Как решать квадратные уравнения с большими коэффициентами

Как решать квадратные уравнения с большими коэффициентами

Главная
• Список секций
• Математика
• Нестандартные способы решения квадратных уравнений

Нестандартные способы решения квадратных уравнений

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Введение

Математическое образование, получаемое в школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям.

Актуальность темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе в 9 классе, а также 10 и 11 и при сдаче экзаменов.

Цель: Изучить стандартные и нестандартные способы решения квадратных уравнений

Задачи

1. Изложить наиболее известные способы решения уравнений
2. Изложить нестандартные способы решения уравнений
3. Сделать вывод

Объект исследования: квадратные уравнения

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений

Методы исследования:

• Теоретические: изучение литературы по теме исследования;
• Анализ: информации полученной при изучении литературы; результатов полученных при решении квадратных уравнений различными способами.
• Сравнение способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.

Глава 1.Квадратные уравнения и стандартные способы решения

1.1.Определение квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где х – переменная, а, b и с– некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b– вторым коэффициентом и число c – свободным членом.

Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых т.е. коэффициенты в и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или, с равен нулю.

Определение 3. Корнем квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах 2 + bх + с обращается в нуль.

Определение 4. Решить квадратное уравнение — значит найти все его

корни или установить, что корней нет.

Пример: – 7x + 3 =0

В каждом из уравнений вида a + bx + c = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной x – квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х2 равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.

Пример

1.2.Стандартные способы решения квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена

Решение квадратного уравнения, в котором оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Такой способ решения квадратного уравнения называют выделением квадрата двучлена.

Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х 2 + 10х — 24 = 0. Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х — 24 = х 2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:(х + 12)(х — 2) = 0

Произведение множителей равно нулю, если по крайней мере, один из его множителей равен нулю.

Решение квадратного уравнения по формуле.

Дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 выражение b 2 – 4ас = D — по знаку которого судят о наличии у этого уравнения действительных корней.

Возможные случаи в зависимости от значения D:

1. Если D>0, то уравнение имеет два корня.
2. Если D= 0, то уравнение имеет один корень: х =
3. Если D 2 + bx + c = 0.

Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой q:

х 2 + px + q = 0, тогда

Глава 2.Нестандартные способы решения квадратных уравнений

2.1.Решение с помощью свойств коэффициентов квадратного уравнения

Свойства коэффициентов квадратного уравнения – это такой способ решения квадратных уравнений, который поможет быстро и устно найти корни уравнения:

1. Еслиа+ b+c=0, тоx₁= 1,x₂=

Пример. Рассмотрим уравнение х 2 +3х – 4= 0.

Проверим полученные корни с помощью нахождения дискриминанта:

Следовательно, если + b +c= 0, то x₁ = 1, x₂ =

1. Еслиb =a+c, тоx₁= -1,x₂=

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 +4х +1 = 0, a=3, b=4, c=1

Значит корнями этого уравнения являются –1 и . Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= b 2 – 4ас=4 2 – 4·3·1 = 16 – 12 = 4

2.2.Способ «переброски»

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а±b+c≠0, то используется прием переброски:

Применяя способ «переброски» получаем:

Таким образом, с помощью теоремы Виета получаем корни уравнения:

Однако корни уравнения необходимо поделить на 3 (то число, которое «перебрасывали»):

Значит, получаем корни: x₁ = -1, x₂ = .

2.3.Решение с помощью закономерности коэффициентов

1. Если уравнениеax 2 + bx + c= 0, коэффициентb= (a2+1), и коэффициентc=a, то его корни равны x₁ = —a, x₂ =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 +10х +3 = 0.

Таким образом, корни уравнения: x₁ = -3, x₂ =

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b 2 – 4ас=10 2 – 4·3·3 = 100 – 36 = 64

1. Если уравнениеax 2 — bx + c= 0, коэффициентb= (a2+1), и коэффициентc=a, то его корни равны x₁ = a, x₂ =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 — 10х +3 = 0.

Таким образом, корни уравнения: x₁ = 3, x₂ =

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b 2 – 4ас=10 2 – 4·3·3 = 100 – 36 = 64

1. Если уравнениеax 2 + bx — c= 0, коэффициентb= (a2-1), и коэффициентc=a, то его корни равны x₁ = —a, x₂ =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 + 8х —3 = 0..

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b 2 – 4ас=8 2 + 4·3·3 = 64 + 36 = 100

1. Если уравнениеax 2 — bx — c= 0, коэффициентb= (a2-1), и коэффициентc=a, то его корни равны x₁ = a, x₂ =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 — 8х —3 = 0..

Таким образом, корни уравнения: x₁ = 3, x₂ = —

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b 2 – 4ас=8 2 + 4·3·3 = 64 + 36 = 100

2.4.Решение с помощью циркуля и линейки

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис.6 ).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

1) построим точки S (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис.8б) в точке В(х₁; 0), где х₁ — корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра AS SB, R> б) AS=SB, R= в) AS 2 — 2х — 3 = 0 (рис.8).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

2.5.Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.

Примеры.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.9).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей:

первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим:

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у — 16 = 0.

Решение представлено на рис 10. где

у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой

один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у₁ = 2, у₂ = — 8 (рис. .

3) Решить геометрически уравнение у 2 — 6у — 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

На рис 11. находим «изображения» выражения у 2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у 2 — 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у — 3. Заменяя выражение у 2 — 6у равным ему числом 16,

получаем: (у — 3) 2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25, или у — 3 = ± 5, где у₁ = 8 и у₂ = — 2.

Заключение

В ходе выполнения своей исследовательской работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справился, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.

Нужно отметить, что каждый способ решения квадратных уравнений по-своему уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на контрольных работах и экзаменах. При работе над темой я ставил задачу, выяснить какие методы являются стандартными, а какие нестандартными.

Итак, стандартные методы (используются чаще при решении квадратных уравнений):

• Решение с помощью выделения квадрата двучлена
• Разложение левой части на множители
• Решение квадратных уравнений по формуле
• Решение с помощью теоремы Виета
• Графическое решение уравнений

Нестандартные методы:

• Свойства коэффициентов квадратного уравнения
• Решение способом переброски коэффициентов
• Решение с помощью закономерности коэффициентов
• Решение квадратных уравнений, с помощью циркуля и линейки.
• Исследование уравнения на промежутках действительной оси
• Геометрический способ

При этом следует заметить, что каждый способ обладает своими особенностями и границами применения.

Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения, при этом легко находятся только целые корни.

Решение уравнений способом переброски

За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета, при этом также легко найти только целые корни.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Доступный метод для устного нахождения корней квадратного уравнения, но подходит только к некоторым уравнениям

Графическое решение квадратного уравнения

Наглядный способ решения квадратного уравнения, однако могут возникать погрешности при составлении графиков

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Наглядный способ решения квадратного уравнения, но также могут возникать погрешности

Геометрический способ решения квадратных уравнений

Наглядный способ, похож на способ выделения полного квадрата

Решая уравнения разными способами, я пришел к выводу, что зная комплекс методов решения квадратных уравнений, можно решить любое уравнение, предлагаемое в процессе обучения.

При этом, следует заметить, что одним из более рациональных способов решения квадратных уравнений является способ «переброски» коэффициента. Однако самым универсальным способом можно считать стандартный способ решения уравнений по формуле, потому что данный способ позволяет решить любое квадратное уравнение, хотя иногда и за более длительное время. Также такие способы решения, как способ «переброски», свойство коэффициентов и теорема Виета помогаю сэкономить время, что очень важно при решении заданий на экзаменах и контрольных работах.

Думаю, что моя работа будет интересна учащимся 9-11 классов, а также тем, которые хотят научиться решать рационально квадратные уравнения и хорошо подготовиться к выпускным экзаменам. Также она будет интересна и учителям математики, за счет рассмотрения истории квадратных уравнений и систематизации способов их решения.

Список литературы

1. Глейзер, Г.И. История математики в школе/ Г.И. Глейзер.-М.: Просвещение, 1982- 340с.
2. Гусев, В.А. Математика. Справочные материалы/ В.А. Гусев, А.Г. Мордкович — М.: Просвещение, 1988, 372с.
3. Ковалева Г. И., Конкина Е. В. «Функциональный метод решения уравнений и неравенств», 2014 г.
4. Кулагин Е. Д. «300 конкурсных задач по математике», 2013 г.
5. Потапов М. К. «Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения» М. «Дрофа», 2012 г.
6. .Барвенов С. А «Методы решения алгебраических уравнений», М. «Аверсэв», 2006 г.
7. Супрун В.П. «Нестандартные методы решения задач по математике» — Минск «Полымя», 2010г
8. Шабунин М.И. «Пособие по математике для поступающих в вузы», 2005г.
9. Башмаков М.И. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2004. – 287с.
10. Шаталова С. Урок – практикум по теме «Квадратные уравнения».- 2004.

Учебный проект «Нестандартные приемы решения квадратных уравнений»

Разделы: Математика

Тема «Квадратные уравнения» является одной из самых актуальных. Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение в разных разделах математики.

В школьном курсе изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако, имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.

Проблемный вопрос: существуют ли кроме общепринятых приемов решения квадратных уравнений другие, которые позволяют быстро и рационально решать квадратные уравнения?

Гипотеза: установление связи между коэффициентами и корнями квадратного уравнения позволит найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения.

Цель: установив связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения, найти новые рациональные приемы решения уравнений

• Изучить литературу по истории приемов решения квадратных уравнений
• Обобщить накопленные знания о квадратных уравнениях и способах их решения.
• Установить зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения, в том числе с большими коэффициентами.
• Сделать выводы.
• Разработать дидактический материал для проведения практикума по решению квадратных уравнений с использованием новых приемов в помощь ученикам, увлеченным математикой и учителям, ведущим факультативные занятия.

Объект исследования: квадратные уравнения

Предмет изучения: методы и приемы решения квадратных уравнений, в том числе с большими коэффициентами

Глава 1.
Изучение литературы

Основной материал, связанный с изучением темы «Квадратные уравнения» находится в УМК под ред.С.А.Теляковского. В учебнике разобраны все основные вопросы по теме:

1. Определение и виды квадратных уравнений

2. Основные методы решения квадратных уравнений

Однако, дополнительный материал, связанный с историей вопроса о возникновении квадратных уравнений можно найти в «Энциклопедия по математике» «Занимательная математика», М., 2007. Способы решения задач на квадратные уравнения в полном объёме раскрыты в изданиях «Сборник элективных курсов» Волгоград, 2006 г.

Изученная литература позволила приобрести новые интересные знания по истории возникновения квадратного уравнения, приобрести опыт по решению различных квадратных уравнений и перейти к следующему этапу в исследовании – перенести полученные знания в нестандартную ситуацию.

Глава 2.
Изучение истории вопроса о квадратных уравнениях

Глава 3.
Обобщение имеющихся знаний о квадратных уравнениях и способах их решения

Глава 4.
Нестандартные приемы решения квадратных уравнений

Дидактический материал по применению нестандартных приемов решения квадратных уравнений.

1. Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:

1978х 2 – 1984х + 6=0
(1; 6/1978)

4х 2 + 11х + 7 = 0
(-1; -7/4)

319х 2 + 1988х +1669=0
(-1; -1669/319)

2. Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами

839х 2 – 448х -391=0
(1; -391/839)

345х 2 – 137х – 208=0
(1;.-208/345)

3. Используя полученные знания, установи соответствие:

1) х 2 +5х+6=0 2) 6х 2 -5х+1=0 3) 2х 2 -5х+3=0 4) 3х 2 -5х+2=0 5) х 2 -5х+6=0 6) 6х 2 +5х+1=0 7) 2х 2 +5х+2=0 8) 3х 2 +5х+2=0

1) 1/6;1/2 2) 1; 3/2 3) 1; 2/3 4) -2; -3 5) -1/3 ; -1/2 6) -1; -3/2 7) -1; -2/3 8) 2;3

Глава 5.
Анализ работы учащихся по решению квадратных уравнений нестандартными способами

Разработаны критерии оценки проведенного практикума:

1. За каждое верно выполненное задание ставится 1 балл;
2. Наиболее возможное количество набранных баллов-17
3. Если ученик набирает менее

7 баллов, то выставляется оценка «2»
от 7 до 11 баллов «3»
от 12 до 15 баллов «4»
от 16-17 баллов «5»

Выполняли работу – 11человек

от 16-17 – 5человек (45%)
от 12-15– 6человек (55%)
Менее 12 – 0 человек

Средний балл – 4,45

Процент качества – 100%

Типичные ошибки, допущенные в работе связаны с невнимательностью учащихся.

Выводы по результатам проведения практикума

Успешно выполненная работа учащимися 8 класса, позволяет сделать следующие выводы:

• нестандартные приемы решения квадратных уравнений заслуживают внимания;
• позволяют экономить время решения, что обусловлено применением тестовой системы экзаменов.

В процессе работы над проектом, была создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого проведена успешная апробация этих приемов.

Данный материал можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя могут использовать его как методическое пособие при изучении темы «Решение квадратных уравнений», а также, для контроля за знаниями учащихся.

Материалом этого проекта могут воспользоваться и те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М. государственное издательство физико-математической литературы, 1970.
2. Галицкий М.Л., Гольдман М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Учебник для 8 класса. М., Просвещение, 2001.
4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс М., Просвещение, 1996.
5. Штейнгауз В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005.
6. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.

Об отдельных случаях вычисления дискриминанта

Сложно встретить старшеклассника, НЕ умеющего находить корни квадратного уравнения через дискриминант.

Но, к сожалению, в отдельных случаях, получая громоздкий дискриминант, многие начинают паниковать (без калькулятора).

А на ЕГЭ по математике, например, в задачах №11, вам вполне может встретиться причудливый дискриминант.

Нет безвыходных ситуаций!

На чем можно сэкономить силы при вычислении дискриминанта

Прежде чем разбирать примеры, вспомним все же формулу дикриминанта для вычисления корней квадратного уравнения

Тогда корни уравнения находим по формуле

Надеюсь, вы помните, что удобно искать корни уравнения через дискриминант в случае, если имеем дело с полным квадратным уравнением ( и – ненулевые).

I. Используем формулу «разность квадратов» + показать

Допустим, нам нужно решить уравнение

Ясно, что дискриминант следующий:

Не спешим возводить 53 в квадрат! Замечаем, что , поэтому

Корни данного уравнения, думаю, теперь каждый из вас найдет без труда…

II. Используем прием вынесения общего множителя за скобки + показать

Допустим, нам нужно решить уравнение (кстати, оно взято из реальной текстовой задачи из открытого банка заданий ЕГЭ по математике).

Ясно, что дискриминант следующий:

Нет, мы не пойдем напролом!

Замечаем, что , а .

Мы можем вынести за скобку общий множитель

Корни найти – уже не проблема…

III. Формула сокращенного дискриимнанта + показать

Допустим, нам нужно решить уравнение

Вы знаете, что такое ?