Решение матричных уравнений: теория и примеры
Решение матричных уравнений: как это делается
Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,
где x — неизвестное.
А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.
Итак, матричным уравнением называется уравнение вида
где A и B — известные матрицы, X — неизвестная матрица, которую требуется найти.
Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу слева:
.
По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: , поэтому
.
Так как E — единичная матрица, то E ⋅ X = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :
.
Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение
то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:
,
,
.
Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как . Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .
Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения
.
Решение матричных уравнений: примеры
Пример 1. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :
.
Наконец, находим неизвестную матрицу:
Пример 2. Решить матричное уравнение
.
Пример 3. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Находим неизвестную матрицу:
До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.
Пример 4. Решить матричное уравнение
.
Решение. Это уравнение первого вида: A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
Составим матрицу алгебраических дополнений:
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:
.
Находим неизвестную матрицу:
Пример 5. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Находим неизвестную матрицу:
Пример 6. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X ⋅ B = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде . Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Найдём матрицу, обратную матрице B .
Сначала найдём определитель матрицы B :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы B :
Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B :
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей B :
.
Находим матрицу, обратную матрице B :
.
Квадратные СЛАУ. Матричный метод решения
С помощью данного метода можно находить решение только для квадратных СЛАУ.
Матричный метод решения
Запишем заданную систему в матричном виде:
Если матрица $$A$$ невырождена, то тогда с помощью операций над матрицами выразим неизвестную матрицу $$X$$ . Операция деления на множестве матриц заменена умножением на обратную матрицу, поэтому домножим последнее равенство на матрицу $A^<-1>$ слева:
$$A^ <-1>A X=A^ <-1>B \Rightarrow E X=A^ <-1>B \Rightarrow$$ $$X=A^ <-1>B$$
Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу $$X$$ надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.
Данный метод удобно применять тогда, когда нужно решить много одинаковых систем с разными правыми частями.
Примеры решения систем уравнений
Задание. Найти решение СЛАУ $\left\<\begin
$$X=\left(\begin
Две матрицы одного размера равны, если равны их соответствующие элементы, то есть в итоге имеем, что $x_<1>=-11, x_<2>=31$
Ответ. $x_<1>=-11, x_<2>=31$
Задание. Решить с помощью обратной матрицы систему $\left\<\begin
Решение. Запишем данную систему в матричной форме:
где $A=\left(\begin
Найдем обратную матрицу $X=A^<-1>$ к матрице $A$ с помощью союзной матрицы:
Здесь $\Delta=|A|$ — \lt a href=»formules_6_11.php» title=»Методы вычисления определителей матрицы: теоремы и примеры нахождения»>определитель матрицы $A$ ; матрица $\tilde$ — союзная матрица, она получена из исходной матрицы $A$ заменой ее элементов их алгебраическими дополнениями. Найдем $A$ , для этого вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы $A$ :
Определитель матрицы $A$
$$\Delta=\left|\begin
11. Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15).
Возможны два случая: 1) матрица А Квадратная невырожденная; 2) матрица А — либо вырожденная, либо прямоугольная.
1) Если А – квадратная и |А| ¹ 0, то уравнения (14) и (15) имеют единственное решение каждое: Х = А-1×В и Х = В×А-1 соответственно, если эти произведения определены. И не имеют решения, если они не определены.
2) А – квадратная матрица, но |А| = 0, либо А — прямоугольная матрица. Если матрица А Имеет размерность M´n, а матрица В – Размерность Р´к, то, при M ¹ Р уравнение (14) не имеет решения, а при N ¹ к не имеет решения уравнение (15). Если же M = Р , то в уравнении (14) матрица Х Должна иметь К столбцов, а в уравнении (15) она должна иметь Р Строк. Решение этих матричных уравнений сводится к решению систем линейных уравнений.
Пример 5. Найдите матрицу Х, Если А×Х = В, Где А = , В = .
Из примера 5 следует, что матрица А Имеет обратную, поэтому Х = А-1×В. Используя найденную в примере 5 матрицу А-1, Получим Х = × = = .
Пример 6. Найдите матрицу Х, Если Х×А = В, где А = , В =. Так как |А| = 0, то для А обратной матрицы нет. По правилам умножения матриц, в матрице В Столько строк, сколько их в матрице Х, И столько столбцов, сколько их в матрице А. Последнее условие выполняется, следовательно, уравнение имеет решение. На матрицу Х накладывается ограничения: в матрице Х Должно быть два столбца и три строки. Чтобы найти элементы такой матрицы, обозначим их и перейдём к системе линейных уравнений. Пусть Х = . Тогда Х×А = . Полученная матрица равна матрице В Тогда и только тогда, когда их соответствующие элементы равны. Получим три системы уравнений. Эти системы не имеют решений, следовательно, не имеет решения и данное матричное уравнение.
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_5_3.php
http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/lineinaia-algebra-uchebnoe-posobie-z-i-andreeva/11-reshenie-matrichnykh-uravnenii