Как решать самые сложные уравнения

Решение сложных уравнений. 3 класс.

Овладение детьми способом решения уравнений в начальной школе создает прочную основу для дальнейшего обучения алгебры, химии, физики и других предметов.

Начиная с 3-го класса, ученикам встречаются сложные уравнения, но справиться с ними очень просто.

Дети уже умеют решать простые уравнения, читай об этом здесь.

А эта статья будет посвящена решению сложных уравнений в 2-3 действия.

Очень часто родители, желая помочь, объясняют так: вот смотри, сейчас вот это число перенести в другую часть от знака равенства, надо поменять знак на противоположный: было умножение, меняем на деление; было сложение меняем на вычитание.

В начальной школе это объяснение не срабатывает, т.к. ребенок не знаком с законами алгебры.

Как сложное уравнение привести к тому, которые мы уже умеем решать, а именно к уравнению в 1 действие?

Рассмотрим уравнение в 2 действия:

х + 56 = 98 — 2 — оно достаточно легкое.

Здесь особого труда не будет в решении, потому что ребенок сразу догадается, что сначала надо 98-2.

х + 56 = 98 — 2

х + 56 = 96 – это простое уравнение. А его решаем очень быстро!

Сейчас мы рассмотрим уравнение:

Такое уравнение можно решить несколькими способами.

1. У нас здесь неизвестное число х. Мы не знаем, что спрятано за этим числом.

А когда к х + 5 – это число тоже известно.

Закроем его и пусть это будет другое число, например b .

Мы видим, что у нас получилось самое простое уравнение в 1 действие.

2 • b = 30

А чтобы найти а, нам нужно 30 : на 2.

А b не что иное, как х + 5.

х + 5 = 30 : 2

х + 5 = 15

х = 15 – 5

х = 10

Проверку делаем как обычно: переписываем первое уравнение: 2 • (10 + 5) = 30.

30 – переписываем, а левую часть считаем — будет 30.

30 = 30, значит, уравнение решили правильно.

При решении таких сложных уравнений самое главное – понять, что заменить на другое неизвестное число. Когда в уравнении всего 2 действия – это очень просто.

1. Более удобно и понятно, как показывает практика, если использовать решение сложных уравнений на основе зависимости между компонентами действий.

Наше уравнение 2 • (х + 5) = 30 читаем так: число 2 умножить на сумму х и пяти, получится 30. В данном случае – нам неизвестна сумма, чтобы ее найти, надо 30:2.

48 : (16 – а) = 4.

Если опять заменять часть уравнения другим неизвестным числом, можно запутаться. Поэтому легче использовать взаимосвязи компонентов и результата действия: число 48 разделить на разность.

Нам неизвестна разность, поэтому сначала нужно узнать чему она равна. Надо 48 : 4.

16 — а = 48 : 4

16 — а = 12 – это простое уравнение.

а = 16 — 12

а = 4

Проверка: 48 : (16 — 4) = 4

Давайте посмотрим еще одно:

Из 96 надо вычесть разность с и 16. Чтобы найти разность, надо 96-94.

Проверка: 96 — (16 — 14) = 94

А сейчас мы переходим к тем уравнениям, у которых не 2, а 3 действия. Как же нам поступать в этом случае? При решении таких сложных уравнения используем знания порядка выполнения действий в выражениях со скобками и без них.

Рассмотрим уравнение: 36 – (8 • у + 5) = 7

Прежде всего, нужно внимательно оценить левую часть уравнения: ту, которая с неизвестным числом. Вы должны четко себе представить какое вы будете делать действие первым, какое – вторым, какое – третьим: сначала делается умножение, потом сложение и последним – вычитание.

И вот то, которое вы будете делать третьим, с него и начнем, т.е. начинаем упрощать уравнение с последнего действия. Последнее действие – вычитание. С него и начнем: из числа 36 вычесть то, что в скобках и получим 7.

Значит, то что в скобках – вычитаемое, чтобы его найти, надо 36 — 7.

По правилам математики в данной записи скобки – не ставим.

8 • у + 5 = 29 – уравнение сложное. Нужно его упростить. Данное уравнение читаем так: к произведению 8 и у прибавили 5 и получилось 29. Нам неизвестно произведение, чтобы его найти, надо 29-5.

8 • у = 24 – это уравнение простое.

Проверка: 36 — (8 • у + 5) = 7 . Правую часть – 7 — переписываем, а левую считаем.

Итак: 7 = 7. Значит, уравнение решили правильно.

(36 + d) : 4 + 8 = 18. Определяем порядок действий: первое – сложение в скобках, второе – деление, третье сложение вне скобок. Значит, все, что до 8 – это первое слагаемое, чтобы его найти, надо 18 — 8

(36 + d) : 4 = 18 — 8

(36 + d) : 4 = 10 – уравнение сложное, теперь последнее действие — :, значит

36 + d = 40 – уравнение простое и его мы решаем легко!

Для удобства и быстроты решения сложных уравнений можете пользоваться данной памяткой

Дело в том, что при кажущейся сложности, если внимательно изучить все приемы, которые я вам сегодня показала, эти уравнения дети будете щелкать как семечки. Обязательно напишите в комментариях, какой способ вам более удобен.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 58

Решение рациональных уравнений сложного вида в 9-м классе

Разделы: Математика

Цели:

• Обобщить и углубить знания обучающихся по данной теме;
• Научить использовать различные методы решения: метод разложения на множители – группировки, метод замены переменной – подстановки для подведения рациональных уравнений сложного вида к более простому;
• Познакомить с различными видами рациональных уравнений: симметрических, частного случая возвратных уравнений и с методом их решения;
• Побуждать ребят к взаимоконтролю, самоконтролю и самоанализу при выполнении заданий;
• Оказывать взаимовыручку, поддержку со стороны одноклассников – ассистентов.
• Добиваться получения новых знаний через самостоятельное выполнение заданий с последующей взаимопроверкой.

Оборудование: доска раздвижная, листы – задания для устного счета, компьютер, экран.

Время: 90 минут – 2 урока.

1. Проверка домашнего задания (5 минут).

На доске (на обратной стороне) заранее на перемене учащимися записаны решения. Ученики меняются тетрадями друг с другом по парте и после проверки ставят оценки “5” – нет ошибок; “4” – 1 -2 ошибки; “3” – 3-4 ошибки, а более – “ 2”.

2. Устный тест – повторение:

На парте лежат карточки с решениями и ответы к ним, выбрать правильный ответ и объяснить почему?

задания / ответы	1	2	3	4
(х-3) (х+7)=0	3; 7	3; -7	-3;7	-3;-7
х 2 – 6х + 5 = 0	5;1	2;3	-5;-1	-2; -3
х 2 – 25 = 0	0;5	1;25	-5;5	Нет решения
х 2 + 4х + 7 = 0	3,5; 2	Нет решения	2+; 2-	1; 2,5
3(1-х)+2 = 5 – 3х	Нет решения	3;1	Множество корней	0;5

Правильные ответы: 1 задание – 2; 2 зад. – 3; 3 зад. – 3; 4 зад. – 2; 5 зад. – 3.

Учитель: Под рациональным уравнением принято понимать уравнение, которое может быть записано в виде: а_nx n + a_n-1x n-1 + … a₂x 2 + a₁x + a₀ =0, где a_n, a_n-1, …a₀ – заданные числа, а х – неизвестное. Простейшие рациональные уравнения мы решаем с помощью четырех основных методов.

(Метод перехода от равенства, связывающего функции, к равенству, связывающему аргументы; метод замены переменной; метод разложения на множители – группировки; функционально – графический метод).

Мы научились решать рациональные уравнения второй степени, а третьей, четвертой?

А каким методом вы решите уравнение вида a) х 3 – 8 + х – 2 = 0?

Подсказка: желательно подвести к произведению многочленов.

Да, верно, используем метод разложения на множители – группировки. Группируем слагаемые, применим формулы сокращенного умножения и получим произведение нескольких множителей – многочленов в левой части уравнения, а в правой – нуль.

(Вызывается ученик сильный в математике, а если нет, то показывает учитель ход решения).

б) А при таком уравнении х 3 – 3х + 2 = 0 можно использовать метод группировки?

Перепишем уравнение, записав , получим , а теперь сгруппируем (х 3 – х) – (2х -2) = 0. Дальнейшее решение самостоятельно, а один ученик выходит к доске, решает на другой стороне, затем учащиеся сверяют.

Учитель: Вспомним, при решении биквадратных уравнений какой метод мы использовали? Самый распространенный из всех методов – да, метод замены переменной – метод подстановки. Искусство производить замену переменных заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху. На сегодняшнем уроке мы это и рассмотрим.

Разберем решение данного уравнения:

Освободимся от знаменателя, t 2 + 4t + 3 = 0, где t ? 0.

Дорешать самостоятельно, дальнейшее решение проецируется на экран.

По формуле решаем второе уравнение =

= = = = =

Ответ: х₁ = -5, х₂ = 1, х₃ = , х₄ = .

Учитель: Рассмотрим уравнение вида

г) (х 2 + 10х ) 2 + (х 2 + 5) 2 = 157.

Метод замены переменной легко увидеть, если воспользоваться формулой квадрата суммы для второй скобки. (х 2 + 10х ) 2 + (х 2 +10х + 25) = 157; (Далее решает ученик у доски, а остальные – самостоятельно).

Пусть тогда получим

х 2 + 10х = 11 или х 2 + 10х = -12. Решая эти уравнения, получим

Ответ: <-11; 1; -5 >. +

Учитель: Рассмотрим уравнение вида

Найдем равенство сумм пар чисел -7 + 2 = -1 – 4,

Перемножим между собой первую и третью, вторую и четвертую скобки, получим (х 2 – 5х – 14) ((х 2 – 5х + 4) – 40.

Введем замену: х 2 – 5х – 14 = t, где t – любое число, получим t(t + 18) = 40, t 2 + 18t – 40 = 0.

(Работает учитель, показывая ход решения или ученик с помощью учителя).

Решим данное уравнение по т. Виета

Решим систему уравнений

Ответ: х₁ = 2, х₂ = 3, х₃ = х₄ =

Проверка решения данного уравнения с помощью проекции решения на экране.

+1 + 4 = + 2+ 3. Данное условие равенства выполняется, поэтому раскроем скобки, группируя первый множитель с последним и второй с третьим.

Тогда данное уравнение примет вид: (х 2 + 5х + 4) (х 2 + 5х +6) = 24.

Полагая х 2 + 5х = t, получим квадратное уравнение (t +4)(t +6) = 24,

решая его t 2 + 10t =0, t(t + 10) =0, найдем корни t₁ =0, t₂= -10.

Затем решаем уравнения

Учитель: Уравнения вида а₀х n + a₁x n-1 + … + a_kx k + … + a₁x + a₀ = 0, где коэффициенты членов, равно от стоящих от концов, равны между собой, называют симметрическими уравнениями.

Симметрические уравнения обладают следующими свойствами:

1. Симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень х = -1, в чем можно убедиться непосредственной подстановкой;

2. Уравнение четной степени 2n решаются с помощью подстановки

V = x + сводится к уравнению степени n.

Данное уравнение симметрическое, так как коэффициенты равно отстоящих от концов, равны между собой. Степень уравнения нечетная равная 5, поэтому корень данного уравнения х = – 1.

Пусть Разделим левую часть уравнения на х + 1 и получим симметрическое уравнение четвертой степени:

Разделим обе части уравнения на х 2 : 2х 2 + 3х – 16 + 3• + 2• 1/х 2 = 0, и сгруппируем члены уравнения: 2(х 2 + 1/х 2 ) + 3 (1 + ) – 16 = 0.

Используем метод замены переменной при t = x + , возведем в квадрат обе части уравнения, получим t 2 = (x + ) 2 = x 2 + 2• x • + 1/x 2 , тогда x 2 + 1/x 2 = t 2 – 2, и после преобразований получим квадратное уравнение 2 t 2 + 3t – 20 = 0. Находим корни t = = = t₁ = , t₂ = -4. Таким образом , исходное уравнение четвертой степени равносильно совокупности уравнений x + и x + = -4.

Решив данные уравнения, получим еще четыре корня исходного уравнения.

Ответ: х₁ = -1, х₂ = -2+, х₃ = -2 – , х₄ = 2, х₅ = .

Учитель: Прошу вас, ребята, решить самостоятельно с последующей проверкой симметрическое уравнение четвертой степени. А почему оно симметрическое?

з) 2х 4 + 3х 3 – 16 х 2 + 3х + 2 = 0.

Разделим обе части уравнения на х 2 , получим 2х 2 + 3х – 16 + + 2/х 2 =0.

Сгруппируем (2х 2 + 2/х 2 ) + (3х+ ) – 16 = 0, 2(х 2 +12/х 2 ) + 3(х+ ) – 16 =0.

Введем метод замены переменной, обозначим х+ = t, возведем в квадрат обе части равенства, получим t 2 = (x + ) 2 = x 2 + 2• x • + 1/x 2 , тогда x 2 + 1/x 2 = t 2 – 2, и после преобразований получим квадратное уравнение вида 2(t 2 – 2) + 3t – 16 =0. Решая уравнение по общему виду 2t 2 -4 + 3t -16 = 0, 2t 2 + 3t – 20 = 0, получим корни t₁ = , t₂ = -4. Можно не решать, а сразу же записать ответы предыдущего уравнения.

Ответ: х₁ = , х₂ = -2+, х₃ = -2 – , х₄ = 2.

Учитель: Мы рассмотрели симметрические уравнения, являющиеся частным случаем возвратных уравнений. Следовательно, и ход их решения будет похожим, но более подробно мы познакомимся с возвратными уравнениями и рассмотрим более подробно ход решения на следующем занятии. А сейчас,

я вам предложу домашнее задание на два варианта для самостоятельного решения. Дополнительно даны ответы ко всем уравнениям. Не сможете справиться, рассмотрим на уроке. а кто-то хочет больше решить, с довольствием приветствую вас.

Вариант 1.	Вариант 2.
а) (х 2 – 6х) 2 -2(х – 3) 2 = 81; б) х 3 + х + 2 = 0; в) 6х 4 – 35 х 3 + 62 х 2 – 35х + 6 = 0; г) (х –1)(х+2)(х-3)(х+4) = 144; д) (х 2 + х + 1)(х 2 + х + 2) = 12;	а) (х 2 – 8х) 2 + 3(х – 4) 2 = 76; б) х 3 + 3х 2 + 2х = 0. в) 5х 4 – 12х 3 + 14х 2 – 12х + 5 = 0. г) (х-1)(х-2)(х-3)(х-4) = 15. д) (3х +2) 4 – 13(3х + 2) 2 + 36 = 0.

Выберите ответы, выполняя домашнее задание.

А

В. 1.

С < -2; -1; 0>.

Д < -2; 1>.

Б<0; 1>.

Учитель: Подведем итог нашей темы. Уравнения третьей и четвертой степени решались в общем случае методом замены переменной, в который заключается в том, что для решения уравнения вида f(x) =0 вводят переменную t = g(x) и выражают f(x)через t, получая новое уравнение w(t) = 0. Решая затем уравнение w(t)= 0, находят его корни1, t₂, … t_n>. После чего получают совокупность n – уравнений g(x) = t₁, g(x) = t₂, … g(x) = t_n, из которых находят корни исходного уравнения.

Как решать уравнения: от простого к сложному 2-4 класс

Уравнение — равенство, содержащее букву латинского алфавита, значение которой нужно найти.

Решить уравнение — значит подобрать такое число, при котором равенство становится верным.

Любые уравнения решаются на основе зависимости между компонентами. Простые уравнения учащиеся начальной школы начинают решать уже 2 классе. По мере взросления, усложняются и уравнения, переходя от простых к сложным уравнениям в 4 классе начальной школы.

Простые уравнения во 2 классе решают на основе взаимосвязей между компонентами при сложении или вы­читании. Важно соблюдать алгоритм решения уравнения.

Решение уравнения

Объяснение

чтобы найти первое сла­гаемое, нужно из сум­мы вычесть второе сла­гаемое.

Вычисляю: 35 — 7 = 28

Проверяю: 28 + 7 = 35

чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Вычисляю: 20 + 13 = 33

Проверяю: 33 — 13 = 20

чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть раз­ность

Вычисляю: 46 — 42 = 4

Проверяю: 46 — 4 = 42

Простые уравнения вида х • 6 = 72, х : 8 = 12, 64 : х = 16 решают на основе взаимосвязей между результатами и компонентами действий.

Решение уравнения

Объяснение

1) Читаю уравнение: произ­ведение х и 6 равно 72.

2) Вспоминаю правило: что­бы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

3) Вычисляю: х = 72 : 6

4) Проверяю: 12 • 6 = 72

1) Читаю уравнение: частное х и 8 равно 12.

2) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

3) Вычисляю: х = 12 • 8

4) Проверяю: 96 : 8 = 12

1) Читаю уравнение: частное 64 и х равно 16.

2) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разде­лить на частное.

3) Вычисляю: х = 64 : 16

4) Проверяю: 64 : 4 = 16

Сложные уравнения в начальной школе состоят из нескольких арифметических действий. Алгоритм решения заключается в превращение сложного уравнения в простое.

Уравнения на нахождение неизвестного слагаемого

1)Вычисляю значение выражения в правой части уравнения: 12 • 4 = 48.

2) В уравнении х + 13 = 48 неизвестно первое слагаемое.

3) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвест­ное слагаемое, нужно из суммы вычесть из­вестное слагаемое.

4) Вычисляю: х = 48 — 13

5) Проверяю: 35 + 13 = 12 • 4

Уравнения на нахождение неизвестного уменьшаемого

1) Вычисляю значение выражения в правой части уравнения: 51 : 17 = 3.

2) В уравнении х — 24 = 3 неизвестно умень­шаемое.

3) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвест­ное уменьшаемое, нужно к разности приба­вить вычитаемое.

4) Вычисляю: х = 24 + 3

5) Проверяю: 27 — 24 = 51 : 17

Уравнения на нахождение неизвестного вычитаемого

640 — х = 180 + 120

640 — 340 = 180 + 120

1) Вычисляю значение выражения в правой части уравнения: 180 + 120 = 300.

2) В уравнении 640 – х = 300 неизвестно вычи­таемое.

3) Вспоминаю правило: чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть раз­ность.

4) Вычисляю: х = 649 – 300

5) Проверяю: 640 — 340 = 180+120

Уравнения на нахождение неизвестного множителя

5 • 77 = 131 + 254

1) Вычисляю значение выражения в правой части уравнения: 131 + 254 = 385.

2) В уравнении 5 • х = 385 неизвестен второй множитель.

3) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвест­ный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

4) Вычисляю: х = 385 : 5

5) Проверяю: 5 • 77 = 131 + 254

Уравнения на нахождение неизвестного делимого

64 000 : 8 = 800 • 10

1) Вычисляю значение выражения в правой части.

2) Вспоминаю правило: чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель.

Уравнения на нахождение неизвестного делителя

1) Вычисляю значение выражения вправой части.

2) Вспоминаю правило: чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимоеразделить на частное.

Как решать сложные уравнения в 4 классе подробно рассмотрено в статье по ссылке.