Решение системы линейных уравнений методом сложения
Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения
- Умножить обе части одного или обоих уравнений так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными (или равными) числами.
- Сложить (или отнять) уравнения, чтобы избавиться от одной из переменных.
- Решить второе уравнение относительно выраженной переменной.
- Решить полученное уравнение с одной переменной.
- Найти вторую переменную.
- Записать ответ в виде упорядоченной пары найденных значений переменных.
Умножаем первое уравнение на 2
Отнимаем от первого уравнения второе:
Находим y из первого уравнения:
В последовательной записи:
$$ <\left\< \begin
Примеры
Пример 1. Решите систему уравнений методом сложения:
$ а) <\left\< \begin
$ б) <\left\< \begin
$ в) <\left\< \begin
$ г) <\left\< \begin
Пример 2. Найдите решение системы уравнений:
$$а) <\left\< \begin
$$\Rightarrow <\left\< \begin
$ в) <\left\< \begin
$ г) <\left\< \begin
$$ \Rightarrow <\left\< \begin
Пример 3*. Найдите решение системы уравнений:
Введём новые переменные: $ <\left\< \begin
Перепишем систему и найдём решение для новых переменных:
$$ <\left\< \begin
Примеры решения систем линейных уравнений способом сложения
Рассмотрим конкретные примеры решения систем линейных уравнений способом сложения.
Ищем наибольший общий делитель коэффициентов при каждой из переменных (коэффициенты берем со знаком «+»).
Наименьшее общее кратное коэффициентов при x — НОК(5;2)=10, при y — НОК(3;3)=3.
Проще работать с y, поскольку для получения перед y противоположных чисел достаточно умножить любое из уравнений на -1. Проще умножить на -1 второе уравнение системы (в этом случае после сложения уравнений коэффициент при x — положительное число).
Теперь подставим x=3 в любое из уравнений системы, например, во второе:
Решаем это уравнение:
Ответ записываем в круглых скобках через точку с запятой в алфавитном порядке.
НОК(6; 4)=12, НОК(13; 5)=65. Проще работать с коэффициентами перед x.
Чтобы получить перед иксами противоположные числа, первую систему умножим на -2, вторую — на 3
и сложим почленно левые и правые части уравнений:
Подставляем y= -1 в первое уравнение системы и находим x:
НОК(3; 5)=15, НОК(5; 7)=35. Проще получить противоположные числа перед x.
Для этого умножим первое уравнение системы на 5, второе — на -3:
и сложим почленное левые и правые части полученных уравнений:
Подставляем y=2 в первое уравнение системы и находим x:
Прежде чем применить способ сложения, данную систему следует упростить. Умножим первое уравнение на наименьший общий знаменатель дробей, во втором раскроем скобки:
Получили систему линейных уравнений с двумя переменными. Для решения её способом сложения достаточно умножить второе уравнение на -1 и сложить почленно левые и правые части уравнений:
Подставляем найденное значение b в первое уравнение системы (линейных уравнений):
Систему линейных уравнений с тремя переменными можно решить, сначала исключив одно из неизвестных, а затем — другое.
В данной системе проще всего исключить переменную z.
К первому уравнению прибавим третье, умноженное на -3:
Ко второму уравнению прибавим третье, умноженное на 2:
Получили систему линейных уравнений с двумя переменными:
НОК(8;10)=40, НОК(13; 7)=91. Проще работать с x:
Подставив полученные значение y во второе уравнение системы с двумя переменными, найдём x:
Подставив значения y и x в третье уравнение системы с тремя переменными, найдём z:
Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Способ сложения.
Метод сложения – решая системы линейных уравнений методом сложения, уравнения системы почленно складывают, при этом 1-но либо оба (несколько) уравнений можно умножить на любое число. В результате приходят к равнозначной СЛУ, где в одном из уравнений есть лишь одна переменная.
Для решения системы способом почленного сложения (вычитания) следуйте следующим шагам:
1. Выбираем переменную, у которой будут делаться одинаковые коэффициенты.
2. Теперь нужно сложить либо вычесть уравнения и получим уравнение с одной переменной.
3. Далее необходимо решить линейное уравнение, которое мы получили и найти решение системы.
Решение системы — это точки пересечения графиков функции.
Рассмотрим на примерах.
Проанализировав эту систему можно заметить, что коэффициенты при переменной равны по модулю и разные по знаку (–1 и 1). В таком случае уравнения легко сложить почленно:
Действия, которые обведены красным цветом, выполняем в уме.
Результатом почленного сложения стало исчезновение переменной y. Именно в этом и В этом, собственно, и заключается смысл метода – избавиться от 1-ой из переменных.
Далее очень легко: 3x + 12 = 0 → x = -4 – подставляем в 1-е уравнение системы (можете и во 2-у, но это не так удобно, так как во втором уравнении числа больше):
В виде системы решение выглядит где-то так:
В этом примере можете пользоваться «школьным» методом, но в нем есть немаленький минус — когда вы будете выражать любую переменную из любого уравнения, то получите решение в обыкновенных дробях. А решение дробей занимает достаточно времени и вероятность допущения ошибок увеличивается.
Поэтому лучше пользоваться почленным сложением (вычитанием) уравнений. Проанализируем коэффициенты у соответствующих переменных:
Нужно подобрать число, которое можно поделить и на 3 и на 4, при этом нужно, что бы это число было минимально возможным. Это наименьшее общее кратное. Если вам тяжело подобрать подходящее число, то можете перемножить коэффициенты: .
1-е уравнение умножаем на ,
3-е уравнение умножаем на ,
Далее из 1-го уравнения почленно вычитаем 2-е.
Обратите внимание, что можно делать и наоборот – из 2-го уравнения вычесть 1-е, разницы нет.
Далее подставляем, найденное значение в любое из уравнений системы, к примеру, в 1-е:
Ответ: .
http://www.algebraclass.ru/primery-resheniya-sposobom-slozheniya/
http://www.calc.ru/Lineynyye-Uravneniya-Resheniye-Sistem-Lineynykh-Uravneniy-Sp-A.html