается мной только для того, чтобы не путать вас лишними вещами и акцентировать внимание именно на самом методе интегрирования.

Найти неопределенный интеграл

Еще один типовой интеграл для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Разница с ответом предыдущего примера будет!

Если под квадратным корнем находится квадратный трехчлен, то решение в любом случае сводится к двум разобранным примерам.

Например, рассмотрим интеграл . Всё, что нужно сделать – предварительно выделить полный квадрат:
.
Далее проводится линейная замена, которая обходится «без всяких последствий»:
, в результате чего получается интеграл . Нечто знакомое, правда?

Или такой пример, с квадратным двучленом:
Выделяем полный квадрат:
И, после линейной замены , получаем интеграл , который также решается по уже рассмотренному алгоритму.

Рассмотрим еще два типовых примера на приём сведения интеграла к самому себе:
– интеграл от экспоненты, умноженной на синус;
– интеграл от экспоненты, умноженной на косинус.

В перечисленных интегралах по частям придется интегрировать уже два раза:

Найти неопределенный интеграл

Подынтегральная функция – экспонента, умноженная на синус.

Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к себе:

В результате двукратного интегрирования по частям интеграл свёлся к самому себе. Приравниваем начало и концовку решения:

Переносим в левую часть со сменой знака и выражаем наш интеграл:

Готово. Попутно желательно причесать правую часть, т.е. вынести экспоненту за скобки, а в скобках расположить синус с косинусом в «красивом» порядке.

Теперь вернемся к началу примера, а точнее – к интегрированию по частям:

За мы обозначили экспоненту. Возникает вопрос, именно экспоненту всегда нужно обозначать за ? Не обязательно. На самом деле в рассмотренном интеграле принципиально без разницы, что обозначать за , можно было пойти другим путём:

Почему такое возможно? Потому что экспонента превращается сама в себя (и при дифференцировании, и при интегрировании), синус с косинусом взаимно превращаются друг в друга (опять же – и при дифференцировании, и при интегрировании).

То есть, за можно обозначить и тригонометрическую функцию. Но, в рассмотренном примере это менее рационально, поскольку появятся дроби. При желании можете попытаться решить данный пример вторым способом, ответы обязательно должны совпасть.

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как решать, подумайте, что выгоднее в данном случае обозначить за , экспоненту или тригонометрическую функцию? Полное решение и ответ в конце урока.

И, конечно, не забывайте, что большинство ответов данного урока достаточно легко проверить дифференцированием!

Примеры были рассмотрены не самые сложные. На практике чаще встречаются интегралы, где константа есть и в показателе экспоненты и в аргументе тригонометрической функции, например: . Попутаться в подобном интеграле придется многим, частенько путаюсь и я сам. Дело в том, что в решении велика вероятность появления дробей, и очень просто что-нибудь по невнимательности потерять. Кроме того, велика вероятность ошибки в знаках, обратите внимание, что в показателе экспоненты есть знак «минус», и это вносит дополнительную трудность.

На завершающем этапе часто получается примерно следующее:

Даже в конце решения следует быть предельно внимательным и грамотно разобраться с дробями:

Интегрирование сложных дробей

Потихоньку подбираемся к экватору урока и начинаем рассматривать интегралы от дробей. Опять же, не все они суперсложные, просто по тем или иным причинам примеры были немного «не в тему» в других статьях.

Продолжаем тему корней

Найти неопределенный интеграл

В знаменателе под корнем находится квадратный трехчлен плюс за пределами корня «довесок» в виде «икса». Интеграл такого вида решается с помощью стандартной замены.

Решаем:

Замена тут проста:

Смотрим на жизнь после замены:

(1) После подстановки приводим к общему знаменателю слагаемые под корнем.
(2) Выносим из-под корня.
(3) Числитель и знаменатель сокращаем на . Заодно под корнем я переставил слагаемые в удобном порядке. При определенном опыте шаги (1), (2) можно пропускать, выполняя прокомментированные действия устно.
(4) Полученный интеграл, как вы помните из урока Интегрирование некоторых дробей, решается методом выделения полного квадрата. Выделяем полный квадрат.
(5) Интегрированием получаем заурядный «длинный» логарифм.
(6) Проводим обратную замену. Если изначально , то обратно: .
(7) Заключительное действие направлено на прическу результата: под корнем снова приводим слагаемые к общему знаменателю и выносим из-под корня .

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. Здесь к одинокому «иксу» добавлена константа, и замена почти такая же:

Единственное, что нужно дополнительно сделать – выразить «икс» из проводимой замены:

Полное решение и ответ в конце урока.

Иногда в таком интеграле под корнем может находиться квадратный двучлен, это не меняет способ решения, оно будет даже еще проще. Почувствуйте разницу:

Найти неопределенный интеграл

Найти неопределенный интеграл

Краткие решения и ответы в конце урока. Следует отметить, что Пример 11 является в точности биномиальным интегралом, метод решения которого рассматривался на уроке Интегралы от иррациональных функций.

Интеграл от неразложимого многочлена 2-й степени в степени

(многочлен в знаменателе)

Более редкий, но, тем не менее, встречающий в практических примерах вид интеграла.

Найти неопределенный интеграл

В знаменателе подынтегральной функции находится неразложимый на множители квадратный двучлен. Подчеркиваю, что неразложимость на множители является существенной особенностью. Если многочлен раскладывается на множители, то всё намного понятнее, например:
– и далее применяется стандартный метод неопределенных коэффициентов.

Но вернёмся к примеру со счастливым номером 13 (честное слово, не подгадал). Этот интеграл тоже из разряда тех, с которыми можно изрядно промучиться, если не знаешь, как решать.

Решение начинается с искусственного преобразования:

Как почленно разделить числитель на знаменатель, думаю, уже все понимают.

Полученный интеграл берётся по частям:

Для интеграла вида ( – натуральное число) выведена рекуррентная формула понижения степени:
, где – интеграл степенью ниже.

Убедимся в справедливости данной формулы для прорешанного интеграла .
В данном случае: , , используем формулу:

Как видите, ответы совпадают.

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения дважды последовательно использована вышеупомянутая формула.

Если под степенью находится неразложимый на множители квадратный трехчлен, то решение сводится к двучлену путем выделения полного квадрата, например:

Далее следует «безболезненная» линейная замена и получается знакомый интеграл .

Что делать, если дополнительно в числителе есть многочлен? В этом случае используется метод неопределенных коэффициентов, и подынтегральная функция раскладывается в сумму дробей. Но в моей практике такого примера не встречалось ни разу, поэтому я пропустил данный случай в статье Интегралы от дробно-рациональной функции, пропущу и сейчас. Если такой интеграл все-таки встретится, смотрите учебник – там всё просто. Не считаю целесообразным включать материал (даже несложный), вероятность встречи с которым стремится к нулю.

Интегрирование сложных тригонометрических функций

Прилагательное «сложный» для большинства примеров вновь носит во многом условный характер. Начнем с тангенсов и котангенсов в высоких степенях. С точки зрения используемых методов решения тангенс и котангенс – почти одно и тоже, поэтому я больше буду говорить о тангенсе, подразумевая, что продемонстрированный прием решения интеграла справедлив и для котангенса тоже.

На уроке Интегралы от тригонометрических функций мы разобрали интеграл от тангенса в квадрате. На уроке Как вычислить площадь фигуры? в примере 10 фигурировал тангенс в кубе. В том примере для нахождения интеграла от тангенса в кубе мы применяли тригонометрическую формулу . Интеграл от тангенса в четвертой, пятой степени (редко в более высоких степенях) решается с помощью этой же формулы!

Найти неопределенный интеграл

Идея решения подобных интегралов состоит в том, чтобы с помощью формулы «развалить» исходный интеграл на несколько более простых интегралов:

(1) Готовим подынтегральную функцию к применению формулы.
(2) Для одного из множителей используем формулу
(3) Раскрываем скобки и сразу же используем свойство линейности неопределенного интеграла.
(4) В первом интеграле используем метод подведения функции под знак дифференциала. Во втором интеграле еще раз используем формулу , в данном случае .
(5) Берём все три интеграла и получаем ответ.

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. Для котангенса существует аналогичная формула: . Полное решение и ответ в конце урока.

Если возникли затруднения или недопонимание, следует вернуться к уроку Интегралы от тригонометрических функций.

На вышеупомянутом уроке мы рассматривали универсальную тригонометрическую подстановку для решения определенного вида интегралов от тригонометрических функций. Недостаток универсальной тригонометрической подстановки заключается в том, что при её применении часто возникают громоздкие интегралы с трудными вычислениями. И в ряде случаев универсальной тригонометрической подстановки можно избежать!

Рассмотрим еще один канонический пример, интеграл от единицы, деленной на синус:

Найти неопределенный интеграл

Здесь можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку и получить ответ, но существует более рациональный путь. Я приведу полное решение с комментами к каждому шагу:

(1) Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла .
(2) Проводим искусственное преобразование: В знаменателе делим и умножаем на .
(3) По известной формуле в знаменателе превращаем дробь в тангенс.
(4) Подводим функцию под знак дифференциала.
(5) Берём интеграл.

Пара простых примеров для самостоятельного решения:

Найти неопределенный интеграл

Указание: Самым первым действием следует использовать формулу приведения и аккуратно провести аналогичные предыдущему примеру действия.

Найти неопределенный интеграл

Ну, это совсем простой пример.

Полные решения и ответы в конце урока.

Думаю, теперь ни у кого не возникнет проблем с интегралами:
и т.п.

В чём состоит идея метода? Идея состоит в том, чтобы с помощью преобразований, тригонометрических формул организовать в подынтегральной функции только тангенсы и производную тангенса . То есть, речь идет о замене: . В Примерах 17-19 мы фактически и применяли данную замену, но интегралы были настолько просты, что дело обошлось эквивалентным действием – подведением функции под знак дифференциала.

Аналогичные рассуждения, как я уже оговаривался, можно провести для котангенса.

Существует и формальная предпосылка для применения вышеуказанной замены:

Сумма степеней косинуса и синуса – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число, например:

для интеграла – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число.

! Примечание: если подынтегральная функция содержит ТОЛЬКО синус или ТОЛЬКО косинус, то интеграл берётся и при отрицательной нечётной степени (простейшие случаи – в Примерах №№17, 18).

Рассмотрим пару более содержательных заданий на это правило:

Найти неопределенный интеграл

Сумма степеней синуса и косинуса : 2 – 6 = –4 – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число, значит, интеграл можно свести к тангенсам и его производной:

(1) Преобразуем знаменатель.
(2) По известной формуле получаем .
(3) Преобразуем знаменатель.
(4) Используем формулу .
(5) Подводим функцию под знак дифференциала.
(6) Проводим замену . Более опытные студенты замену могут и не проводить, но все-таки лучше заменить тангенс одной буквой – меньше риск запутаться.

Далее берётся простой интеграл и проводится обратная замена.

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения.

Держитесь, начинаются чемпионские раунды =)

Зачастую в подынтегральной функции находится «солянка»:

Найти неопределенный интеграл

В этом интеграле изначально присутствует тангенс, что сразу наталкивает на уже знакомую мысль:

Искусственное преобразование в самом начале и остальные шаги оставлю без комментариев, поскольку обо всем уже говорилось выше.

Пара творческих примеров для самостоятельного решения:

Найти неопределенный интеграл

Найти неопределенный интеграл

Да, в них, конечно, можно понизить степени синуса, косинуса, использовать универсальную тригонометрическую подстановку, но решение будет гораздо эффективнее и короче, если его провести через тангенсы. Полное решение и ответы в конце урока

У многих читателей могло сложиться впечатления, что я немного подустал. Отнюдь. За окном февральский ветер – самая атмосфера для лекций. Естественно, данная страничка создана не за один день, я успел несколько раз побриться, регулярно кушаю и так далее. К тому же, загружать студентов – удовольствие бесконечное =). …Шутка! На самом деле моя миссия – разгружать посетителей сайта. Вагонами.

Переходим к заключительному пункту познавательного путешествия в мир сложных интегралов:

Интеграл от корня из дроби

Интеграл, который мы рассмотрим, встречается достаточно редко, но я буду очень рад, если единственный пример данного параграфа вам поможет.

Корнями всё начиналось, корнями и закончится. Рассмотрим неопределенный интеграл:
, где – числа. Руководствуясь законом подлости, считаем, что все эти числа коэффициенты не равны нулю. Это уже не смешно, так обычно и бывает.

В подынтегральной функции у нас находится корень, а под корнем – дробь, в числителе и знаменателе которой располагаются линейные функции.

Метод стар – необходимо избавиться от корня. Стар и уныл, но сейчас станет веселее, поскольку придется проводить непростую замену.

Замена, с помощью которой мы гарантированно избавимся от корня, такова:

Теперь нужно выразить «икс» и найти, чему равен дифференциал .

Выражаем «икс»:

Теперь найдем дифференциал:

Зачем были эти нелепые скучные телодвижения?

Я вывел готовые формулы, которыми можно пользовать при решении интеграла вида !

Формулы замены таковы:

Это было ни в коем случае не хвастовство, просто я не смог быстро найти эти формулы в близлежащей литературе и Сети – оказалось проще вывести. Да и может быть кто-нибудь для реферата возьмет.

Опять – двадцать пять, заключительный пример:

Найти неопределенный интеграл

Проведем замену:

В данном примере:

Таким образом:

Еще куда ни шло, могло всё оказаться значительно хуже. Такой интеграл, кстати, уже фигурировал в Примере 13. Интегрируем по частям:

Проведем обратную замену. Если изначально , то обратно:

Некоторым страшно, а я это продифференцировал, ответ верный!

Иногда встречаются интегралы вида , , но это нужно быть либо слишком умным либо попасть под раздачу. Идея та же – избавиться от корня, причем во втором случае, как все догадались, следует проводить подстановку и самостоятельно выводить, чему будет равняться дифференциал .

Теперь вам практически любой интеграл по силам, успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Проведем замену:


Интегрируем по частям:

Пример 3: Ответ:

Пример 4: Ответ:

Пример 6: Решение:

Интегрируем по частям:


Таким образом:

В результате:

Пример 8: Решение:
Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к себе:





Таким образом:

Пример 10: Решение:

Проведем замену:

Пример 11: Решение:

Замена:

Пример 12: Решение:

Замена:

Пример 14: Решение:

Дважды используем рекуррентную формулу

Пример 16: Решение:

Пример 18: Решение:

Используем формулу приведения: и формулу двойного угла: .

Пример 19: Решение:

Пример 21: Решение:
–3 – 3 = –6 – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число

Пример 23: Решение:

Пример 24: Решение:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

Вычисление простейших неопределённых интегралов

И снова здравствуйте, друзья!

Как я и обещал, с этого урока мы начнём бороздить бескрайние просторы поэтического мира интегралов и приступим к решению самых разнообразных (порой, очень красивых) примеров. 🙂

Чтобы грамотно ориентироваться во всём интегральном многообразии и не заблудиться, нам потребуется всего четыре вещи:

1) Таблица интегралов. Все подробности о ней — в предыдущем материале. Как именно с ней работать — в этом.

2) Свойства линейности неопределённого интеграла (интеграл суммы/разности и произведения на константу).

3) Таблица производных и правила дифференцирования.

Да-да, не удивляйтесь! Без умения считать производные, в интегрировании ловить совершенно нечего. Согласитесь, бессмысленно, например, учиться делению, не умея умножать. 🙂 И очень скоро вы увидите, что без отточенных навыков дифференцирования не посчитать ни один сколь-нибудь серьёзный интеграл, выходящий за рамки элементарных табличных.

4) Методы интегрирования.

Их очень и очень много. Для конкретного класса функций — свой. Но среди всего их богатого разнообразия выделяется три базовых:

О каждом из них — в отдельных уроках.

А теперь, наконец, приступим к решению долгожданных примеров. Чтобы не скакать из раздела в раздел, я продублирую ещё разок весь джентльменский набор, который пригодится для нашей дальнейшей работы. Пусть весь инструментарий будет под рукой.)

Прежде всего, это таблица интегралов:

Кроме того, нам понадобятся базовые свойства неопределённого интеграла (свойства линейности):

Что ж, необходимая снаряга подготовлена. Пора в путь! 🙂

Прямое применение таблицы

В данном параграфе будут рассматриваться самые простые и безобидные примеры. Алгоритм здесь прост до ужаса:

1) Смотрим в таблицу и ищем нужную формулу (формулы);

2) Применяем свойства линейности (где требуется);

3) Осуществляем превращение по табличным формулам и прибавляем в конце константу С (не забываем!) ;

4) Записываем ответ.

Пример 1

Такой функции в нашей таблице нет. Зато есть интеграл от степенной функции в общем виде (вторая группа). В нашем случае n = 5. Вот и подставляем пятёрку вместо n и аккуратно считаем результат:

Разумеется, этот пример совсем примитивный. Чисто для знакомства.) Зато умение интегрировать степени позволяет легко считать интегралы от любых многочленов и прочих степенных конструкций.

Пример 2

Под интегралом сумма. Ну и ладно. У нас на этот случай есть свойства линейности. 🙂 Разбиваем наш интеграл на три отдельных, выносим все константы за знаки интегралов и считаем каждый по таблице (группа 1-2):

Прошу обратить внимание: константа С появляется именно в тот момент, когда исчезают ВСЕ знаки интеграла! Конечно, после этого приходится её постоянно таскать за собой. А что делать…

Разумеется, так подробно расписывать обычно не требуется. Это чисто для понимания сделано. Чтобы суть уловить.)

Например, очень скоро, особо не раздумывая, вы в уме будете давать ответ к монстрам типа:

Многочлены — самые халявные функции в интегралах.) А уж в диффурах, в физике, в сопромате и прочих серьёзных дисциплинах интегрировать многочлены придётся постоянно. Привыкайте.)

Следующий примерчик будет чуть покруче.

Пример 3

Надеюсь, всем понятно, что наше подынтегральное выражение можно расписать вот так:

Подынтегральная функция отдельно, а множитель dx (значок дифференциала) — отдельно.

Замечание: в этом уроке множитель dx в процессе интегрирования пока никак не участвует, и мы на него пока что мысленно «забиваем». 🙂 Работаем только с подынтегральной функцией. Но забывать про него не будем. Совсем скоро, буквально на следующем уроке, посвящённом подведению функции под знак дифференциала , мы про него вспомним. И ощутим всю важность и мощь этого значка в полную силу!)

А пока наш взор обращён на подынтегральную функцию

Не очень похоже на степенную функцию, но это она. 🙂 Если вспомнить школьные свойства корней и степеней, то вполне можно преобразовать нашу функцию:

А икс в степени минус две трети — это уже табличная функция! Вторая группа, n=-2/3. А константа 1/2 нам не помеха. Выносим её наружу, за знак интеграла, и прямо по формуле считаем:

В этом примере нам помогли элементарные свойства степеней. И так надо делать в большинстве случаев, когда под интегралом стоят одинокие корни или дроби. Посему пара практических советов при интегрировании степенных конструкций:

Заменяем дроби степенями с отрицательными показателями;

Заменяем корни степенями с дробными показателями.

А вот в окончательном ответе переход от степеней обратно к дробям и корням — дело вкуса. Лично я перехожу обратно — так эстетичнее, что ли.

И, пожалуйста, аккуратно считаем все дроби! Внимательно следим за знаками и за тем, что куда идёт — что в числитель, а что знаменатель.

Что? Надоели уже скучные степенные функции? Ну ладно! Берём быка за рога!

Пример 4

Если сейчас привести всё под интегралом к общему знаменателю, то можно застрять на этом примере всерьёз и надолго.) Но, присмотревшись повнимательнее к подынтегральной функции, можно заметить, что наша разность состоит из двух табличных функций. Так что не будем извращаться, а вместо этого разложим наш интеграл на два:

Первый интеграл — обычная степенная функция, (2-я группа, n = -1): 1/x = x -1 .

Традиционная наша формула для первообразной степенной функции

здесь не работает, но зато у нас для n = -1 есть достойная альтернатива — формула с натуральным логарифмом. Вот эта:

Тогда, согласно этой формуле, первая дробь проинтегрируется так:

А вторая дробь — тоже табличная функция! Узнали? Да! Это седьмая формула с «высоким» логарифмом:

Константа «а» в этой формуле равна двойке: a=2.

Важное замечание: Обратите внимание, константу С при промежуточном интегрировании я нигде не приписываю! Почему? Потому что она пойдёт в окончательный ответ всего примера. Этого вполне достаточно.) Строго говоря, константу надо писать после каждого отдельного интегрирования — хоть промежуточного, хоть окончательного: так уж неопределённый интеграл требует…)

Например, после первого интегрирования я должен был бы написать:

После второго интегрирования:

Но вся фишка в том, что сумма/разность произвольных констант — это тоже некоторая константа! В нашем случае для окончательного ответа нам надо из первого интеграла вычесть второй. Тогда у нас получится разность двух промежуточных констант:

И мы имеем полное право эту самую разность констант заменить одной константой! И просто переобозначить её привычной нам буквой «С». Вот так:

Вот и приписываем эту самую константу С к окончательному результату и получаем ответ:

Да-да, дроби они такие! Многоэтажные логарифмы при их интегрировании — самое обычное дело. Тоже привыкаем.)

Запоминаем:

При промежуточном интегрировании нескольких слагаемых константу С после каждого из них можно не писать. Достаточно включить её в окончательный ответ всего примера. В самом конце.

Следующий пример тоже с дробью. Для разминки.)

Пример 5

В таблице, понятное дело, такой функции нет. Но зато есть похожая функция:

Это самая последняя, восьмая формула. С арктангенсом. 🙂

И нам сам бог велел подстроить наш интеграл под эту формулу! Но есть одна проблемка: в табличной формуле перед х 2 никакого коэффициента нету, а у нас — девятка. Не можем пока что напрямую воспользоваться формулой. Но в нашем случае проблема вполне решаема. Вынесем эту девятку сначала за скобки, а потом вообще уведём за пределы нашей дроби.)

А новая дробь — уже нужная нам табличная функция под номером 8! Здесь а 2 =4/9. Или а=2/3.

Всё. Выносим 1/9 за знак интеграла и пользуемся восьмой формулой:

Вот такой ответ. Этот пример, с коэффициентом перед х 2 , я специально так подобрал. Чтобы ясно было, что делать в таких случаях. 🙂 Если перед х 2 никакого коэффициента нет, то такие дроби тоже будут в уме интегрироваться.

Здесь а 2 = 5, поэтому само «а» будет «корень из пяти». В общем, вы поняли.)

А теперь немного видоизменим нашу функцию: напишем знаменатель под корнем.) Вот такой интеграл теперь будем брать:

Пример 6

В знаменателе появился корень. Естественно, изменилась и соответствующая формула для интегрирования, да.) Опять лезем в таблицу и ищем подходящую. Корни у нас есть в формулах 5-й и 6-й групп. Но в шестой группе под корнями только разность. А у нас — сумма. Значит, работаем по пятой формуле, с «длинным» логарифмом:

Число А у нас — пятёрка. Подставляем в формулу и получаем:

И все дела. Это ответ. Да-да, так просто!)

Если закрадываются сомнения, то всегда можно (и нужно) проверить результат обратным дифференцированием. Проверим? А то вдруг, лажа какая-нибудь?

Дифференцируем (на модуль внимания не обращаем и воспринимаем его как обычные скобки):

Кстати, если в подынтегральной функции под корнем поменять знак с плюса на минус, то формула для интегрирования останется той же самой. Не случайно в таблице под корнем стоит плюс/минус. 🙂

Важно! В случае минуса, на первом месте под корнем должно стоять именно х 2 , а на втором — число. Если же под корнем всё наоборот, то и соответствующая табличная формула будет уже другая!

Пример 7

Под корнем снова минус, но х 2 с пятёркой поменялись местами. Похоже, но не одно и то же… На этот случай в нашей таблице тоже есть формулка.) Формула номер шесть, с ней мы ещё не работали:

А вот теперь — аккуратно. В предыдущем примере у нас пятёрка выступала в роли числа A. Здесь же пятёрка будет выступать уже в роли числа а 2 !

Поэтому для правильного применения формулы не забываем извлечь корень из пятёрки:

И теперь пример решается в одно действие. 🙂

Вот так вот! Всего лишь поменялись местами слагаемые под корнем, а результат интегрирования изменился существенно! Логарифм и арксинус… Так что, пожалуйста, не путайте эти две формулы! Хотя подынтегральные функции и очень похожи…

В табличных формулах 7-8 перед логарифмом и арктангенсом присутствуют коэффициенты 1/(2а) и 1/а соответственно. И в тревожной боевой обстановке при записи этих формул даже закалённые учёбой ботаны частенько путаются, где просто 1/а, а где 1/(2а). Вот вам простой приёмчик для запоминания.

в знаменателе подынтегральной функции стоит разность квадратов х 2 — а 2 . Которая, согласно боянной школьной формуле, раскладывается как (х-а)(х+а). На два множителя. Ключевое слово — два. И эти две скобки при интегрировании идут в логарифм: с минусом вверх, с плюсом — вниз.) И коэффициент перед логарифмом тоже 1/(2а).

А вот в формуле №8

в знаменателе дроби стоит сумма квадратов. Но сумма квадратов x 2 +a 2 неразложима на более простые множители. Поэтому, как ни крути, в знаменателе так и останется один множитель. И коэффициент перед арктангенсом тоже будет 1/а.

А теперь для разнообразия проинтегрируем что-нибудь из тригонометрии.)

Пример 8

Пример простой. Настолько простой, что народ, даже не глядя в таблицу, тут же радостно ответ пишет и… приехали. 🙂

Следим за знаками! Это самая распространённая ошибка при интегрировании синусов/косинусов. Не путаем с производными!

Но!

Поскольку производные народ обычно худо-бедно помнит, то, чтобы не путаться в знаках, приём для запоминания интегралов тут очень простой:

Интеграл от синуса/косинуса = минус производная от тех же синуса/косинуса.

Например, мы ещё со школы знаем, что производная синуса равна косинусу:

Тогда для интеграла от того же синуса будет справедливо:

И всё.) С косинусом то же самое.

Исправляем теперь наш пример:

Предварительные элементарные преобразования подынтегральной функции

До этого момента были самые простенькие примеры. Чтобы прочувствовать, как работает таблица и не ошибаться в выборе формулы.)

Конечно, мы делали кое-какие простенькие преобразования — множители выносили, на слагаемые разбивали. Но ответ всё равно так или иначе лежал на поверхности.) Однако… Если бы вычисление интегралов ограничивалось только прямым применением таблицы, то вокруг была бы сплошная халява и жить стало бы скучно.)

А теперь разберём примеры посолиднее. Такие, где впрямую, вроде бы, ничего и не решается. Но стоит вспомнить буквально пару-тройку элементарных школьных формул или преобразований, как дорога к ответу становится простой и понятной. 🙂

Продолжим развлекаться с тригонометрией.

Пример 9

Такой функции в таблице и близко нет. Зато в школьной тригонометрии есть такое малоизвестное тождество:

Выражаем теперь из него нужный нам квадрат тангенса и вставляем под интеграл:

Зачем это сделано? А затем, что после такого преобразования наш интеграл сведётся к двум табличным и будет браться в уме!

А теперь проанализируем наши действия. На первый взгляд, вроде бы, всё проще простого. Но давайте задумаемся вот над чем. Если бы перед нами стояла задача продифференцировать ту же самую функцию, то мы бы точно знали, что именно надо делать — применять формулу производной сложной функции:

И всё. Простая и безотказная технология. Работает всегда и гарантированно приводит к успеху.

А что же с интегралом? А вот тут нам пришлось порыться в тригонометрии, откопать какую-то малопонятную формулу в надежде, что она нам как-то поможет выкрутиться и свести интеграл к табличному. И не факт, что помогла бы она нам, совсем не факт… Именно поэтому интегрирование — более творческий процесс, нежели дифференцирование. Искусство, я бы даже сказал. 🙂 И это ещё не самый сложный пример. То ли ещё будет!

Пример 10

Что, внушает? Таблица интегралов пока бессильна, да. Но, если снова заглянуть в нашу сокровищницу тригонометрических формул, то можно откопать весьма и весьма полезную формулу косинуса двойного угла:

Вот и применяем эту формулу к нашей подынтегральной функции. В роли «альфа» у нас х/2.

Эффект потрясающий, правда?

Эти два примера наглядно показывают, что предварительное преобразование функции перед интегрированием вполне допускается и порой колоссально облегчает жизнь! И в интегрировании эта процедура (преобразование подынтегральной функции) на порядок более оправдана, чем при дифференцировании. В дальнейшем всё увидите.)

Разберём ещё парочку типовых преобразований.

Формулы сокращённого умножения, раскрытие скобок, приведение подобных и метод почленного деления.

Обычные банальные школьные преобразования. Но порой только они и спасают, да.)

Пример 11

Если бы мы считали производную, то никаких проблем: формула производной произведения и — вперёд. Но стандартной формулы для интеграла от произведения не существует. И единственный выход здесь — раскрыть все скобки, чтобы под интегралом получился многочлен. А уж многочлен мы как-нибудь проинтегрируем.) Но скобки раскрывать тоже будем с умом: формулы сокращённого умножения — штука мощная!

(x 2 — 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 — 1)(x 2 + 1)) 2 = ((x 2 ) 2 — 1 2 ) 2 = (x 4 — 1) 2 = x 8 — 2x 4 + 1

А теперь считаем:

Пример 12

Опять же, стандартной формулы для интеграла от дроби не существует. Однако в знаменателе подынтегральной дроби стоит одинокий икс. Это в корне меняет ситуацию.) Поделим почленно числитель на знаменатель, сведя нашу жуткую дробь к безобидной сумме табличных степенных функций:

Особо комментировать процедуру интегрирования степеней не буду: не маленькие уже.)

Интегрируем сумму степенных функций. По табличке.)

Вот и все дела.) Кстати, если бы в знаменателе сидел не икс, а, скажем, х+1, вот так:

то этот фокус с почленным делением уже так просто не прошёл бы. Именно из-за наличия корня в числителе и единицы в знаменателе. Пришлось бы замену вводить и избавляться от корня. Но такие интегралы гораздо сложнее. О них — в других уроках.

Видите! Стоит только чуть-чуть видоизменить функцию — тут же меняется и подход к её интегрированию. Порой кардинально!) Нету чёткой стандартной схемы. К каждой функции — свой подход. Иногда даже уникальный.)

В некоторых случаях преобразования в дробях ещё более хитрые.

Пример 13

А здесь как можно свести интеграл к набору табличных? Здесь можно ловко извернуться добавлением и вычитанием выражения x 2 в числителе дроби с последующим почленным делением. Очень искусный приём в интегралах! Смотрите мастер-класс! 🙂

И теперь, если заменить исходную дробь на разность двух дробей, то наш интеграл распадается на два табличных — уже знакомую нам степенную функцию и арктангенс (формула 8):

Ну, что тут можно сказать? Вау!

Этот трюк с добавлением/вычитанием слагаемых в числителе — очень популярен в интегрировании рациональных дробей. Очень! Рекомендую взять на заметку.

Пример 14

Здесь тоже рулит эта же технология. Только добавлять/вычитать надо единичку, чтобы из числителя выделить выражение, стоящее в знаменателе:

Вообще говоря, рациональные дроби (с многочленами в числителе и знаменателе) — отдельная очень обширная тема. Дело всё в том, что рациональные дроби — один из очень немногих классов функций, для которых универсальный способ интегрирования существует. Метод разложения на простейшие дроби вкупе с методом неопределённых коэффициентов. Но способ этот очень трудоёмкий и обычно применяется как тяжёлая артиллерия. Ему будет посвящён не один урок. А пока что тренируемся и набиваем руку на простых функциях.

Подытожим сегодняшний урок.

Сегодня мы подробно рассмотрели, как именно пользоваться таблицей, со всеми нюансами, разобрали множество примеров (и не самых тривиальных) и познакомились с простейшими приёмами сведения интегралов к табличным. И так мы теперь будем поступать всегда. Какая бы страшная функция ни стояла под интегралом, с помощью самых разнообразных преобразований мы будем добиваться того, чтобы, рано или поздно, наш интеграл, так или иначе, свёлся к набору табличных.

Несколько практических советов.

1) Если под интегралом дробь, в числителе которой сумма степеней (корней), а в знаменателе — одинокая степень икса, то используем почленное деление числителя на знаменатель. Заменяем корни степенями с дробными показателями и работаем по формулам 1-2.

2) В тригонометрических конструкциях в первую очередь пробуем базовые формулы тригонометрии — двойного/тройного угла, основные тригонометрические тождества:

Может очень крупно повезти. А может и нет…

3) Где нужно (особенно в многочленах и дробях), применяем формулы сокращённого умножения:

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2

4) При интегрировании дробей с многочленами пробуем искусственно выделить в числителе выражение(я), стоящее(щие) в знаменателе. Очень часто дробь упрощается и интеграл сводится к комбинации табличных.

Ну что, друзья? Я вижу, интегралы вам начинают нравиться. 🙂 Тогда набиваем руку и решаем примеры самостоятельно.) Сегодняшнего материала вполне достаточно, чтобы успешно с ними справиться.

Что? Не знаете, как интегрировать арксинус/арккосинус ? Да! Мы этого ещё не проходили.) Но здесь их напрямую интегрировать и не нужно. И да поможет вам школьный курс!)

Ответы (в беспорядке):

Для лучших результатов настоятельно рекомендую приобрести сборник задач по матану Г.Н. Бермана. Классная штука!