5.1 Решение алгебраических (и других) уравнений и систем.
5.2 Решение дифференциальных уравнений и систем (задача Коши и граничные задачи).
5.3 Задание.
5.1 Решение алгебраических (и других) уравнений и систем.
Линейные алгебраические уравнения.
Определение: Уравнение вида ax+b=0 с заданным базовым множеством Gx, a из Ga , b из Gb называется линейным уравнением.
Этапы решения при помощи Mathcad:
Ввести уравнение (знак «=» вводится при помощи комбинации [Ctrl++]).
Выделить курсором переменную, относительно которой должно быть решено уравнение.
Выбрать команду Solve (Вычислить) подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы).
При решении линейных уравнений (без параметров) или дробных уравнений, которые сводятся к линейным, MathCAD находит все существующие решения. Однако при этом следует правильно интерпретировать сообщения, выдаваемые системой.
Нормальный случай.
В качестве решения MathCAD выдает число — это означает,
что уравнение однозначно разрешимо (однозначное решение линейного уравнения над множеством действительных чисел, которое одновременно является областью определения этого уравнения).
Рассмотрим другой пример:
После выполнения описанных выше действий для нахождения решения Mathcad выдает сообщение о том, что решение не найдено.
Проанализировав данное уравнение приходим к выводу, что выданное Mathcad сообщение означает, что решений нет L=<>.
MathCAD выдает сообщение «Решение не найдено», даже если уравнение имеет «формальное решение», которое не принадлежит области определения (смотри примеры ниже).
Многозначность. Если в качестве решения MathCAD выдает имя переменной, это означает, что множество решений уравнения совпадает с областью определения. Однако, такие понятия, как множество решений уравнения и область определения, отсутствуют в MAthCAD и он не выписывает оболасть определения. Вы можете найти область определения, решая с помощью Mathcad систему неравенств или уравнений
Такой результат, выданный Mathcad после выполнения действий по решению уравнения, означает, что любое значение x из базового множества удовлетворяет этому уравнению, т. е. L=R.
Дробные уравнения
Команда Solve (Вычислить) из подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы)выдает множество решений: L = .
Решение 6 копируем в буфер, а затем выделяем маркером переменную x и активизируем команду Substitute (Замена) подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы) для замены переменной значением 6.
Рассмотрим другой пример:
Последнее уравнение (рисунок справа) условно эквивалентно уравнению:2x=4. Решение уравнения Mathcad: 2. Формальное решение x = 2 не входит в область допустимых значений. Mathcad выдает правильное сообщение!
Здесь также правильное решение: множество решений совпадает с областью допустимых значений L = D. Только следует учесть, что D=>.
Квадратные уравнения и алгебраические уравнения высших порядков.
Определение: Уравнение P(x)=0 называется алгебраическим уравнением n-го порядка, если P(x) представляет собой полином степени n, при n=2 данное уравнение называется квадратным уравнением.
При решении такого рода уравнения необходимо выполнить те же действия, что и при решении линейных уравнений.
Квадратное уравнение.
Команда Solve (Вычислить) подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы) дает решение в виде вектора: L= .
Иррациональное уравнения (уравнения с радикалами).
Корни (радикалы) могут вычисляться в MathCAD либо при помощи знака корня (клавиши [Ctrl+\]), либо как степени (клавиша [^] с дробными показателями. Знак квадратного корня вводится нажатием клавиши [\]. Знак корня и квадратный корень можно найти на панели Calculator (Калькулятор). Последовательность действий при решении уравнений с радикалами та же, что и при решении рассмотренных ранее уравнений.
С точки зрения теории, между решениями уравнений с радикалами и решением алгебраических уравнений имеется два важных различия, по крайней мере, при нахождении действительных решений.
Радикалы определены не везде в действительной области. Это обстоятельство приводит к необходимости находить область определени, прежде чем решать само уравнение. Данная проблема справедливо игнорируется MathCAD, поскольку он не может знать, во множестве каких чисел (действительных или комплексных) вы намерены решать уравнение. Выход: вы можете самостоятельно найти область определения, воспользовавшись при этом возможностями MathCAD, связанными с решениями неравенств.
Вторая проблема, возникающая при решении уравнений с радикалами, имеет принципиальный характер. Функция x 2 (как и любая другая функция с четным показателем) на является инъективной (проблема главных значений). В связи с этим возведение в квадрат обеих частей уравнения, содержащего квадратные корни, не является эквивалентным преобразованием. Как всегда, при применении к обеим частям уравнения не инъективного преобразования увеличивается множество решений. В результате в него могут войти «фиктивные» решения. Как ни удивительно, MAthCAD сам производит проверку решений на «фиктивность».
Классический случай решения уравнения с радикалами.
Mathcad распознает «фиктивные» решения (которые могут возникнуть в результате неэквивалентного преобразования «возведение в квадрат») и выдает верное сообщение: Решение не найдено. L =
В приведенных примерах демонстрируется способность MathCAD находить область определения иррационального уравнения путем решения неравенств.
Уравнения с радикалами третьей степени, как и уравнения с комплексными коэффициентами, не представляют для MathCAD никакой сложности.
Уравнения с параметрами. При решении уравнений с параметрами MathCAD ведет себя по-разному, в зависимости от того, каким образом производятся символьные вычисления — с помощью символьного знака равенства или команд меню Symbolics.
В данном примере использование палитры символьных преобразований позволяет решить уравнение (solve) и упрстить результат (simplify)
Линейные уравнения в MathCad
Данный урок посвящается использованию векторных и матричных элементов, которые так важны для решения систем линейных уравнений.
Рассмотрим на примере. Создадим систему из трех линейных уравнений, в которых было бы три неизвестных:
Стандартная методика решения указанных систем состоит в поочередном исключении переменных. Так, можно добавить 1 к 3 и 3 к 2.
После этого пользуемся 4
Вот что мы получили:
Уравнение линейного типа можно решить с использованием вектора или матрицы. Давайте преобразуем левую половину уравнений в произведение матричного типа.
Следите за тем, чтобы матрица А была соотнесена с коэффициентом системы уравнения. Теперь переводим правую сторону в векторное решение.
Система уравнений будет выглядеть так.
Соответственно, мы сможем найти решение уравнения:
Данная запись применяется даже к огромным системам, в которых может содержаться даже несколько тысяч уравнений. Помните, что решением будет считаться производственная от обыкновенной матрицы коэффициентов и результативности вектора. Важна в данном процессе и их последовательность. Естественно, такая методика не может похвастаться полноценной эффективностью, однако он может применяться для решения многих задач.
Расчет цепи постоянного тока
Цепи постоянного тока собираются пор помощи резисторов и ЗДС источников. Поэтому популярной задачей является определение тока в каждом ответвлении цепи.
Учитываем полученные значения:
Записываем индивидуальные уравнения для I, II и III. Ориентируемся на правило Кирхгофа.
Смотрим на узлы а, b, c. Составляем для них новые уравнения.
Разработаем матрицу А. В ней имеются коэффициенты при токах. В вектор b пишем правую часть уравнения.
Решение уравнений будет выглядеть так:
Х можно найти и другим способом. Для этого вбиваем команду lsolve(A,B):
Линейные уравнения
Обычно линейные уравнения отличаются простотой исполнения. Однако при работе с данными примерами стоит обращать внимание на некоторые детали. Давайте их наглядно отобразим.
Упростим данный пример:
Решение оказывается очевидным
Этот случай можно счесть стандартным. Куда интереснее находить определители матриц коэффициентов.
Он не может быть равным нулю. Изменяем второе уравнение и стараемся отыскать для него решение.
Собственно, количество решений неограниченно.
Определитель матрицы коэффициентов выглядит так:
Он равняется нулю. Пытаясь определить решение, программа подаёт информацию о том, что такая матрица относится к сингулярному типу. В данном случае оба уравнения одинаковые. Поэтому оно получило название «линейно зависимого уравнения».
Теперь перестановка константы второго уравнения.
Решить пример невозможно, обе прямые параллельны:
Определитель снова сравнен с нулем.
Собственно, когда уравнитель равняется нулю, появляется сложно определяемая проблема. Особенно много ошибок допускают при работе с большой системой уравнений.
Когда коэффициент содержит ошибки м округлениями, Маткад автоматически принимает их за две разные системы. Ответ-то получен, однако существует огромная вероятность, что он ошибочный.
Как решать линейные уравнения в маткад
Уравнение и системы уравнений в математическом пакете Mathcad в символьном виде решаются с использованием специального оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства, который может быть также введен с рабочей панели “Символика”. Например:
Аналогичные действия при решении уравнений в Mathcad можно выполнить, используя меню “Символика”. Для этого необходимо записать вычисляемое выражение. Затем выделить переменную, относительно которой решается уравнение, войти в меню Символика, Переменная, Разрешить. Например:
В случае, если необходимо упростить полученный результат, используется знак равенства [=]. Например:
При решении некоторых уравнений, результат включает большое количество символов. Mathcad сохраняет его в буфере, а на дисплей выводитcя сообщение: “This array has more elements than can be displayed at one time. Try using the “submatrix” function” – “Этот массив содержит больше элементов, чем может быть отображено одновременно. Попытайтесь использовать функцию “submatrix””. В этом случае рекомендуется использовать численное решение. Или, в случае необходимости, символьное решение может быть выведено и отображено на дисплее.
Символьное решение может быть получено с использованием блока given … find. В этом случае при записи уравнения для связи его левой и правой части использует символ логического равенства “=” с панели инструментов Boolean, например:
Аналогичным способом решаются системы уравнений в символьном виде. Ниже приводятся примеры решения систем уравнений в символьном виде различными способами. При использовании оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства система уравнений должна быть задана в виде вектора, который вводится вместо левого маркера оператора solve, а перечень переменных, относительно которых решается система, вместо правого маркера. Например:
Пример использования блока given…find для решения системы уравнений:
система уравнений должна быть задана в виде вектора, который вводится вместо левого маркера оператора solve, а перечень переменных, относительно которых решается система, вместо правого маркера. Например: