Как решать сложные тригонометрические уравнения

Как решать сложные тригонометрические уравнения

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

«Уравнения будут существовать вечно».

Цели урока:

• Образовательные:
  • углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
  • сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
• Воспитательные:
  • воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
  • формирование умения анализировать поставленную задачу;
  • способствовать улучшению психологического климата в классе.
• Развивающие:
  • способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
  • способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

1 урок

I. Актуализация опорных знаний

Устно решить уравнения:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) х = 2к;
2) х = ± + 2к;
3) х =± + 2к;
4) х = к;
5) х = (–1) + к;
6) х = (–1) + 2к;
7) х = + к;
8) х = + к; к Z.

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).

Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.

(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)

1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители

sin 4x = 3 cos 2x

Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.

2x = + к, к Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin| 1
x = + к; к Z.
Ответ: x = + к , к Z.

2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin сos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит

Ответ:

3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для решения уравнения воспользуемся формулой

Ответ:

4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Пусть sin x = t, где | t |. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,

. Таким образом . не удовлетворяет условию | t |.

Значит sin x = . Поэтому .

Ответ:

III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова

1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. (преобразование произведения в сумму)

(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)

№ 164 (а)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Откуда

Ответ: –.

№ 167 (а)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Ответ:

№ 168 (а )

Ответ:

№ 174 (а )

Ответ:

Решить уравнение:

Ответ:

2 урок (урок-лекция)

IV. Изучение нового материала (продолжение)

– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.

5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений

Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.

sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

Ответ:

Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

тогда Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 + , x =

Ответ: arctg 2 + ,

Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).

Ответ: arctg 2 + k,

6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений

Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде:

Учитывая, что и, получим:

Ответ:

7 способ. Введение дополнительного аргумента

Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:

.

(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)

Введём дополнительный аргумент – угол такой, что

Тогда

Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.

Учтём, что . Тогда получим

0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что , т.е. = arcsin 0,6. Далее получим

Ответ: – arcsin 0,8 + +

8 способ. Уравнения вида Р

Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .

Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.

Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = . Следовательно получим:

t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим = 1, =.

sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =

Ответ:

9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Решить уравнение:

В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида, запишем систему, равносильную исходному уравнению:

Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.

1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.

Условию удовлетворяют только решения

Ответ:

10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.

Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе:

Решение системы

Ответ:

V. Итог урока

Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.

(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )

Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).

Тригонометрические уравнения и неравенства с примерами решения и образцами выполнения

Корень уравнения есть число, ко­торое, будучи подставленным в
уравнение вместо обозначающей его буквы или вида, приводит к
исчезновению всех его членов.
И. Ньютон

Тригонометрические формулы

В курсе алгебры рассматривались синус, косинус и тангенс
произвольного угла, выраженного в градусах или радианах.
Там же были доказаны основные формулы, которые
исполь­зовались для преобразований тригонометрических выражений.
Напомним эти формулы:

1. Основное тригонометрическое тождество:

2. Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом:

Ньютон Исаак (1643— 1727) — английский математик, физик, механик, астроном; основоположник современной механики; одновременно с немецким математиком Г. Лейбницем ему принадлежит разработка дифференциального и интегрального исчислений.

3. Формулы сложения:

4. Формулы синуса и косинуса двойного угла:

5. Формулы приведения:

Формулы приведения запоминать необязательно. Для того
чтобы записать любую из них, можно руководствоваться
сле­дующими правилами:

1) В правой части формулы который

2) Если в левой части формулы угол равен или

то синус заменяется на косинус, тангенс —
на котангенс и наоборот. Если угол равен то замены
не происходит.

Например, покажем, как с помощью этих правил можно
получить формулу приведения для

По первому правилу в правой части формулы нужно поставить знак >,
так как если то a косинус во второй четверти отрицателен. По второму правилу косинус нужно заме­нить на синус, следовательно,

6. Формулы синуса, косинуса, тангенс угла

7. Формулы синуса и косинуса угла

тангенса угла

Приведем несколько примеров применения формул (1) — (9).

Пример:

Вычислить , если и

Сначала найдем . Из формулы (1) Так как в третьей четверти то По формулам (2) находим

Пример:

Используя формулы (1), (3) и (4), получаем:

Пример:

Вычислить

Используя формулы (8) и (9), получаем:

По формулам приведения находим:

Ответ.

Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

Пример:

Используя формулу сложения и формулу синуса двойного
угла, получаем:

Эту задачу можно решить проще, если использовать формулу
суммы синусов:

С помощью этой формулы получаем:

Докажем теперь справедливость формулы (1).

Обозначим

Тогда и поэтому

Наряду с формулой (1) используются формула разности
синусов, а также формулы суммы и разности косинусов:

Формулы (3) и (4) доказываются так же, как и формула (1);
формула (2 ) получается из формулы ( 1 ) заменой на
(до­кажите самостоятельно).

Пример:

Вычислить

Пример:

Преобразовать в произведение

Пример:

Доказать, что наименьшее значение выражения равно а наибольшее равно

Преобразуем данное выражение в произведение:

Так как наименьшее значение косинуса равно — 1, а наи­большее равно 1, то наименьшее значение данного выражения
равно а наибольшее равно

Уравнение cos х = а

Из курса алгебры известно, что значения косинуса заключены
в промежутке [— 1; 1], т. е.

Поэтому если |а |> 1 , то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos x = — 1,5 не имеет корней.

Пример:

Решить уравнение

Напомним, что cos х — абсцисса точки единичной окруж­ности, полученной поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала коор­динат на угол х. Абсциссу, равную имеют две точки окруж­ности

и (рис. 18). Так как , то точка получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол , а также на
углы где . . . . Точка получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол , f также на углы где . . . . Итак, все корни уравнения — можно найти по формулам Вместо этих двух формул обычно пользуются одной:

Пример:

Решить уравнение

Абсциссу, равную , имеют две точки окружности
и (рис. 19). Так как , то угол
а потому угол . Следовательно, все корни уравнения
можно найти по формуле

Таким образом, каждое из уравнений

и имеет бесконечное множество корней. На отрезке каж­дое из этих уравнений имеет только один корень: — корень уравнения и
— корень уравнения . Число называют арккосинусом числа и за­писывают:

а число — арккосинусом числа и записывают:

Вообще уравнение , где , имеет на отрезке только один корень. Если , то корень заключен в про­межутке ; если а

Например, так как и так как

и

Аналогично тому, как это сделано при решении за­дач 1 и 2, можно показать, что все корни уравнения , где , выражаются формулой

Пример:

Решить уравнение cos x = — 0,75.
По формуле (2) находим

Значение arccos ( — 0,75) можно приближенно найти на ри­сунке 21, измеряя угол РОМ транспортиром.

Приближенные значения арккосинуса можно также находить
с помощью специальных таблиц или микрокалькулятора. На­
пример, значение arccos (—0,75) можно вычислить на
микрокаль­куляторе МК-54 по программе

Итак,

В данном случае переключатель микрокалькулятора Р-ГРД-Г
был установлен в положение Р (радиан).
Если вычисления проводить в градусной мере, то переклю­чатель микрокалькулятора Р-ГРД-Г следует установить в поло­жение Г (градус). Программа вычислений остается прежней:

Итак, .

Пример:

Решить уравнение (4 cos х — 1) (2 cos 2x + 1)=0.

Ответ. ,

Можно доказать, что для любого справедлива
формула

Эта формула позволяет выражать значения арккосинусов
отрицательных чисел через значения арккосинусов
положитель­ных чисел. Например:

Из формулы (2) следует, что корни уравнения cos х = а при а = 0,
а = 1, а = — 1 можно находить по более простым формулам:

Задача 5. Решить уравнение

По формуле (6) получаем откуда

Уравнение sin х= а

Известно, что значения синуса заключены в промежутке
[— 1; 1], т. е. Поэтому если |а |> 1 , то
уравне­ние sin x = a не имеет корней. Например, уравнение
sin x = 2 не имеет корней.

Пример:

Решить уравнение

Напомним, что sin x — ордината точки единичной окруж­ности, полученной поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала коор­динат на угол x. Ординату, равную , имеют две точки окруж­ности и (рис. 22). Так как — , то точка полу­чается из точки Р(1; 0) поворотом на угол , а также на
углы где ……. Точка получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол , а также на углы где ……. Итак, все корни уравнения можно найти по формулам

Эти формулы объединяются в одну:

В самом деле, если n — четное число, т. е. n = 2k, то из форму­лы (1) получаем а если n — нечетное число, т. е. , то из формулы (1) получаем

О т в е т .

Пример:

Решить уравнение

Ординату, равную имеют две точки единичной ок­ружности и (рис. 23), где . Следо­вательно, все корни уравнения можно найти по фор­мулам

Эти формулы объединяются в одну:

В самом деле, если n = 2k, то по формуле (2) получаем , а если n = 2k — 1, то по формуле (2) находим ..

Ответ.

Итак, каждое из уравнений и имеет
бесконечное множество корней. На отрезке

каждое из этих уравнений имеет только один корень: — корень уравнения и — корень уравнения . Число называют арксинусом числа и записывают: ; число — называют арксинусом числа и пишут:

Вообще уравнение sin x = a, где , на отрезке имеет только один корень. Если , то корень заключен в промежутке ; если а

Например, так как и так как и

Аналогично тому, как это сделано при решении задач 1 и 2 можно показать, что корни уравнения sin x = a, где выражаются формулой

Пример:

Решить уравнение .

По формуле (4) находим

Значение можно приближенно найти из рисунка 25,
измеряя угол РОМ транспортиром.
Значения арксинуса можно находить с помощью специальных
таблиц или с помощью микрокалькулятора. Например, значение можно вычислить на микрокалькуляторе МК-54 по
программе

Итак,
При этом переключатель микрокалькулятора Р-ГРД-Г был установлен в положение Р (радиан).

Пример:

Решить уравнение (3 sin х — 1) (2 sin 2х + 1) = 0.

Можно доказать, что для любого справедлива
формула

Эта формула позволяет находить значения арксинусов отри­
цательных чисел через значения арксинусов положительных
чисел. Например:

Отметим, что из формулы (4) следует, что корни уравнения
sin x = a при а = 0 , а = 1 , а = — 1 можно находить по более
прос­тым формулам:

Пример:

Решить уравнение sin 2х = 1.

По формуле (7) имеем откуда

Уравнение tg x = а

Известно, что тангенс может принимать любое действительное
значение. Поэтому уравнение tg x = a имеет корни при любом
значении а.

Пример:

Решить уравнение

Построим углы, тангенсы которых равны Для этого про­ведем через точку Р (рис. 26) прямую, перпендикулярную РО,
и отложим отрезок через точки М и О проведем пря­
мую. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух диа­
метрально противоположных точках и . Из прямоугольного треугольника РОМ находим , откуда .

Таким образом, точка получается из точки Р (1; 0) поворотом
вокруг начала координат на угол а также на углы , где , … .
Точка получается поворотом точки Р (1; 0) на угол

а также на углы , где … .

Итак, корни уравнения можно найти по формулам

Эти формулы объединяются в одну

Пример:

Решить уравнение

Углы, тангенсы которых равны указаны на рисун­ке 27, где Из прямоугольного треугольни­ка РОМ находим , т.е. . Таким образом, точка получается поворотом точки P(1; 0) вокруг начала
координат на угол , а также на углы где k = ± 1, ± 2,….. Точка получается поворотом точки Р (1; 0) на углы .

Поэтому корни уравнения можно найти по формуле

Итак, каждое из уравнений и имеет
бесконечное множество корней. На интервале — каж­дое из этих уравнений имеет только один корень: — корень уравнения и — корень уравнения . Число называют арктангенсом числа и записывают: ; число — называют арктангенсом числа и пишут: .

Вообще уравнение tg х = а для любого имеет на интер­вале только один корень. Если , то корень
заключен в промежутке ; если а

Например, , так как ; и так как и .

Аналогично тому, как это сделано при решении задач 1 и 2, можно показать, что все корни уравнения tg x = a, где выражаются формулой

Пример:

Решить уравнение tg х = 2.

По формуле (2) находим

Значение arctg 2 можно приближенно найти из рисунка 29,
измеряя угол РОМ транспортиром.

Приближенные значения арктангенса можно также найти по
таблицам или с помощью микрокалькулятора.

Например, значение arctg 2 можно вычислить на МК-54 по
программе

Итак,

Пример:

При этих значениях х первая скобка левой части исходного
уравнения обращается в нуль, а вторая не теряет смысла, так
как из равенства tg x = — 4 следует, что

Следо­вательно, найденные значения х являются корнями исходного уравнения.

Эти значения x также являются корнями исходного урав­нения, так как при этом вторая скобка левой части уравнения
равна нулю, а первая скобка не теряет смысла.

Ответ.

Можно доказать, что для любого справедлива формула

Эта формула позволяет выражать значения арктангенсов
от­рицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел.

Например:

Решение тригонометрических уравнений

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin x = a, cos x = a, tg х = а. К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требу­ется применение формул преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригоно­метрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратам

Пример:

Решить уравнение

Это уравнение является квадратным относительно sin х.
Обозначив sin x= y, получим уравнение Его корни

Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений sin х = 1 и sin х = — 2.

Уравнение sin x = l имеет корни уравне­ние
sin x = — 2 не имеет корней.
Ответ.

Пример:

Решить уравнение

Заменяя на получаем:

Обозначая sin х = у, получаем откуда

1) sin х = — 3 — уравнение не имеет корней, так как | — 3 | > 1.
2)

Ответ.

Пример:

Решить уравнение

Используя формулу получаем:

Ответ.

Пример:

Решить уравнение tg x — 2 ctg x + 1 = 0 .

Так как то уравнение можно записать в виде
Умножая обе части уравнения на tg x, получаем:

Отметим, что левая часть исходного уравнения имеет смысл,
если и Так как для найденных корней и то исходное уравнение равносильно уравнению
Ответ.

Пример:

Обозначив sin 6 x = у, получим уравнение от­куда

Уравнения вида a sin х + b cos х = с

Пример:

Решить уравнение 2 sin x —3 cos x = 0.
Поделив уравнение на cos x, получим 2tg x — 3 = 0,

При решении этой задачи обе части уравнения 2 sin x — cos x = 0 были поделены на cos x. Напомним, что при делении
уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть
потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли
кор­ни уравнения cos x = 0 корнями данного уравнения. Если
cos x = 0, то из уравнения 2 sin x — cos x = 0 следует, что sin x = 0. Однако sin х и cos х не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны равенством Следовательно, при
делении уравнения a sin х + b cos x = 0, где cos x
(или sin x) корни этого уравнения не теряются.

Пример:

Решить уравнение 2 sin x + cos x = 2.
Используя формулы
и записывая правую часть уравнения в виде , получаем

Поделив это уравнение на

Обозначая получаем уравнение откуда

Ответ.

Пример:

Решить уравнение sin 2x — sin x — cos x — 1 = 0.
Выразим sin 2 x через sin x + cos x , используя тождество

Обозначим sin x + cos x = t, тогда и уравнение при­мет вид , откуда

2) Уравнение sin x + cos x = 2 не имеет корней, так как
и равенства sin x = 1, cos x = l одновременно не могут
выполняться.

Ответ.

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть кото­рых равна нулю, решаются разложением их левой части на
мно­жители.

Пример:

Решить уравнение sin 2х — sin х = 0.

Используя формулу для синуса двойного аргумента, за­пишем уравнение в виде 2 sin х cos х — sin х = 0.
Вынося общий множитель sin х за скобки, получаем
sin x (2 cos x — 1) = 0

Ответ.

Пример:

Решить уравнение cos Зх + sin 5x = 0.

Используя формулу приведения , за­пишем уравнение в виде

Используя формулу для суммы косинусов, получаем:

Ответ.

Пример:

Решить уравнение sin 7 x + sin 3 х = 3 cos 2х.

Применяя формулу для суммы синусов, запишем уравне­ние в виде

Уравнение cos2x = 0 имеет корни а уравнение не имеет корней.
Ответ.

Пример:

Решить уравнение

уравнение примет вид:

Заметим, что числа вида содержатся среди чисел вида так как если n = 3k, то

Следовательно, первая серия корней содержится во второй.

Ответ.

Часто бывает трудно усмотреть, что две серии корней, полу­
ченных при решении тригонометрического уравнения, имеют об­
щую часть. В этих случаях ответ можно оставлять в виде двух
серий. Например, ответ к задаче 12 можно было записать и так:

Пример:

Эти значения х являются корнями исходного уравнения, так
как при этом первая скобка левой части уравнения равна нулю,
а вторая не теряет смысла.

При этих значениях х вторая скобка левой части исходного
уравнения равна нулю, а первая скобка не имеет смысла. Поэтому
эти значения не являются корнями исходного уравнения.

Ответ.

Пример:

Решить уравнение

Выразим

Так как то

от­куда

Поэтому исходное уравнение можно записать так:

2) уравнение — корней не имеет.

Ответ.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух частей: 1) преобразование тригонометрического выражения к простейшему виду; 2) решение простейшего тригонометрического уравнения. Первая часть сложна из-за множества применяемых формул как тригонометрических, так и алгебраических. Применяются такие приемы как разложение на множители, преобразование суммы или разности тригонометрических функций в произведение и, наоборот, произведения в сумму. Достаточно часто тригонометрические уравнения сводятся к линейным и квадратным уравнениям и уравнениям с корнями. Тригонометрические уравнения во всяком случае имеют ограничения, содержащиеся в тангенсе и котангенсе, т.к. , , то здесь и .Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида: ; и

1) Решение уравнения . Арксинусом числа называется число, обозначаемое , синус которого равен , при этом . Поэтому решение уравнения записывается: Этому решению соответствуют две точки на окружности:

Напоминаем, что ось — это ось синусов, и значение синуса

отмечается на оси .

2) Решение уравнения . Арккосинусом числа называется число, обозначаемое , косинус которого равен , при этом Поэтому решение уравнения записывается: Этому решению соответствуют две точки на окружности:

Эти решения отмечены на окружности.

Напоминаем, что ось — ось косинусов, и значение косинуса отмечается на оси .

3) Решение уравнения Арктангенсом числа называется число, обозначаемое , тангенс которого равен , при этом . Поэтому решение уравнения записывается: Этому решению соответствуют две точки на окружности:

Напоминаем, что значение тангенса отмечается на оси тангенсов, которая параллельна оси и касается единичной окружности в крайней правой точке.

Там, где возможно, и заменяются табличными значениями. Соответствующая таблица и тригонометрические формулы приведены в разделе преобразования тригонометрических выражений. Там же рассмотрены примеры таких преобразований.

Здесь использована специальная формула, отличная от стандартной для уравнения

Существуют следующие специальные формулы:

Следует заметить также, что буква для обозначения целого числа может быть выбрана любая, но принято брать Если уравнение имеет два и более решений, эти буквы принято брать различными.

Т.к. решения 1-го и 2-го уравнений должны совпадать, то, как видно на окружности, единственно возможная точка соответствует решению

Эта система, как видно на окружности, решений не имеет

Этот материал взят со страницы решения задач по математике:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Тригонометрические уравнения и неравенства — основные понятия и определения

В этой главе мы рассмотрим некоторые уравнения, а также простейшие системы уравнений, содержащие неизвестную иод знаком тригонометрических функций. Такие уравнения называются тригонометрическими уравнениями.

Приведем некоторые примеры тригонометрических уравнений и их систем:

1) ; 2) ; 3) ; 4) 5) 6) .

Решение различных типов тригонометрических уравнений большей частью основано на сведении их к некоторым простейшим уравнениям, которые мы рассмотрим ниже. При этом остаются в силе общие правила, относящиеся к решению уравнений. В частности, данное уравнение не всегда приводится к простейшей форме с помощью одних лишь равносильных преобразований. Поэтому следует проверить найденные решения, подставляя их в исходное уравнение.

Тригонометрические уравнения слишком разнообразны для того, чтобы пытаться дать их общую классификацию или общий метод решения. Мы можем указать лишь способы решения некоторых типов таких уравнений.

Уравнения, разрешенные относительно одной из тригонометрических функций

При решении различных тригонометрических уравнений мы будем часто приходить к некоторым простейшим уравнениям, решения которых следует запомнить. Приведем эти уравнения. Для того чтобы можно было дать геометрическую иллюстрацию к этим уравнениям, будем считать х углом в радианной мере.

Уравнение sin х = а

имеет решение при . Для вывода общей формулы, которая заключает в себе все корни нашего уравнения, воспользуемся рис. 127. Допустим, что мы нашли какой-то корень уравнения sin х = а:

Тогда, в силу периодичности функции sin х, имеем

т.е. и числа вида , где k = 0, ±1, ±2, …, удовлетворяют уравнению (139.1). Заметим еще, что и

т. е. также удовлетворяет уравнению (139.1). Следовавательно также удовлетворяют данному уравнению. Следовательно, зная одно какое-то значение , удовлетворяющее уравнению sin х = а, мы можем получить две серии значений аргумента, удовлетворяющих этому же уравнению:

где k= 0, ±1, ±2, …

В качестве будем, как правило, брать arcsin а.

Объединив две серии (139.2) и (139.3) корней данного уравнения sin х = а одной формулой, мы будем записывать в дальнейшем его общее решение (совокупность всех корней) в виде

где n = 0, ±1, ±2, … и .

Поясним формулу (139.4) и другим способом, с помощью рис. 139.

Известно, что sin x = а (на рис. 139 ОA = 1, ).

Уравнению (139.1) удовлетворят углы:

а) положительные: и (k = 0, +1, +2, …);

б) отрицательные: и (k = 0, —1, —2, …).

Все эти углы можно задать одной формулой (139.4), и, обратно, любой угол, полученный по формуле (139.4), есть угол либо вида а), либо вида б). Проверим, например, обратное утверждение для положительных углов.

Если (четное число), то из (139.4) получаем

если же (нечетное число), то из (139.4) получаем

Аналогично проводится проверка и для отрицательных углов.

Пример:

sin x = 1/2.

Решение:

Так как , то .

Пример:

.

Решение:

Так как , то .

Замечание. При выводе формулы (139.4) мы воспользовались рис. 127, на котором и . Очевидно, что при помощи этой формулы получаются все корни уравнения sin x = a. Формула (139.4) остается в силе и тогда, когда , а также при а = 0, 1 или —1. Однако эти последние случаи удобней рассмотреть особо.

Допустим, что а = 1 или a = — 1. Корни уравнения sin х = 1 можно записать так:

где n = 0, ±1, ±2, …, а корни уравнения sin x = — 1 можно записать так:

где n = 0, ±1, ±2…. . Допустим теперь, что а = 0. Корни уравнения sin x = 0 можно записать так:

Уравнение cos x = a

имеет решение при . Для вывода общей формулы корней уравнения (140.1) воспользуемся рис. 128. Допустим, что мы нашли какое-нибудь решение уравнения (140.1): .

Тогда в силу периодичности , т. е. и числа вида , где n = 0, ±1, ±2, …, удовлетворяют уравнению cos х = а. В силу четности косинуса ; применив еще свойство периодичности, мы получим, что числа вида также удовлетворяют уравнению cos х = а. (На рис. 128 мы видим, что .) Следовательно, зная одно какое-либо значение , удовлетворяющее уравнению cos x = a, мы можем получить две серии значений аргумента, удовлетворяющих этому же уравнению:

где n = 0, ±1, ±2, …

В качестве будем, как правило, брать arccos а.

Объединив две серии (140.2) и (140.3) корней уравнения cos x = a одной формулой, мы будем писать в дальнейшем его общее решение (совокупность всех корней) в виде

где n = 0, ±1, ±2, … и .

Рекомендуем читателю пояснить формулу (140.4) с помощью рисунка, аналогичного рис. 139.

Пример:

.

Решение:

Пример:

cos x = — х/2.

Решение:

Пример:

cos х = 0,995.

Решение:

(см. приложение II).

Замечание. При выводе формулы (140.4) мы воспользовались рис. 128, на котором и . Очевидно, что при помощи этой формулы получаются все корни уравнения cos x = a. Рекомендуем читателю доказать, что формулой (140.4) можно пользоваться и во всех остальных случаях (—1

Уравнение cos x = l имеет корни:

Уравнение cos x = 0 имеет корни:

Уравнение tg x = a

имеет решение при любом а (). Воспользуемся рис. 129 для вывода общей формулы, которая заключает в себе все корни уравнения (141.1). Допустим, что мы нашли какое-нибудь решение уравнения (141.1), т. е. . Тогда, в силу периодичности, , т.е. и числа вида , где n = 0, ±1. ±2, …, удовлетворяют уравнению tg x = a. Следовательно, зная одно какое-то значение удовлетворяющее уравнению tg x = а, мы можем получить общее решение (совокупность всех корней) в виде

В качестве будем, как правило, брать arctg a. Итак, общее решение уравнения tg х = а выражается формулой

где n = 0, ±1, ±2, … и .

Пример:

.

Решение:

Пример:

.

Решение:

Пример:

tg x = —1,9648.

Решение:

(см. приложение II).

Уравнение ctg х = а

имеет решение при любом а (). Для вывода общей формулы корней уравнения (142.1) воспользуемся рис. 130. Допустим, что мы нашли какое-нибудь решение уравнения (142.1), т. е. . Тогда, в силу периодичности, , т. е. и числа вида , где n = 0, ±1, ±2, …. удовлетворяют уравнению ctg х = а. Следовательно, зная одно какое-то значение , удовлетворяющее уравнению ctg х = а, мы можем получить общее решение в виде

В качестве будем, как правило, брать arcctg a. Итак, общее решение уравнения ctg х = а выражается формулой

где n = 0, ±1, ±2, … и .

Пример:

.

Решение:

Пример:

.

Решение:

Пример:

ctg х = —28,64.

Решение:

. Воспользовавшись формулой , будем иметь

(см. приложение I). Следовательно,

Некоторые дополнения

Если в уравнениях sin x = a, cos х = а, tg х = а и ctg x = a известно, что х — угол в градусной мере, то общие решения нужно записывать по-другому.

Для уравнения sin x = a, где , нужно писать:

где n = 0, ±1, ±2, … и .

Для уравнения cos х = а, где , нужно писать:

где n = 0, ±1, ±2, … и .

Для уравнения tg х = а, где а — любое число, нужно писать:

где n = 0, ±1, ±2, … и — 90°

где n = 0, ±1, ±2. … и 0°

б) Нельзя, однако, писать

Разберем примеры уравнений, непосредственно сводящихся к уже рассмотренным.

Пример:

Решить уравнение .

Решение:

sinх = 1 /]/2, откуда согласно (143.1) имеем х — 180°и + (—1)»45°, где я = 0, ±1, ±2, …

Пример:

Решить уравнение .

Решение:

, откуда согласно (140.4) имеем , где n = 0, ±1, ±2, …

Пример:

Решить уравнение 3 sin х — 4 = 0.

Решение:

Из нашего уравнения получаем равносильное уравнение sin x = 4/3, которое решений не имеет, ибо не выполняется условие . Следовательно, первоначальное уравнение также не имеет решений.

Пример:

Решить уравнение 3 tg х + 1 = 0.

Решение:

tg x = —1/3, откуда согласно (141.3) имеем , где n = 0, ±1, ±2, …, или .

Замечание. Ответ можно записать так:

где n = 0, ±1, ±2, …

Пример:

Решить уравнение 3 ctg x + 2 = 0.

Решение:

ctg x = —2/3, откуда согласно (142.3) имеем , где n = 0, ±1, ±2, …, или .

Пример:

Решить уравнение 2 sin 5x + l = 0.

Решение:

Записав уравнение в виде sin 5x = —1/2, найдем отсюда сначала промежуточный аргумент , откуда получим общее решение данного уравнения , где n = 0, ±1, ±2,…

Способ приведения к одной функции одного и того же аргумента

Сущность способа: Мы получили решения уравнений вида sin x = a, cos х = а, tg x = a и cxg x = a. Во многих случаях решение тригонометрических уравнений сводится к решению основных элементарных уравнений после выполнения ряда алгебраических действий.

Так, пусть имеется уравнение, левая часть которого содержит х только под знаком одной тригонометрической функции, например:

Во всех этих случаях задача решения уравнения распадается на две:

1) Решение алгебраического уравнения относительно новой неизвестной t = sin x, t = tg x, t = cos x.

2) Решение уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a.

Пример:

Решение:

1) Положив sin x = t, приходим к алгебраическому уравнению (в данном случае к квадратному уравнению) относительно новой неизвестной t:

Решив уравнение , получим и .

2) Задача решения уравнения свелась к решению двух тригонометрических уравнении:

Уравнение sin x = — 3 решений не имеет. Общее решение уравнения sin x = 1/2 имеет вид

Так как при переходе от тригонометрического уравнения к двум тригонометрическим уравнениям мы нигде не теряли и не получали посторонних корней, то решение является решением первоначального уравнения .

В большинстве случаев, однако, приходится исходное уравнение еще преобразовывать так, чтобы оно приобрело нужный вид:

В п. 145 показаны приемы таких преобразований.

Некоторые типы уравнений, приводящихся к уравнениям относительно функции одного аргумента

1) Рассмотрим уравнение типа

где a, b и с — какие-то действительные числа. Изучим случай, когда . Разделиз обе части уравнения (145.1) на , придем к следующему уравнению, содержащему только t = tg х:

Заметим, что уравнения (145.1) и (145.2) будут равносильны, ибо мы предполагаем, что . (Те значения х, при которых cos x = 0, не являются корнями уравнения (145.1) при .) Далее следует найти значения t = tg x из уравнения (145.2) и, если они окажутся действительными, отыскать соответствующие серии решений х.

Пример:

Решение:

Разделим обе части уравнения на . (Те значения х, при которых cos x = 0, не являются корнями данного уравнения, ибо при этом , следовательно, потери корней не происходит). Получим уравнение , откуда .

а) , ;

б) , .

где п = 0, ±1, ±2, …

Замечание:

где , сводится к уравнению типа (145.1), если его записать сначала так:

Пример:

Запишем данное уравнение так:

После этого будем иметь

Разделим обе части последнего уравнения на . (Те значения х, для которых cos x = 0, не являются корнями данного уравнения.) Получим уравнение

откуда и . Решив последние уравнения, получим решения первоначального уравнения:

2) Рассмотрим уравнение типа

где a, b и с — какие-то действительные числа. Пусть . Заменив через , мы придем к уравнению

Из уравнения (145.6) находим возможные значения для t = соs x; естественно, что они будут иметь смысл лишь в случае . Рассмотрим несколько примеров. Пример 3. Решить уравнение

Решение. Заменяя через , придем к уравнению , откуда cos x = 1 и cos x = —1/2. Уравнение cos x = l имеет решение , а уравнение cos x = —1/2 — решение . Совокупность значений и является решением данного уравнения.

Пример:

Решение:

Заменив через , придем к уравнению

откуда cos x = 1/2 и cos x = —3/2. Последнее уравнение не имеет решений, ибо не выполнено условие . /Мы получаем одну серию решений данного уравнения: .

3) Рассмотрим уравнение тина

где a, b и с—какие-то действительные числа. Oграничимся рассмотрением примеров.

Пример:

Решение:

Заменив через , придем к уравнению

откуда sin x = 1/2 и sin x = —1/4. Оба последних уравнения имеют соответственно решения

Совокупность значений и является множеством всех решений данного уравнения.

Пример:

Решение:

Заменив через , придем к уравнению

откуда и . Последнее уравнение не имеет решения, ибо не выполнено условие . Мы получаем одну серию решении первоначального уравнения:

4) Рассмотрим уравнение типа

где .

Деля обе части уравнения на , получим

где n = 0, ±1, ±2, … Заметим, что, предположив , мы не потеряли корней, ибо если cos x = 0, то .

Пример:

Решение:

Разделим обе части уравнения на , получим , откуда .

5) Если в уравнение входят тригонометрические функции от различных аргументов, то и в этом случае иногда представляется возможным выразить их все через одну тригонометрическую функцию одного и того же аргумента.

Пример:

Решение:

Заменив через , придем к уравнению

откуда cos 2х = — l/3.

Следовательно, и (n = 0, ±1, ±2, …).

Пример:

Решить уравнение .

Решение:

Заменив sin 2x через 2sin x cos x, придем к уравнению или . Последнее уравнение распадается на два:

Первое уравнение имеет корни (n = 0, ±1, ±2, …).

Второе уравнение после деления на дает ctg x = 2, откуда (n = 0, ±1, ±2, …).

Решениями первоначального уравнения и будут значения и . Заметим, что в нашем случае деление обеих частей уравнения б) на sinx не привело к потере корней, ибо те значения х, при которых sin x обращается в нуль, не являются корнями первоначального уравнения.

Пример:

Решение:

Умножим обе части уравнения на 2 и, заменив 2sin x cos x на sin 2х, получим sin 2x cos 2x = 1/4. С последним уравнением поступим опять так же, получим sin 4x = 1/2, откуда . Окончательно имеем

Пример:

Решение:

Подставив найденное значение для в исходное уравнение, получим . Далее имеем

Последнее уравнение распадается на два:

Первое уравнение имеет корни (n = 0, ± 1, ± 2, …). Второе уравнение запишем в виде . Приравняв нулю числитель (1 — 2cos x), получим корни второго уравнения: .

Способ разложения на множители

1) Если в уравнении, приведенном к виду f(x) = 0, его левая часть f(x) разлагается на множители, то, как указано в п. 54, следует приравнять каждый из этих множителей к нулю. Получится несколько отдельных уравнений; корни каждого из них будут корнями основного уравнения, если только они входят в о. д. з. каждого из множителей левой части уравнения.

Все полученные решения объединяются в одну совокупность решений первоначального уравнения. Заметим, что этот способ мы уже фактически применяли при решении примеров 9 и 11 из п. 145.

Рассмотрим е;це несколько примеров.

Пример:

Решить уравнение sin x ctg 2x = 0.

Решение:

Согласно предыдущему будем искать отдельно решения двух уравнений: a) sin x = 0 и б) ctg 2x = 0. Первое уравнение имеет корни (n = 0, ±1, ±2, …). Второе уравнение имеет корни (n = 0, ±1, ±2, …). Проверка показывает, что решениями первоначального уравнения будет лишь совокупность значений , а значения не удовлетворяют данному уравнению, ибо при теряет смысл второй множитель ctg 2х.