Как решать систему нелинейных уравнений 8 класс

Системы с нелинейными уравнениями

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Примеры решения систем уравнений других видов

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Определение 1 . Пусть A – некоторое множество пар чисел (x ; y) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.

Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:

причем в записи (1) числа x и y называют аргументами функции , а число z – значением функции , соответствующим паре аргументов (x ; y) .

Определение 2 . Нелинейным уравнением с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

где f (x , y) – любая функция, отличная от функции

где a , b , c – заданные числа.

Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y) , для которых формула (2) является верным равенством.

Пример 1 . Решить уравнение

Решение . Преобразуем левую часть уравнения (3):

Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений

решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .

Пример 2 . Решить уравнение

вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.

Ответ : Решений нет.

Пример 3 . Решить уравнение

Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

где y – любое число.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Определение 4 . Решением системы уравнений

называют пару чисел (x ; y) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 4 . Решить систему уравнений

(7)

Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел

и

Ответ : (– 1 ; 9) , (9 ; – 1)

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Определение 5 . Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

где a , b , c – заданные числа.

Пример 5 . Решить уравнение

Решение . Для каждого значения y рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного x . Тогда дискриминант D квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле

откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):

Ответ . Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида

( y ; y) или

где y – любое число.

Следствие . Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 6 . Решить систему уравнений

(9)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = – y , из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

корнями которого служат числа y₁ = 2 , y₂ = – 2 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 2) , (2 ; – 2) .

,

из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

которое корней не имеет.

Ответ : (– 2 ; 2) , (2 ; – 2)

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Пример 7 . Решить систему уравнений

(10)

Решение . Совершим над системой (10) следующие преобразования:

• второе уравнение системы оставим без изменений;
• к первому уравнению, умноженному на 5 , прибавим второе уравнение, умноженное на 3 , и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).

В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:

(11)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = – 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

которое корней не имеет.

,

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

,

корнями которого служат числа y₁ = 3 , y₂ = – 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 3) , (2 ; – 3) .

Ответ : (– 2 ; 3) , (2 ; – 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)

Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:

(13)

Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что

(14)

Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему

из которой находим

(15)

Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

(16)

У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное u через неизвестное v и подставить это выражение во второе уравнение системы:

Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел

Из формул (13) вытекает, что , поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае u₂ = 5, v₂ = 2 из формул (15) находим значения x и y :

Определение 6 . Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел (x ; y ; z) , при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

Пример 9 . Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными

(17)

Решение . У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное z через неизвестные x и y и подставить это выражение во второе уравнение системы:

(18)

Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае x = 4, y = 4 .

Ответ : (4 ; 4 ; – 4)

Замечание . Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

Материалы к уроку математики «Системы, содержащие нелинейные уравнения» (8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Конспект урока в 8 классе по теме.docx

Конспект урока в 8 классе по теме «Системы, содержащие нелинейные уравнения»

Обсудить возможные способы решения систем с нелинейными уравнениями и научиться решать системы, содержащие нелинейные уравнения.

I . Организационный момент. (3 мин.)

II . Актуализация знаний. (6 мин.)

Обучающимся предлагается решить систему уравнений

Что является решением такой системы уравнений? Сколько решений может иметь такая система уравнений? И как же найти эти решения, или доказать что их нет? Обсуждаются способы решения систем уравнений (способ сложения, графический способ, способ подстановки).

Открываем тетради, записываем сегодняшнее число, посередине слова «Классная работа» и №1.

Каждый вариант решает систему своим способом.

По одному человеку с каждого варианта решают систему у доски.

Остальные решают самостоятельно в тетради, потом сравнивают с доской. Если возникают вопросы – обсуждаем.

III . Изучение нового материала.

Скажите, пожалуйста, а вот у таких уравнений есть решения?

а можем мы их записать в систему уравнений?

Что тогда будет являться ее решением?

Давайте объединимся в группы и в группах попробуем эту систему уравнений решить. Те кто решали первую систему уравнений способом подстановки, собираемся за этим столом. Вы будете алгебраисты. Кто решал графическим способом — геометры, обирайтесь здесь. И третья группа – арифметики, сюда присаживайтесь, пожалуйста.

Ваша задача – решить эту систему уравнений своим способом, соответственно алгебраисты способом подстановки, геометры . (жду ответ), ну и арифметики. (жду ответ). В вашем распоряжении черновики, хоть в клеточку, хоть белые листы. Окончательное решение записываете крупно, разборчиво, красиво на ватман, не забывайте, что кто-то один из группы потом будет защищать ваше решение. (10 мин) (учитель контролирует работу в группах)

(Для группы арифметиков подготовлены карточки с другими системами, среди них какие-то можно решить способом сложения)

Вывешиваются работы, защита (7 мин.)

Графический способ помогает ответить на вопрос о кол-ве решений.

— уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом

Способ сложения подходит не всегда, только когда есть слагаемые в одинаковой степени.

Самый подходящий способ – способ подстановки.

IV . Первичное закрепление (7 мин.)

Прежде чем начать решать другую систему уравнений, давайте сформулируем тему урока.

Выберете, пожалуйста, подходящий способ и решите систему уравнений, в которой одно уравнение нелинейное. Один человек за доской.

Ответ: (5 ;12 ) , (12;5)

Обсуждение полученных результатов

Каждому обучающемуся выдаются карточки с пропущенными словами.

Ваша задача вставить пропущенные слова, на это у вас 2 минуты, затем будем проверять что у вас получилось.

Обучающиеся зачитывают по одному предложению со вставленными словами, все появляется на экране.

VI . Запись домашнего задания и комментарии по нему (2 мин.)

Выбранный для просмотра документ Раздаточный материал для рефлексии.docx

Фамилия имя _____________________________________________________________________

Сегодня на уроке мы решали системы, содержащие ______________ уравнения. Так же как и системы линейных уравнений, их можно решать разными способами. Например, число решений системы (1) удобно показать с помощью ____________________ способа. Графиком первого уравнения будет прямая, а второго — __________________ с центром в начале координат и радиусом ____. Системы такого вида могут иметь ____ или _____ решения или _______________ решений. Решать систему (1) надо способом ___________________, т.к. __________________ способ дает приближенный результат, а способом _______________ решить систему (1) нельзя.

Фамилия имя _____________________________________________________________________

Сегодня на уроке мы решали системы, содержащие ______________ уравнения. Так же как и системы линейных уравнений, их можно решать разными способами. Например, число решений системы (1) удобно показать с помощью ____________________ способа. Графиком первого уравнения будет прямая, а второго — __________________ с центром в начале координат и радиусом ____. Системы такого вида могут иметь ____ или _____ решения или _______________ решений. Решать систему (1) надо способом ___________________, т.к. __________________ способ дает приближенный результат, а способом _______________ решить систему (1) нельзя.

Фамилия имя _____________________________________________________________________

Сегодня на уроке мы решали системы, содержащие ______________ уравнения. Так же как и системы линейных уравнений, их можно решать разными способами. Например, число решений системы (1) удобно показать с помощью ____________________ способа. Графиком первого уравнения будет прямая, а второго — __________________ с центром в начале координат и радиусом ____. Системы такого вида могут иметь ____ или _____ решения или _______________ решений. Решать систему (1) надо способом ___________________, т.к. __________________ способ дает приближенный результат, а способом _______________ решить систему (1) нельзя.

Фамилия имя _____________________________________________________________________

Сегодня на уроке мы решали системы, содержащие ______________ уравнения. Так же как и системы линейных уравнений, их можно решать разными способами. Например, число решений системы (1) удобно показать с помощью ____________________ способа. Графиком первого уравнения будет прямая, а второго — __________________ с центром в начале координат и радиусом ____. Системы такого вида могут иметь ____ или _____ решения или _______________ решений. Решать систему (1) надо способом ___________________, т.к. __________________ способ дает приближенный результат, а способом _______________ решить систему (1) нельзя.

Графический метод решения систем нелинейных уравнений, 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цель урока:

• совершенствование навыки построения графиков функций;
• применение умений, полученных на уроках информатики (графики в Ехсе1);
• развитие современной функциональной грамотности.

Задачи урока:

• Обучающие: знакомство с графическим способом решения систем нелинейных уравнений; развитие умения применять теоретические знания в процессе
  решения систем уравнений;
• Развивающие: развитие познавательного интереса к предмету; развитие навыка самостоятельного поиска необходимой
  информации; развитие навыка самоконтроля.
• Воспитательные: развитие культуры общения; желания помочь товарищу в затруднительных ситуациях.
• Здоровье-сберегающие: соблюдение гигиены умственного труда при работе с компьютером.

Виды используемых на уроке средств ИКТ: СD, универсальные, ресурсы Интернет.

Необходимое аппаратное и программное обеспечение: Мультимедийный компьютер, программные средства, наушники/

Оборудование: Чертежные инструменты.

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие и размещение на рабочих местах.

Учитель. Мы продолжаем изучение большой темы “Решение систем нелинейных уравнений”. Какие способы решения нами были рассмотрены? (Метод постановки, метод сложения, метод введения новых неизвестных, метод решения однородных уравнений.)

Какой еще способ нам известен из курса алгебры седьмого класса? (Графический.)

Почему он так называется? (В одной и той же системе координат строим графики обоих уравнений и находим координаты точек их пересечения.)

! Цель сегодняшнего урока: научиться решать нелинейные системы уравнений графическим методом, Используя чертежные инструменты и программу построения графиков на компьютере.

Систему координат, в которой мы будем строить графики, называют декартовой,. Почему? Ответ на этот вопрос вы узнаете, посмотрев диск.

Учащиеся переходят к компьютерам, надевают наушники и читают и слушают информацию из диска “Алгебра Кирилла и Мефодия 7–8”, тема “Графики функций” о Рене Декарте и созданной им системе координат.

П. Актуализация опорных знаний

Фронтальная беседа. Презентация “Графики функций”.

1. Какие функции нам известны? Как называются их графики?

а) у = кх + Ь – линейная функция. Графиком является прямая, которую строим по двум точкам.

Если к > 0, то угол наклона прямой к положительному направлению от Ох острый.

Если к 2 квадратная функция. Графиком является парабола. Для построения графика используем таблицу значений.

в) обратная пропорциональность: y = k/x, графиком является гипербола В(f)=x0

г) y = D(f)=[0;+)

д) уравнение окружности

х 2 + у 2 = R 2
(х – а) 2 + (у – b) 2 = R 2
0(а; b)

III. Объяснение нового материала

В чем состоит графический метод решения систем уравнений? (В одной и той же системе координат строим графики уравнений.)

Координаты точки пересечения и будут являться решением данной системы.

IV. Закрепление темы

1) Решить систему уравнений:

в) б) а)

V. Работа на компьютере

№ 130 из учебника Виленкин:

а) б) в)

г) д) е)

а) б) № 162 (г,д)

Д/з на стр. 205 № 162 (а,б)

VI. Итог урока

Применение современной техники позволяет сделать процесс решения систем уравнений графическим методом значительно быстрее, но необходимо уметь строить графики функций.

Учебник: Н.Я. Виленкин Н.Я. Алгебра. 8. – М.: Просвещение, 2001.