Как решать комплексные уравнения по математике

Как решать комплексные уравнения по математике

. Вы вводите его по ссылке решение уравнений онлайн , указываете, что i — это комплексная единица (после того как ввели уравнение и нажали кнопку «решить»), нажимаете кнопку под формой «Обновить» и получаете ответ как здесь. Если в ответе присутствуют корни из комплексных чисел, то можно воспользоваться калькулятором по упрощению комлексных чисел по ссылке

© Контрольная работа РУ — примеры решения задач

Решение уравнений с комплексными числами

Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.

Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:

где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = <0, 1, 2, 3, …n-1 >.

Пример 1. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.

Пример 2. Найти все корни уравнения

Найдем дискриминант уравнения:

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:

Найдем корни уравнения:

Ответ:

Пример 3. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа

Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = <0, 1, 2, 3>. Найдем модуль комплексного числа:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:

Пример 4. Найти корни уравнения

Решение кубического уравнения комплексными числами:

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.

Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:

Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.

Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.

После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.

Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.

Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.

Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.

Комплексные числа на ЕГЭ по математике

Что такое комплексные числа

Все знают, что ЕГЭ по математике Профильного уровня в ближайшие годы будет меняться. Например, предлагается добавить в школьную программу по математике тему «Комплексные числа». Но что же это такое?

Начнем с хорошо известных вам фактов.

Вспомним, что возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Если положительное число возвести в квадрат — результат будет положительный.

Если отрицательное число возвести в квадрат — результат тоже положительный. «Минус на минус дает плюс», — это мы не раз слышали на уроках математики.

Например, уравнение имеет 2 решения: х = 2 и х = -2.

Число 2 называют арифметическим квадратным корнем из 4, то есть

А можно ли какое-нибудь число возвести в квадрат, чтобы результат получился отрицательный? И если нет, то почему?

Ведь отрицательные числа ничем не хуже положительных. Баланс мобильного телефона может быть положительным или отрицательным. Температура может быть равна +5 градусов Цельсия, а может быть и минус 5 градусов. На числовой оси положительные и отрицательные числа расположены симметрично. Почему же из положительных чисел квадратный корень извлекать можно, из нуля тоже можно (он равен нулю), а из отрицательных нельзя?

А что, если — сказали однажды математики, — существует такое число, квадрат которого равен минус единице?

И называется это число мнимой единицей, а обозначается буквой

Вот какая необычная формула получилась:

Получается, что уравнение имеет 2 решения: i и минус i.

А уравнение имеет решения — 2i и 2i.

Теперь нам не страшны квадратные уравнения, в которых дискриминант отрицателен.

Его дискриминант равен 1 — 4 = — 3.

Числа вида называются комплексными. При этом х называется действительной частью комплексного числа z, а у — его мнимой частью.

Записывается это так:

Сокращения понятны тем, кто изучает английский: Re — Real, Im — Imaginary.

Помните, мы говорили о том, какие бывают числа?

Натуральные числа применяются для счета предметов. Множество натуральных чисел обозначается N.

Целые числа — это положительные, отрицательные и ноль. Например, 4, 78, -121, 0 — целые числа. Множество целых чисел Z содержит в себе множество натуральных.

Рациональные числа — те, которые можно записать в виде обыкновенной дроби вида р/q, где р — целое, q — натуральное. Например, — числа рациональные. Мы проходили их в начальной и средней школе. Если рациональное число записать в виде десятичной дроби, она будет периодической, например, Множество рациональных чисел обозначается Q и содержит в себе множество целых чисел.

В старших классах мы узнали об иррациональных числах — таких, как или Их невозможно записать в виде обыкновенной дроби, а если выразить в виде десятичной — она будет бесконечной непериодической. И казалось, что мы знаем о числах всё. Все числа, какие только нам встречались, входили в множество действительных чисел R.

Когда мы пишем: — это значит, что число х действительное. Мы помним, что действительные числа можно изображать точками на числовой прямой, которую еще называют действительной осью.

А теперь оказывается, что R — это подмножество множества комплексных чисел С.

Действительные числа еще называют «вещественными». Они описывают наш вещественный мир. В самом деле, натуральные числа применяем для счета предметов. С дробями тоже понятно: половинка яблока или пиццы. С отрицательными числами все знакомы: достаточно зимой посмотреть на градусник за окном. И даже иррациональные числа можно «увидеть»: например, длина окружности радиуса 1 или диагональ квадрата со стороной 1 являются иррациональными числами.

Но где же в мире — мнимые и комплексные числа? Неужели они нужны для описания того, что мы не можем потрогать или посчитать по пальцам?

Да, так и есть. Комплексные числа — удобный инструмент для построения математических моделей волн и колебаний. Электро- и радиотехника, теоретическая и квантовая физика — все они пользуются комплексными числами. Мир элементарных частиц живет по законам, описываемым функциями комплексных переменных. Так что продолжим их изучение.

Комплексная плоскость

Где же находятся мнимые числа, если на числовой прямой для них места нет?

Очень просто. Мнимые числа — на мнимой оси. А комплексные числа вида — на комплексной плоскости.

Каждому комплексному число соответствует точка на комплексной плоскости.

Расстояние от нуля до этой точки называется модулем комплексного числа:

Угол между направлением на эту точку и положительным направлением действительной оси называется аргументом комплексного числа:

Аргумент комплексного числа определен с точностью до

Аналогично в тригонометрии: каждая точка на единичной окружности соответствует бесконечному множеству углов, отличающихся на где k — целое.

— главное значение аргумента

Иногда главное значение аргумента комплексного числа определяют на отрезке

Если не определен.

Комплексное число можно записать как в алгебраической форме так и в тригонометрической.

Это тригонометрическая форма записи комплексного числа.

При переходе от алгебраической формы записи к тригонометрической считаем, что принимает значения

Обратите внимание, что в записи число х — действительное.

Задача 1. Запишите число

в тригонометрической форме.

Как видим, для освоения темы «Комплексные числа» надо отлично знать тригонометрию.

Действия над комплексными числами

Два комплексных числа равны друг другу, если равны соответственно их действительные и мнимые части.

Сравнивать комплексные числа нельзя. Операции «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определены.

Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются комплексно-сопряженными. Вот такие:

Возьмем два комплексных числа:

Определим для них операции сложения и вычитания.

Сложение:

Так же, как и для действительных чисел, то есть от перемены мест слагаемых сумма не меняется (коммутативность сложения). Также выполняется ассоциативность сложения, то есть

Еще одно важное свойство:

Это знакомое нам неравенство треугольника.

Вычитание:

— расстояние между точками и

Задача 2. Определите, какая фигура на комплексной плоскости является решением уравнения

Прочитаем это уравнение так же, как мы делали с обычными уравнениями с модулем. Расстояние от точки z до точки 2i равно 1. Это значит, что точки, соответствующие решениям данного уравнения, лежат на окружности с центром в точке радиусом 1.

Если сложение и вычитание комплексных чисел вопросов не вызывают, то для умножения правила не такие очевидные. Вот какой будет формула произведения комплексных чисел:

Например, подставив в эту формулу получим уже знакомое равенство:

Умножение комплексных чисел обладает теми же свойствами, что и умножение действительных:

Но если умножение комплексных чисел настолько сложно — что же делать с возведением в степень? Оказывается, что и умножение, и возведение комплексных чисел в степень удобнее выполнять, записывая числа в тригонометрической форме.

Возведение в степень:

Последнее равенство называется формула Муавра.

Деление комплексных чисел определяем как действие, обратное умножению.

Сложные формулы, не правда ли? Попробуем применить.

Намного удобнее выполнять деление комплексных чисел, записав их в тригонометрической форме:

Извлечение корней из комплексных чисел — еще интереснее. Во-первых, для извлечения корня n-ной степени из комплексного числа лучше всего записать его в тригонометрической форме.

Во-вторых, для любого выражение принимает ровно различных значений.

Пусть — корень -ной степени из комплексного числа ;

Тогда Записав число z в тригонометрической форме, получим:

Обратите внимание — для корня n-ной степени получим различных значений корня.

Задача ЕГЭ-2022, Комплексные числа

Решим задачу из варианта ЕГЭ — 2022 по теме «Комплексные числа».

Про комплексное число известно, что

Найдите наименьшее значение

1 способ.

Расстояния от точки, соответствующей числу z, до точек и должны быть равны. Отметим точки и на комплексной плоскости. Равноудаленными от точек и будут все точки, лежащие на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему и По условию задачи, из этих точек надо выбрать такую, для которой принимает наименьшее значение, то есть наименее удаленную от начала координат. Другими словами — найдем расстояние от начала координат до данной прямой.

Это показано на рисунке. Точка Н соответствует комплексному числу z, лежащему на прямой, все точки которой равноудалены от и при этом расстояние от 0 до z — наименьшее. Найдем это расстояние (равное ОН) из прямоугольного треугольника АОВ. Его катеты равны 3 и 4, гипотенуза равна 5. Записав площадь треугольника АОВ двумя способами, получим:

2 способ.

Вернемся к выражению

Запишем его в виде:

Мы получили, что модули двух комплексных чисел равны. Модуль комплексного числа равен Возведя это выражение в квадрат, получим, что Значит, если равны модули двух комплексных чисел и то

Выразим отсюда х;

и найдем наименьшее значение выражения

Мы получили функцию t(y). Обычную функцию от действительной переменной. Найдем наименьшее значение функции Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями вверх, и наименьшее значение достигается в вершине параболы.

Еще несколько задач по теме «Комплексные числа»:

Представьте в тригонометрической форме числа: