Как составлять ионные уравнения. Задача 31 на ЕГЭ по химии

Достаточно часто школьникам и студентам приходится составлять т. н. ионные уравнения реакций. В частности, именно этой теме посвящена задача 31, предлагаемая на ЕГЭ по химии. В данной статье мы подробно обсудим алгоритм написания кратких и полных ионных уравнений, разберем много примеров разного уровня сложности.

Зачем нужны ионные уравнения

Напомню, что при растворении многих веществ в воде (и не только в воде!) происходит процесс диссоциации — вещества распадаются на ионы. Например, молекулы HCl в водной среде диссоциируют на катионы водорода (H + , точнее, H 3 O + ) и анионы хлора (Cl — ). Бромид натрия (NaBr) находится в водном растворе не в виде молекул, а в виде гидратированных ионов Na + и Br — (кстати, в твердом бромиде натрия тоже присутствуют ионы).

Записывая «обычные» (молекулярные) уравнения, мы не учитываем, что в реакцию вступают не молекулы, а ионы. Вот, например, как выглядит уравнение реакции между соляной кислотой и гидроксидом натрия:

HCl + NaOH = NaCl + H 2 O. (1)

Разумеется, эта схема не совсем верно описывает процесс. Как мы уже сказали, в водном растворе практически нет молекул HCl, а есть ионы H + и Cl — . Так же обстоят дела и с NaOH. Правильнее было бы записать следующее:

H + + Cl — + Na + + OH — = Na + + Cl — + H 2 O. (2)

Это и есть полное ионное уравнение . Вместо «виртуальных» молекул мы видим частицы, которые реально присутствуют в растворе (катионы и анионы). Не будем пока останавливаться на вопросе, почему H 2 O мы записали в молекулярной форме. Чуть позже это будет объяснено. Как видите, нет ничего сложного: мы заменили молекулы ионами, которые образуются при их диссоциации.

Впрочем, даже полное ионное уравнение не является безупречным. Действительно, присмотритесь повнимательнее: и в левой, и в правой частях уравнения (2) присутствуют одинаковые частицы — катионы Na + и анионы Cl — . В процессе реакции эти ионы не изменяются. Зачем тогда они вообще нужны? Уберем их и получим краткое ионное уравнение:

H + + OH — = H 2 O. (3)

Как видите, все сводится к взаимодействию ионов H + и OH — c образованием воды (реакция нейтрализации).

Все, полное и краткое ионные уравнения записаны. Если бы мы решали задачу 31 на ЕГЭ по химии, то получили бы за нее максимальную оценку — 2 балла.

Итак, еще раз о терминологии:

HCl + NaOH = NaCl + H 2 O — молекулярное уравнение («обычное» уравнения, схематично отражающее суть реакции);
H + + Cl — + Na + + OH — = Na + + Cl — + H 2 O — полное ионное уравнение (видны реальные частицы, находящиеся в растворе);
H + + OH — = H 2 O — краткое ионное уравнение (мы убрали весь «мусор» — частицы, которые не участвуют в процессе).

Алгоритм написания ионных уравнений

Составляем молекулярное уравнение реакции.
Все частицы, диссоциирующие в растворе в ощутимой степени, записываем в виде ионов; вещества, не склонные к диссоциации, оставляем «в виде молекул».
Убираем из двух частей уравнения т. н. ионы-наблюдатели, т. е. частицы, которые не участвуют в процессе.
Проверяем коэффициенты и получаем окончательный ответ — краткое ионное уравнение.

Пример 1 . Составьте полное и краткое ионные уравнения, описывающие взаимодействие водных растворов хлорида бария и сульфата натрия.

Решение . Будем действовать в соответствии с предложенным алгоритмом. Составим сначала молекулярное уравнение. Хлорид бария и сульфат натрия — это две соли. Заглянем в раздел справочника «Свойства неорганических соединений». Видим, что соли могут взаимодействовать друг с другом, если в ходе реакции образуется осадок. Проверим:

BaCl 2 + Na 2 SO 4 = BaSO 4 &#x2193 + 2NaCl.

Таблица растворимости подсказывает нам, что BaSO 4 действительно не растворяется в воде (направленная вниз стрелка, напомню, символизирует, что данное вещество выпадает в осадок). Молекулярное уравнение готово, переходим к составлению полного ионного уравнения. Обе соли, присутствующие в левой части, записываем в ионной форме, а вот в правой части оставляем BaSO 4 в «молекулярной форме» (о причинах этого — чуть позже!) Получаем следующее:

Ba 2+ + 2Cl — + 2Na + + SO 4 2- = BaSO 4 &#x2193 + 2Cl — + 2Na + .

Осталось избавиться от балласта: убираем ионы-наблюдатели. В данном случае в процессе не участвуют катионы Na + и анионы Cl — . Стираем их и получаем краткое ионное уравнение:

Ba 2+ + SO 4 2- = BaSO 4 &#x2193.

А теперь поговорим подробнее о каждом шаге нашего алгоритма и разберем еще несколько примеров.

Как составить молекулярное уравнение реакции

Должен сразу вас разочаровать. В этом пункте не будет однозначных рецептов. Действительно, вряд ли можно рассчитывать, что я смогу разобрать здесь ВСЕ возможные уравнения реакций, которые могут встретиться вам на ЕГЭ или ОГЭ по химии.

Ваш помощник — раздел «Свойства неорганических соединений». Если вы хорошо знакомы с четырьмя базовыми классами неорганических веществ (оксиды, основания, кислоты, соли), если вам известны химические свойства этих классов и методы их получения, можете на 95% быть уверены в том, что у вас не будет проблем на экзамене с написанием молекулярных уравнений.

Оставшиеся 5% — это некоторые «специфические» реакции, которые мы не сможем перечислить. Не будем лить слез по поводу этих 5%, а вспомним лучше номенклатуру и химические свойства базовых классов неорганических веществ. Три задания для самостоятельной работы:

Упражнение 1 . Напишите молекулярные формулы следующих веществ: оксид фосфора (V), нитрат цезия, сульфат хрома (III), бромоводородная кислота, карбонат аммония, гидроксид свинца (II), фосфат стронция, кремниевая кислота. Если при выполнении задания у вас возникнут проблемы, обратитесь к разделу справочника «Названия кислот и солей».

Упражнение 2 . Дополните уравнения следующих реакций:

KOH + H 2 SO 4 =
H 3 PO 4 + Na 2 O=
Ba(OH) 2 + CO 2 =
NaOH + CuBr 2 =
K 2 S + Hg(NO 3 ) 2 =
Zn + FeCl 2 =

Упражнение 3 . Напишите молекулярные уравнения реакций (в водном растворе) между: а) карбонатом натрия и азотной кислотой, б) хлоридом никеля (II) и гидроксидом натрия, в) ортофосфорной кислотой и гидроксидом кальция, г) нитратом серебра и хлоридом калия, д) оксидом фосфора (V) и гидроксидом калия.

Искренне надеюсь, что у вас не возникло проблем с выполнением этих трех заданий. Если это не так, необходимо вернуться к теме «Химические свойства основных классов неорганических соединений».

Как превратить молекулярное уравнение в полное ионное уравнение

Начинается самое интересное. Мы должны понять, какие вещества следует записывать в виде ионов, а какие — оставить в «молекулярной форме». Придется запомнить следующее.

В виде ионов записывают:

растворимые соли (подчеркиваю, только соли хорошо растворимые в воде);
щелочи (напомню, что щелочами называют растворимые в воде основания, но не NH 4 OH);
сильные кислоты (H 2 SO 4 , HNO 3 , HCl, HBr, HI, HClO 4 , HClO 3 , H 2 SeO 4 , . ).

Как видите, запомнить этот список совсем несложно: в него входят сильные кислоты и основания и все растворимые соли. Кстати, особо бдительным юным химикам, которых может возмутить тот факт, что сильные электролиты (нерастворимые соли) не вошли в этот перечень, могу сообщить следующее: НЕвключение нерастворимых солей в данный список вовсе не отвергает того, что они являются сильными электролитами.

Все остальные вещества должны присутствовать в ионных уравнениях в виде молекул. Тем требовательным читателям, которых не устраивает расплывчатый термин «все остальные вещества», и которые, следуя примеру героя известного фильма, требуют «огласить полный список» даю следующую информацию.

В виде молекул записывают:

все нерастворимые соли;
все слабые основания (включая нерастворимые гидроксиды, NH 4 OH и сходные с ним вещества);
все слабые кислоты (H 2 СO 3 , HNO 2 , H 2 S, H 2 SiO 3 , HCN, HClO, практически все органические кислоты . );
вообще, все слабые электролиты (включая воду. );
оксиды (всех типов);
все газообразные соединения (в частности, H 2 , CO 2 , SO 2 , H 2 S, CO);
простые вещества (металлы и неметаллы);
практически все органические соединения (исключение — растворимые в воде соли органических кислот).

Уф-ф, кажется, я ничего не забыл! Хотя проще, по-моему, все же запомнить список N 1. Из принципиально важного в списке N 2 еще раз отмечу воду.

Пример 2 . Составьте полное ионное уравнение, описывающие взаимодействие гидроксида меди (II) и соляной кислоты.

Решение . Начнем, естественно, с молекулярного уравнения. Гидроксид меди (II) — нерастворимое основание. Все нерастворимые основания реагируют с сильными кислотами с образованием соли и воды:

Cu(OH) 2 + 2HCl = CuCl 2 + 2H 2 O.

А теперь выясняем, какие вещества записывать в виде ионов, а какие — в виде молекул. Нам помогут приведенные выше списки. Гидроксид меди (II) — нерастворимое основание (см. таблицу растворимости), слабый электролит. Нерастворимые основания записывают в молекулярной форме. HCl — сильная кислота, в растворе практически полностью диссоциирует на ионы. CuCl 2 — растворимая соль. Записываем в ионной форме. Вода — только в виде молекул! Получаем полное ионное уравнение:

Сu(OH) 2 + 2H + + 2Cl — = Cu 2+ + 2Cl — + 2H 2 O.

Пример 3 . Составьте полное ионное уравнение реакции диоксида углерода с водным раствором NaOH.

Решение . Диоксид углерода — типичный кислотный оксид, NaOH — щелочь. При взаимодействии кислотных оксидов с водными растворами щелочей образуются соль и вода. Составляем молекулярное уравнение реакции (не забывайте, кстати, о коэффициентах):

CO 2 + 2NaOH = Na 2 CO 3 + H 2 O.

CO 2 — оксид, газообразное соединение; сохраняем молекулярную форму. NaOH — сильное основание (щелочь); записываем в виде ионов. Na 2 CO 3 — растворимая соль; пишем в виде ионов. Вода — слабый электролит, практически не диссоциирует; оставляем в молекулярной форме. Получаем следующее:

СO 2 + 2Na + + 2OH — = Na 2+ + CO 3 2- + H 2 O.

Пример 4 . Сульфид натрия в водном растворе реагирует с хлоридом цинка с образованием осадка. Составьте полное ионное уравнение данной реакции.

Решение . Сульфид натрия и хлорид цинка — это соли. При взаимодействии этих солей выпадает осадок сульфида цинка:

Na 2 S + ZnCl 2 = ZnS&#x2193 + 2NaCl.

Я сразу запишу полное ионное уравнение, а вы самостоятельно проанализируете его:

2Na + + S 2- + Zn 2+ + 2Cl — = ZnS&#x2193 + 2Na + + 2Cl — .

Предлагаю вам несколько заданий для самостоятельной работы и небольшой тест.

Упражнение 4 . Составьте молекулярные и полные ионные уравнения следующих реакций:

NaOH + HNO 3 =
H 2 SO 4 + MgO =
Ca(NO 3 ) 2 + Na 3 PO 4 =
CoBr 2 + Ca(OH) 2 =

Упражнение 5 . Напишите полные ионные уравнения, описывающие взаимодействие: а) оксида азота (V) с водным раствором гидроксида бария, б) раствора гидроксида цезия с иодоводородной кислотой, в) водных растворов сульфата меди и сульфида калия, г) гидроксида кальция и водного раствора нитрата железа (III).

В следующей части статьи мы научимся составлять краткие ионные уравнения и разберем большое количество примеров. Кроме того, мы обсудим специфические особенности задания 31, которое вам предстоит решать на ЕГЭ по химии.

Как решать квадратные уравнения

О чем эта статья:

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

если D 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

x 2 — 2x + 6 = 0
x 2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.

2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:

Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
ax 2 + c = 0, при b = 0;
ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

не имеет корней при — c/а 0.

В двух словах

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

Разделим обе части на 8:

В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.

Решить линейное уравнение:

0,5x = 0,125,
х = 0,125/0,5

Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчлена

Если x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x₁) (x − x₂).

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
Найдем корень

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n 2 — ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

вычислить D₁= n 2 — ac;
если D₁ 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

Как составлять уравнения ионных реакций

Знания, необходимые для составления уравнений ионных реакций:

умение отличать электролит от неэлектролита;
умение составлять уравнения диссоциации электролитов;
умение устанавливать значение зарядов ионов.

Таблица растворимости:

Таблица электрохимического ряда напряжений металлов:

В ионных уравнениях химические формулы веществ записывают в двух видах — в виде ионов, либо в виде молекул. Возникает естественный вопрос, — когда то или иное вещество надо записывать в виде иона или молекулы?

В виде ионов записывают формулы следующих веществ:

сильные кислоты: H₂SO₄, HNO₃, HI. ;
сильные основания: KOH, NaOH, Ba(OH)₂. ;
растворимые в воде соли: KNO₃, BaCl₂, NaBr.

В виде молекул записывают формулы следующих веществ:

В случае, если среди продуктов реакции имеются нерастворимые или малорастворимые вещества (осадок), возле таких веществ ставят стрелку вниз (↓). Газообразные и летучие соединения соответственно обозначаются стрелкой, направленной вверх (↑).

Алгоритм составления уравнения ионных реакций

Записать уравнение в молекулярной форме:
В тех случаях, когда реакция идет не до конца, у продуктов реакции, выпадающих в осадок или выделяющихся в виде газа, ставят стрелку:
Записывают уравнение в ионном виде для тех веществ, которые диссоциируют на ионы, с указанием их зарядов:
Определяют наличие одинаковых ионов в левой и правой части уравнения — это ионы, не принимающие участия в реакции, поэтому, их можно убрать, такая форма записи ионного уравнения называется сокращенной:

ионы водорода и металлов имеют положительный заряд;
ионы гидроксония и кислотных остатков — отрицательный заряд;
как правило, заряд иона численно равен валентности атома.

Составление молекулярных уравнений по ионным

Теперь рассмотрим обратную задачу — как составить молекулярное уравнение, если известно сокращенное ионное уравнение.

Дано сокращенное ионное уравнение взаимодействия между фосфором и хлором:
По таблице Растворимостей (см. выше) подбираем соответствующие вещества, содержащие нужный катион и анион — хлорид натрия (NaCl) и нитрат свинца (II) (Pb(NO₃)₂);
Пишем формулы выбранных веществ, которые должны прореагировать:
Пишем формулы получившихся в результате реакции веществ:
Осталось расставить стехиометрические коэффициенты, чтобы уравнять кол-во вещества в левой и правой части уравнения:

Реакции обмена в водных растворах электролитов могут протекать до конца (необратимые реакции)) или же одновременно протекать в противоположных направлениях (обратимые реакции).

Условия протекания необратимых реакций:

образование осадка;
выделение газа;
образование малодиссоциирующего вещества (например, воды).

В случае, если в растворе нет ионов, способных связаться между собой, реакция является обратимой, т.е., не протекает до конца.

Пример необратимой реакции с выпадением осадка был приведен выше — взаимодействие хлорида натрия и нитрата свинца (II).

Пример необратимой реакции с выделением газа — взаимодействие карбоната натрия и соляной кислоты:

Пример необратимой реакции с образованием воды — взаимодействие гидроксида калия и азотной кислоты:

Пример обратимой реакции взаимодействия слабого электролита (CH₃COOH) и нерастворимого основания (Cu(OH)₂):

Если в реакцию вступают сильные электролиты, не дающие в результате взаимодействия малорастворимых или малодиссоциирующих веществ, то такие реакции не протекают — в растворе образуется смесь ионов, которые никак не взаимодействуют друг с другом:

Левая и правая части уравнения содержат абсолютные одинаковые ионы, которые можно сократить, поэтому никакой реакции не происходит.

Если вам понравился сайт, будем благодарны за его популяризацию 🙂 Расскажите о нас друзьям на форуме, в блоге, сообществе. Это наша кнопочка:

Код кнопки:
Политика конфиденциальности Об авторе

источники:

http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-reshat-kvadratnye-uravneniya

http://prosto-o-slognom.ru/chimia/04_uravnenie_ionnoj_reaktsii.html

Как решать полные и сокращенные уравнения