Решение системы линейных уравнений методом сложения
Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения
- Умножить обе части одного или обоих уравнений так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными (или равными) числами.
- Сложить (или отнять) уравнения, чтобы избавиться от одной из переменных.
- Решить второе уравнение относительно выраженной переменной.
- Решить полученное уравнение с одной переменной.
- Найти вторую переменную.
- Записать ответ в виде упорядоченной пары найденных значений переменных.
Умножаем первое уравнение на 2
Отнимаем от первого уравнения второе:
Находим y из первого уравнения:
В последовательной записи:
$$ <\left\< \begin
Примеры
Пример 1. Решите систему уравнений методом сложения:
$ а) <\left\< \begin
$ б) <\left\< \begin
$ в) <\left\< \begin
$ г) <\left\< \begin
Пример 2. Найдите решение системы уравнений:
$$а) <\left\< \begin
$$\Rightarrow <\left\< \begin
$ в) <\left\< \begin
$ г) <\left\< \begin
$$ \Rightarrow <\left\< \begin
Пример 3*. Найдите решение системы уравнений:
Введём новые переменные: $ <\left\< \begin
Перепишем систему и найдём решение для новых переменных:
$$ <\left\< \begin
Системы уравнений
Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:
x — 4y = 2 | |
3x — 2y = 16 |
Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.
Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.
Способ подстановки
Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.
Рассмотрим решение системы уравнений:
x — 4y = 2 | |
3x — 2y = 16 |
Сначала найдём, чему равен x в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное x, в правую часть:
Так как x, на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:
3x | — 2y = 16; |
3( 2 + 4y ) | — 2y = 16. |
Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен y. Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.
3(2 + 4y) — 2y = 16; |
6 + 12y — 2y = 16; |
6 + 10y = 16; |
10y = 16 — 6; |
10y = 10; |
y = 10 : 10; |
y = 1. |
Мы определили что y = 1. Теперь, для нахождения численного значения x, подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен x:
x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.
Способ сравнения
Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.
Например, для решение системы:
x — 4y = 2 | |
3x — 2y = 16 |
найдём в обоих уравнениях, чему равен y (можно сделать и наоборот — найти, чему равен x):
x — 4y = 2 | 3x — 2y = 16 |
-4y = 2 — x | -2y = 16 — 3x |
y = (2 — x) : — 4 | y = (16 — 3x) : -2 |
Составляем из полученных выражений уравнение:
2 — x | = | 16 — 3x |
-4 | -2 |
Решаем уравнение, чтобы узнать значение x:
| ||||||
2 — x = 32 — 6x | ||||||
—x + 6x = 32 — 2 | ||||||
5x = 30 | ||||||
x = 30 : 5 | ||||||
x = 6 |
Теперь подставляем значение x в первое или второе уравнение системы и находим значение y:
x — 4y = 2 | 3x — 2y = 16 |
6 — 4y = 2 | 3 · 6 — 2y = 16 |
-4y = 2 — 6 | -2y = 16 — 18 |
-4y = -4 | -2y = -2 |
y = 1 | y = 1 |
Способ сложения или вычитания
Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.
x — 4y = 2 | |
3x — 2y = 16 |
Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:
x — 4y = 2 | |
-6x + 4y = -32 |
Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
+ | x — 4y = 2 |
-6x + 4y = -32 | |
-5x = -30 |
Находим значение x (x = 6). Теперь, подставив значение x в любое уравнение системы, найдём y = 1.
Если уравнять коэффициенты у x, то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.
Уравняем коэффициенты при неизвестном x, умножив все члены первого уравнения на 3:
(x — 4y) · 3 = 2 · 3
3x — 12y = 6 | |
3x — 2y = 16 |
Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
— | 3x — 12y = 6 |
3x — 2y = 16 | |
-10y = -10 |
Находим значение y (y = 1). Теперь, подставив значение y в любое уравнение системы, найдём x = 6:
3x — 2y = 16 |
3x — 2 · 1 = 16 |
3x — 2 = 16 |
3x = 16 + 2 |
3x = 18 |
x = 18 : 3 |
x = 6 |
Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:
Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.
Примеры решения систем линейных уравнений способом сложения
Рассмотрим конкретные примеры решения систем линейных уравнений способом сложения.
Ищем наибольший общий делитель коэффициентов при каждой из переменных (коэффициенты берем со знаком «+»).
Наименьшее общее кратное коэффициентов при x — НОК(5;2)=10, при y — НОК(3;3)=3.
Проще работать с y, поскольку для получения перед y противоположных чисел достаточно умножить любое из уравнений на -1. Проще умножить на -1 второе уравнение системы (в этом случае после сложения уравнений коэффициент при x — положительное число).
Теперь подставим x=3 в любое из уравнений системы, например, во второе:
Решаем это уравнение:
Ответ записываем в круглых скобках через точку с запятой в алфавитном порядке.
НОК(6; 4)=12, НОК(13; 5)=65. Проще работать с коэффициентами перед x.
Чтобы получить перед иксами противоположные числа, первую систему умножим на -2, вторую — на 3
и сложим почленно левые и правые части уравнений:
Подставляем y= -1 в первое уравнение системы и находим x:
НОК(3; 5)=15, НОК(5; 7)=35. Проще получить противоположные числа перед x.
Для этого умножим первое уравнение системы на 5, второе — на -3:
и сложим почленное левые и правые части полученных уравнений:
Подставляем y=2 в первое уравнение системы и находим x:
Прежде чем применить способ сложения, данную систему следует упростить. Умножим первое уравнение на наименьший общий знаменатель дробей, во втором раскроем скобки:
Получили систему линейных уравнений с двумя переменными. Для решения её способом сложения достаточно умножить второе уравнение на -1 и сложить почленно левые и правые части уравнений:
Подставляем найденное значение b в первое уравнение системы (линейных уравнений):
Систему линейных уравнений с тремя переменными можно решить, сначала исключив одно из неизвестных, а затем — другое.
В данной системе проще всего исключить переменную z.
К первому уравнению прибавим третье, умноженное на -3:
Ко второму уравнению прибавим третье, умноженное на 2:
Получили систему линейных уравнений с двумя переменными:
НОК(8;10)=40, НОК(13; 7)=91. Проще работать с x:
Подставив полученные значение y во второе уравнение системы с двумя переменными, найдём x:
Подставив значения y и x в третье уравнение системы с тремя переменными, найдём z:
http://izamorfix.ru/matematika/algebra/sistema_uravn.html
http://www.algebraclass.ru/primery-resheniya-sposobom-slozheniya/