Как решать систему уравнений второй степени 9 класс

Как решать систему уравнений второй степени 9 класс

Система уравнений второй степени. Способы решения

Система уравнений второй степени – это система уравнений, в которой есть хотя бы одно уравнение второй степени.

Систему из двух уравнений, в которой одно уравнение второй степени, а второе уравнение первой степени, решают следующим образом:

1) в уравнении первой степени одну переменную выражают через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, благодаря чему получается уравнение с одной переменной;

3) решают получившееся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

Пример : Решим систему уравнений

1) Второе уравнение является уравнением первой степени. В ней выражаем переменную x через y:

2) в первом уравнении вместо x подставляем полученное выражение 1 – 2y:

Раскрываем скобки и упрощаем:

Приравниваем уравнение к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:

3) Решив квадратное уравнение, найдем его корни:

4) Осталось найти значения x. Для этого в одно из двух уравнений системы просто подставляем значение y. Второе уравнение проще, поэтому выберем его.
Итак, подставляем значения y в уравнение x + 2y = 1 и получаем:
1) х + 2(-0,125) = 1
х – 0,25 = 1
х = 1 + 0,25
х₁ = 1,25.

Способы решения системы уравнений с двумя уравнениями второй степени.

1. Замена системы уравнений равносильной совокупностью двух систем.

Пример : Решим систему уравнений

Здесь нет уравнений первой степени, поэтому решать их вроде бы сложнее. Но в первом уравнении многочлен можно разложить на линейные множители и применить метод группировки:

(Пояснение-напоминание: x – 3y встречается в выражении дважды и является общим множителем в многочлене (x – 3y)(x + 3y) – 1(x – 3y). По правилу группировки, мы умножили его на сумму вторых множителей и получили равносильное уравнение).

В результате наша система уравнений обретает иной вид:

Первое уравнение равно нулю только в том случае, если x – 3y = 0 или x + 3y – 1 = 0.

Значит, нашу систему уравнений мы можем записать в виде двух систем следующего вида:

Мы получили две системы, где первые уравнения являются уравнениями первой степени. Мы уже можем легко решить их. Понятно, что решив их и объединив затем множество решений этих двух систем, мы получим множество решений исходной системы. Говоря иначе, данная система равносильна совокупности двух систем уравнений.

Итак, решаем эти две системы уравнений. Очевидно, что здесь мы применим метод подстановки, подробно изложенный в предыдущем разделе.

Обратимся сначала к первой системе.
В уравнении первой степени выразим х через у:

Подставим это значение во второе уравнение и преобразим его в квадратное уравнение:

Как решается квадратное – см.раздел «Квадратное уравнение». Здесь мы сразу напишем ответ:

Теперь подставим полученные значения у в первое уравнение первой системы и решим его:

Итак, у нас есть первые ответы:

Переходим ко второй системе. Не будем производить вычисления – их порядок точно такой же, что и в случае с уравнениями первой системы. Поэтому сразу напишем результаты вычислений:

Таким образом, исходная система уравнений решена.

1 1
(–3 — ; –1 — ), (3; 1), (2,5; –0,5), (–2; 1).
2 6

2. Решение способом сложения.

Пример 2 : Решим систему уравнений

Второе уравнение умножим на 3:

Зачем мы умножили уравнение на 3? Благодаря этому мы получили равносильное уравнение с числом -3y, которое встречается и в первом уравнении, но с противоположным знаком. Это поможет нам буквально при следующем шаге получить упрощенное уравнение (они будут взаимно сокращены).

Сложим почленно левые и правые части первого уравнения системы и нашего нового уравнения:

Сводим подобные члены и получаем уравнение следующего вида:

Упростим уравнение еще, для этого сокращаем обе части уравнения на 5 и получаем:

Приравняем уравнение к нулю:

Это уравнение можно представить в виде x(x – 2y) = 0.

Здесь мы получаем ситуацию, с которой уже сталкивались в предыдущем примере: уравнение верно только в том случае, если x = 0 или x – 2y = 0.

Значит, исходную систему опять-таки можно заменить равносильной ей совокупностью двух систем:

Обратите внимание: во второй системе уравнение x – 2y = 0 мы преобразовали в x = 2y.

Итак, в первой системе мы уже знаем значение x. Это ноль. То есть x₁ = 0. Легко вычислить и значение y: это тоже ноль. Таким образом, первая система имеет единственное решение: (0; 0).

Решив вторую систему, мы увидим, что она имеет два решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Таким образом, исходная система имеет следующие решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

3. Решение методом подстановки.

Этот метод был применен в начале раздела. Здесь мы выделяем его в качестве одного из способов решения. Приведем еще один пример.

Пример . Решить систему уравнений

│х + у = 9
│у 2 + х = 29

Первое уравнение проще, поэтому выразим в нем х через у:

Теперь произведем подстановку. Подставим это значение х во второе уравнение, получим квадратное уравнение и решим его:

у 2 + 9 – у = 29
у 2 – у – 20 = 0

D = b 2 – 4ас = 1 – 4 · 1 · (–20) = 81

Осталось найти значения х. Первое уравнение проще, поэтому им и воспользуемся:

1) х + 5 = 9
х = 9 – 5
х₁ = 4

2) х – 4 = 9
х = 9 + 4
х₂ = 13

Изящные способы решения систем уравнений с двумя переменными второй степени

Разделы: Математика

Цели урока:

рассмотреть интересные способы решения систем уравнений с двумя переменными второй степени;
• продолжить работу по формированию у учащихся умений решать системы уравнений с двумя переменными различными способами;
• развивать логическое мышление, способность к абстрагированию, анализу.

Ход урока

Решение систем, содержащих два уравнения с двумя переменными второй степени весьма трудная задача, но в некоторых случаях системы могут быть решены с помощью простых и изящных приемов. Открыть некоторые из них – это цель сегодняшнего урока.

I. Проверка домашнего задания.

Решить систему уравнений способом подстановки и графически.

Первый ученик показывает решение системы уравнений:

(1)

— способом подстановки.

1) ху=-3;
2)

умножим обе части уравнения на ,получим:пусть и 0,тогда по теореме, обратной теореме Виета, получим:

Если z =9,то ,

z =1, то

-3,-1,1,3 отличны от нуля, значит, они являются корнями уравнения

3) Если то	то
то	то

Ответ:(3;-1), (-3;1), (-1;3), (1;-3)-решения системы (1).

Второй ученик показывает решение системы уравнений:

— графическим способом.

В одной системе координат построим графики уравнений: и ху= -3.

-графиком этого уравнения является окружность с центром в точке (0;0) и радиусом .

В треугольнике АВС,АВС =90°, АВ=1, ВС=3, АС=.

Длину отрезка АС= возьмем за радиус окружности .

ху=3; у=; — графиком этого уравнения является гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных углах.

Графики изображены на рисунке 1.

Графики и пересекаются в четырех точках (они обозначены буквами А, В, С, Д), следовательно, данная система уравнений имеет четыре решения:

Интересно заметить, что решения данной системы симметричны. Точки С и В и А и Д симметричны относительно начала координат. Точки С и А и Д и В симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (прямой у=х), поэтому их координаты “меняются местами”.

II. “Открытие” новых способов решения этой же системы.

Для решения этой системы есть более изящные и красивые способы. Открыть их, понять и научиться применять — это цель нашего урока. Поставив цель мы в конце урока должны подвести итог нашей работе, для этого мы будем использовать идею Эдварда де Боно, которую он назвал “Шесть шляп — шесть способов мышления”- они нам и помогут с разных позиций проанализировать урок, работая в группах.

Работа в группах.

Решить систему новым способом (на работу 5-7мин.).

Свое решение на доске показывает одна из групп:

(1)

Система (1) “распадается” на две более простые системы:

(2)

(3)

Каждое решение системы (1) является решением хотя бы одной из систем (2) или (3).И каждое решение системы (2) и (3) является решением системы (1).

Системы (2) и (3) является симметричными, решим каждую из них:

(1)

(2)

Пусть и корни уравнения	Пусть и корни уравнения
и его корни, решения системы (1).	и его корни, решения системы (2)

Для того чтобы понять содержательную сторону приведенного решения, обратимся к графической иллюстрации. На рис.2 в одной системе координат показано графическое решение систем.

и

Каждая прямая х+у =2 и х+у =-2 пересекает гиперболу ху=-3 в двух точках, а всего мы имеем четыре точки пересечения (они обозначены буквами А, В, С, Д). Это те же точки, которые получились при пересечение гиперболы и окружности (смотри рис.1).

Еще один способ решения данной системы представил один из учеников, для которого это было домашнее индивидуальное задание.

Сложим почленно первое уравнение системы сначала с уравнением 2ху=-6,а затем с уравнением -2ху=6.Получим систему:

Из первого уравнения получаем, что

Из второго уравнения получаем, что

Рассматривая каждое уравнение первой строки совместно с каждым уравнение второй строки приходим к четырем системам линейных уравнений:

Решив каждую из них получим следующие решения исходной системы:

Решение проиллюстрировано графически на рис.3.

Теперь мы видим, что четыре прямые при попарном пересечении указывают нам те же самые точки, которые получились при пересечении окружности и гиперболы (смотри рис.1).

И еще разберем один из способов решения системы

Данная система является симметричной и решается она очень красиво с помощью введения новых переменных. Пусть , и учитывая, что ,получим:

Если u=-3, то или тогда получим:

и

Полученные системы тоже являются симметричными системами, которые мы уже решали. Итак,(3;1), (-1;3), (-3;1),(1;-3)-решения данной системы.

Мы рассмотрели пять различных способов решения одной и той же системы уравнений. Каждый выберет для себя способ, который ему больше всего понравился, самое главное — что каждый из Вас научился решать системы такого вида и поэтому эпиграфом урока могли служить слова Б.В.Гнеденко: “Ничто так не содействует усвоению предмета, как действие с ним в разных ситуациях”.

1 задание. Решить систему уравнений:

2 задание. На рисунке 4 построены: окружность парабола и прямая у=2х+10.Составьте всевозможные системы двух уравнений с двумя переменными и укажите их решения.

3 задание. Система уравнений. где b-произвольное число, может иметь одно, два, три или четыре решения, а также может не иметь решений. Запишите конкретную систему, которая имела бы два решения. Проиллюстрируйте решение системы, графически на рисунке 5.

1 задание. Решить систему уравнений:

2 задание. На рисунке 6 построены кубическая парабола у=х, гипербола у= и прямая у=2х.

Составьте всевозможные системы двух уравнений с двумя переменными и укажите их решения.

3 задание. Система уравнений где b- произвольное число, может иметь одно, два, три или четыре решения, а также может не иметь решений. Запишите конкретную систему, которая имела бы одно решение. Проиллюстрируйте решение графически на рисунке 5.

IV. Подведение итогов урока.

Для анализа урока мы будем использовать идею Эдварда де Боно, которую он назвал “Шесть шляп”.

Зелёная шляпа-символ свежей листвы, изобилия и плодородия. Она символизирует творческое начало и расцвет новых идей.

Итак, первая группа ответит на вопросы: пригодятся ли нам знания, полученные на уроке, умения исследовать и находить различные способы решения систем уравнений?

Жёлтая шляпа — солнечный, жизнеутверждающий цвет. Она полна оптимизма, под ней живёт надежда и позитивное мышление.

Итак, вторая группа отметит какие положительные моменты были на уроке и обоснует свой оптимизм.

Белая шляпа — белый цвет беспристрастен и объективен. В ней “варятся” мысли, “замешанные” на цифрах и фактах.

Итак, третья группа должна изложить происходящее на уроке опираясь и подкрепляя свой ответ цифрами и фактами.

Красная шляпа-символ восприятия действительности на уровне чувств. В ней можно отдать себя во власть эмоций.

Итак, четвёртая группа постарается высказать свои эмоции по поводу данного урока.

Чёрная шляпа — черный цвет мрачный, зловещий, словом — недобрый. Это критика, доходящая до въедливости.

Итак, пятая группа должна высказать свое мнение о том, что получилось на уроке или что требует доработки.

Синяя шляпа — синий цвет холодный, это цвет неба. Синяя шляпа связана с организацией, обобщением того, что достигнуто.

Итак, шестая группа при подведении итогов урока должна указать, на что необходимо обратить внимание при изучении данной темы?

V. Домашнее задание.

А.П. Ершова, В.В. Голобородько “Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 9 класса” (разноуровневые дидактические материалы). С-9,стр. 19 (по уровням сложности)

План -конспект на тему: » Решение систем уравнений второй степени» ( 9 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Открытый урок по алгебре

Решение систем уравнений второй степени с двумя методом подстановки.

Подготовила и провела

МБОУ « Новопокровская школа»

систематизировать знания по данной теме

выработать умение решать системы уравнений, содержащие уравнения второй степени способами подстановки.

развивать вычислительную технику, мыслительную активность, логическое мышление;

способствовать формированию ключевых понятий;

выполнять задания различного уровня сложности; развивать правильную математическую речь

формировать графическую и функциональную культуру обучающихся.

воспитывать внимательность, аккуратность, умение четко организовывать самостоятельную и индивидуальную работу, воспитывать глубокий и устойчивый интерес к изучению математики

формировать навыки общения, умения работать в коллективе.

1. Отработать алгоритм решения систем уравнений второй степени способом подстановки и различного уровня сложности.

2. Отработать навыки и умения иллюстрировать решения систем уравнений графически.

Формы работы на уроке: фронтальная, индивидуальная, коллективная, групповая, самостоятельная, работа в парах.

Тип урока : комбинированный.

Методы урока: практический, наглядный, словесный.

Оборудование: учебник «Алгебра – 9 класс» Макарычева Ю.Н., под ред. С.А.Теляковского, раздаточный материал, карточки с алгоритмом портреты.

Математике должны учить в школе

еще с той целью,

чтобы познания, здесь приобретаемые,

были достаточными для обыкновенных

потребностей в жизни.

Сегодняшний урок я хотела начать с философской загадки «Что самое быстрое, но и самое медленное, самое большое, но и самое маленькое, самое продолжительное и краткое, самое дорогое, но и дёшево ценимое нами?» (Время).

Итак, у нас всего 45 минут, и мне очень хотелось, чтобы это время пролетело для вас незаметно и с пользой.

Сегодня на уроке мы должны рассмотреть способ подстановки для решения систем уравнений.

Проверка домашнего задания.

III Актуализация опорных знаний.

Определение системы уравнения с двумя переменными.

(Уравнения, объединенные фигурной скобкой, имеющие множество решений одновременно удовлетворяющих для каждого уравнения)

Что называют решением системы уравнений с двумя переменными?

(Пара значений, которые обращают каждое уравнение в системе в верное равенство)

Какие уравнения называются равносильными?

(Уравнения, которые имеют одно и тоже множество решений )

Назовите основные способы решения систем уравнений.

Графический, метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод замены переменной.

Учащиеся определяют вид уравнения, формулируют определения).

1) 6) ,

2) , 7) ,

3) , 8)

4) , 9)

5) 10)

3. Какая фигура является графиком уравнения?

4.Какая из следующих пар чисел является решением системы уравнений

х 2 +у 2 =1

5. Решение какой системы изображено

IV Из истории решения систем уравнений.

Еще древним вавилонянам и египтянам было известно много задач, решение которых сводилось к решению уравнений с одной переменной. Только в то время не умели применять в математике буквы. Поэтому вместо букв брали числа, показывали на числах, как решать задачу, а потом уже все похожие на нее задачи решали тем же способом.
В древневавилонских текстах, написанных в III – II тысячелетиях до н.э., содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений, в которые входят и уравнения второй степени.

Многие уравнения умел решать греческий математик Диофант, который даже применял буквы для обозначения неизвестных.

Но по-настоящему метод уравнений сформировался в руках арабских ученых. Они, по-видимому, знали, как решали задачи в Вавилоне и Индии, улучшили эти способы решения и привели их в систему. Первым написал книгу на арабском языке о решении уравнений Мухаммед ибн Мусса ал-Хорезми. Название у нее было очень странное − «Краткая книга об исчислении ал-джабры и ал-мукабалы». В этом названии впервые прозвучало известное нам слово «алгебра».

Книга ал-Хорезми о решении уравнений не была столь распространена, как его сочинение об индийском счете. Но и с нею познакомились математики Западной Европы. Когда они овладели методами ал-Хорезми, то стали их улучшать, применять к все более сложным уравнениям, настолько сложным, что без букв оказалось невозможно к ним подступиться.

Французский ученый Франсуа Виет(XVIв.) впервые ввел символическую запись уравнения: стал обозначать неизвестные величины одними буквами, а известные − другими. Алгебраическая символика совершенствовалась в трудах Декарта, Ньютона, Эйлера.

Рене Декарт
(1596 — 1650)
французский математик и философ

Мыслю, следовательно существую.

Исаа́к Нью́то́н 4 января 1643 — 31 марта 1727 — английский физик , математик и астроном , один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда « Математические начала натуральной философии », в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики , ставшие основой классической механики . Разработал дифференциальное и интегральное исчисление , теорию цвета и многие другие математические и физические теории.

ЛЕЙБНИЦ ( Leibniz ) Готфрид Вильгельм (1 июля 1646, Лейпциг — 14 ноября 1716, Ганновер), немецкий философ, логик, физик, математик и языковед.

Леонард Эйлер (1707—1783), — российский, немецкий и швейцарский математик. Анализировал бесконечно малые. Благодаря его работам, математический анализ стал вполне оформившейся наукой.

Карл Гаусс (1777—1855), — немецкий математик, астроном и физик. Создал теорию «первообразных» корней, из которой вытекало построение семнадцатиугольника. Один из величайших математиков всех времён.

Жозе́ф Луи́ Лагра́нж ( 25 января 1736 — 10 апреля 1813) — французский математик и механик итальянского происхождения. Наряду с Эйлером — лучший математик XVIII века . Особенно прославился исключительным мастерством в области обобщения и синтеза накопленного научного материала.

Основная цель при решении систем линейных уравнений — решить систему уравнений, то есть найти все ее решения или доказать, что решений нет. Для решения системы уравнений с двумя переменными используются разные способы. Практическое применение этих способов — это решение задач, по алгебре, физике, химии, геометрии.

V . Изучение нового материала

Основными методами решения систем уравнений являются метод подстановки и метод сложения.

При этом используют приемы: замена переменных, формулы сокращенного умножения, равенство произведения нулю и другие.

Записать на доске 3 метода решения систем уравнений.

1. Графический метод

2. Метод подстановки

3.Метод алгебраического сложения

С системами уравнений мы познакомились в курсе алгебры 7-го класса, но это были системы специального вида – системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Алгоритм, который был выработан в 7 классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений с двумя переменными х и у.

Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы.

Подставить полученное выражение вместо переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение относительно одной переменной.

Подставить поочередно каждый из найденных на 3 шаге корней уравнения в выражение, полученное на первом шаге и найти другую переменную.

Записать ответ в виде пар значений (х;у).

Покажу, как работает этот метод при решении систем.

Решим систему уравнений:

Применим метод подстановки. Преобразуем исходную систему:

Ответ: (1;0), (2;1)

VI . Закрепление знаний.

Рассмотреть по учебнику № 433( а), № 437 (а)

Решение системы уравнений по алгоритму.

Реши систему уравнений