Как решать смешанные уравнения 11 класс

Урок по теме: «Способы решения смешанных уравнений» 11 класс Учитель Зеленина О.Д. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемМария Филина

Похожие презентации

Презентация 11 класса по предмету «Математика» на тему: «Урок по теме: «Способы решения смешанных уравнений» 11 класс Учитель Зеленина О.Д.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

1 Урок по теме: «Способы решения смешанных уравнений» 11 класс Учитель Зеленина О.Д.

2 «Способы решения смешанных уравнений» План проведения урока: План проведения урока: оргмомент (1 минута) оргмомент (1 минута) постановка цели урока (1 минута) постановка цели урока (1 минута) повторение ранее изученного материала (5 минут) повторение ранее изученного материала (5 минут) проверка домашнего задания (7 минут) проверка домашнего задания (7 минут) решение упражнений на доске (15 минут) решение упражнений на доске (15 минут) работа в группах (20 минут) работа в группах (20 минут) обсуждение решений (15 минут) обсуждение решений (15 минут) обучающая самостоятельная работа (15 минут) обучающая самостоятельная работа (15 минут) проверка решений (7 минут) проверка решений (7 минут) итог урока (2минуты) итог урока (2минуты)

3 Уравнение Что называют уравнением? Что называют уравнением? Что значит решить уравнение? Что значит решить уравнение? Что называют корнем уравнения? Что называют корнем уравнения? Какие уравнения называют равносильными? Какие уравнения называют равносильными? Что называют областью определения уравнения? Что называют областью определения уравнения? Назовите типы уравнений. Назовите типы уравнений. Какие уравнения называют смешанными? Какие уравнения называют смешанными? Назовите стандартные методы решения уравнений Назовите стандартные методы решения уравнений Назовите нестандартные методы решения уравнений (решение опирается на монотонность, ограниченность, четность, периодичность). Назовите нестандартные методы решения уравнений (решение опирается на монотонность, ограниченность, четность, периодичность).

4 Ответы Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное, обозначаемое буквой. Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное, обозначаемое буквой. Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что уравнение корней не имеет. Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что уравнение корней не имеет. Корнем уравнения называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Корнем уравнения называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Примеры: Примеры: 1. х+ х= 0 один корень х = 0; 1. х+ х= 0 один корень х = 0; 2. (х² +2х — 12) = 0- два корня х = 3, х = — 3; 2. (х² +2х — 12) = 0- два корня х = 3, х = — 3; 3. sin(πх) = 0 – бесконечное число корней хZ; 3. sin(πх) = 0 – бесконечное число корней хZ; 4. х² + 2х + 1 = (х + 1)² верно при всех хR; 4. х² + 2х + 1 = (х + 1)² верно при всех хR; 5. х² = х² + 1 – нет корней. 5. х² = х² + 1 – нет корней. 2. Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. 2. Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Примеры: Примеры: 1. х² = х+2и х² — х -2 = 0 — равносильны; 1. х² = х+2и х² — х -2 = 0 — равносильны; 2. х² +2 = 1 и sin3х = 2 — равносильны; 2. х² +2 = 1 и sin3х = 2 — равносильны; 3. = 2х – 6 и х = (2х -6)² — неравносильны 3. = 2х – 6 и х = (2х -6)² — неравносильны

5 Смешанное уравнение 2 Смешанное уравнение это уравнение вида 2 Смешанное уравнение это уравнение вида f(x) = g(x), где функции f и g являются аналитическими функциями, и по крайней мере одна из них не является алгебраической. f(x) = g(x), где функции f и g являются аналитическими функциями, и по крайней мере одна из них не является алгебраической.аналитическими функциями алгебраическойаналитическими функциями алгебраической Нестандартные способы решения уравнений – решение уравнений, которое опирается на монотонность, ограниченность, четность, периодичность и Нестандартные способы решения уравнений – решение уравнений, которое опирается на монотонность, ограниченность, четность, периодичность и Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, например: Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, например: cosx = x cosx = x logx = x 5 logx = x 5 2x = logx + x x = logx + x5 + 40

6 «Способы решения уравнений». 1. Разложение на множители 1. Разложение на множители «Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл». «Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл». Произведение нескольких равно 0, если хотя бы один из них равен 0, а остальные при этом существуют. Произведение нескольких равно 0, если хотя бы один из них равен 0, а остальные при этом существуют. х(х -1)(х² — 4) = 0 х(х -1)(х² — 4) = 0 х – 1= 0 или х² -4 = 0 или х =0 х – 1= 0 или х² -4 = 0 или х =0 х = 1 х = 2 или х = -2 х = 1 х = 2 или х = -2 Ответ: 0; 1; 2; -2. Ответ: 0; 1; 2; -2.

8 Возведение в квадрат обеих частей уравнения и проверка корней Проверка корней: Проверка корней: Если x=-1, то при подстановке 3+2=-1, 5=-1 неверно. Если x=-1, то при подстановке 3+2=-1, 5=-1 неверно. Если х=3, то при подстановке: 1+2=3, 3=3 верно. Если х=3, то при подстановке: 1+2=3, 3=3 верно. Ответ: 3 Ответ: 3

9 Решить уравнение, используя свойства монотонности функции. Для решения некоторых уравнений полезно воспользоваться свойством монотонной функции. Суть свойства состоит в том, что если нужно решить уравнение f(x)=g(x), где f(x) монотонно возрастает, а g(x) монотонно убывает (или константа), то, если решение x=x0 существует, оно единственно. Для решения некоторых уравнений полезно воспользоваться свойством монотонной функции. Суть свойства состоит в том, что если нужно решить уравнение f(x)=g(x), где f(x) монотонно возрастает, а g(x) монотонно убывает (или константа), то, если решение x=x0 существует, оно единственно. Действительно, f(x) g(x) при x>x0 в силу монотонности. Действительно, f(x) g(x) при x>x0 в силу монотонности. x0 в силу монотонности. Действительно, f(x) g(x) при x>x0 в силу монотонности.»>

10 Способ- использование монотонности Левая часть уравнения представляет из себя монотонно возрастающую функцию, правая – постоянное число. Значит, если решение есть – то оно единственное. Несложным подбором убеждаемся, что это число. Левая часть уравнения представляет из себя монотонно возрастающую функцию, правая – постоянное число. Значит, если решение есть – то оно единственное. Несложным подбором убеждаемся, что это число.

11 Решение уравнений в группах 1 группа: 1 группа: lg cos x + log0,1 sin 2 x = lg 7. lg cos x + log0,1 sin 2 x = lg 7. 2 группа: 2 группа: 3 группа: 3 группа: 3 1/2+log 3 cosx + 6 1/2 = 9 1/2+log 9 sinx 3 1/2+log 3 cosx + 6 1/2 = 9 1/2+log 9 sinx 4 группа. 4 группа. (tg x)sin x = (ctg x)cos x. (tg x)sin x = (ctg x)cos x.

12 Итак, при решении таких задач: установить, что уравнение составлено из разномонотонных функций, то есть что означает, что если решение есть, то оно единственно; подобрать целый корень. установить, что уравнение составлено из разномонотонных функций, то есть что означает, что если решение есть, то оно единственно; подобрать целый корень. При решении уравнений полезна следующая теорема: Если y=f(x) — монотонно возрастающая функция, то уравнение f(x)=x и f(f(x))=x эквиваленты. При решении уравнений полезна следующая теорема: Если y=f(x) — монотонно возрастающая функция, то уравнение f(x)=x и f(f(x))=x эквиваленты.

13 Решение уравнений — использование экстремальных свойств функций. Оценки Некоторые задачи удобно решать, используя оценки левой и правой частей уравнения. В обобщённом виде решение выглядит так: Некоторые задачи удобно решать, используя оценки левой и правой частей уравнения. В обобщённом виде решение выглядит так: Решить уравнение: f(x)=g(x), и при этом оно не решается никак. Тогда может оказаться, что f(x) c2 или g(x)=c2. При этом, если c2=c1, то исходное уравнение может иметь решение – корень уравнения f(x)=c1 (этот корень должен быть и корнем g(x)=c1 ), а если c1 c2 или g(x)=c2. При этом, если c2=c1, то исходное уравнение может иметь решение – корень уравнения f(x)=c1 (этот корень должен быть и корнем g(x)=c1 ), а если c1

Конспект по математике 11 класс «Смешанные тригонометрические уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации.

-исследовательский – решение познавательных обобщающих задач;

Цель урока: Обобщить и систематизировать знания по теме «Тригонометрические уравнения», решение смешанных тригонометрических уравнений, продолжить работу по подготовке к ЕГЭ.

● Устная работа (разминка)

● Самостоятельная работа (повторение)

● Проверка вариантов ЕГЭ (домашняя работа)

● Демонстрация решённых самостоятельно смешанных тригонометрических уравнений

● Самостоятельное решение смешанных уравнений.

● Индивидуально — консультационная работа.

Крылатые выражения (девиз урока)

Сегодня на уроке мы продолжим работу над обобщением и систематизацией полученные знания по теме «Тригонометрические уравнения». На этом занятии мы будем решать смешанные тригонометрические уравнения, и тем самым – продолжаем подготовку к ЕГЭ. Работаем по следующему плану:

Устная работа. Диктант «Верно — неверно»

● Самостоятельная работа (повторение)

Для каждого варианта — задания на слайде, продолжите каждую запись. Время выполнения 3 минуты.

Критерий оценки: «5» — все 9 «+», «4» — 8 «+», «3» — 6-7 «+»

● Проверка вариантов ЕГЭ (домашняя работа).

● Демонстрация решённых самостоятельно смешанных тригонометрических уравнений. Отсканированные работы на слайдах. Ход решения кратко рассказывают ученики.

№ 511105. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Преобразуем уравнение:

б) С помощью единичной окружности отберём корни на отрезке

Получаем:

Ответ: а) б)

№ 501689. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Преобразуем исходное уравнение:

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ : а) б)

№ 502313. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Запишем исходное уравнение в виде:

Значит, либо откуда либо откуда или

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ : а) б)

№ 505565. а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Заметим, что: Далее имеем:

Заданному промежутку принадлежат числа

Ответ: а) б)

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Последовательно получаем:

б) Условию удовлетворяет только числа

Ответ: а) ; б)

● Самостоятельное решение смешанных уравнений.

log ₅ ( cos x − sin 2 x + 25) = 2

Перепишем Все уравнение с учетом этого факта:

Перед нами каноническое логарифмическое уравнение . В нем мы можем смело убрать знаки логарифма (т.е. просто приравнять аргументы логарифмов). Получим:

cos x − sin 2 x + 25 = 25

Перед нами тригонометрическое уравнение. Переносим 25 влево и получаем:

cos x − sin 2 x = 0

Формула синуса двойного угла

В данном случае все очень легко. Вспоминаем формулу синуса двойного угла:

sin 2 x = 2sin x · cos x

Подставляем это выражение в наше уравнение:

cos x − 2sin x · cos x = 0

Мы видим, что и в первом, и во втором слагаемом есть cos x . Выносим его за скобку:

cos x (1- 2sin x ) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

либо cos x = 0, либо 1 − 2sin x = 0

Перед нами совокупность из двух простейших тригонометрических уравнений:

cos x = 0; 1 — 2sin x = 0.

Вспоминаем, что cos x = 0 — это частный случай, поэтому x = π/2 + π n , n ∈ Z .

2). ( 2sinx — )∙ log ₃ (tgx) = 0.

Решение: ( 2sinx — )∙ log ₃ (tgx) = 0, ОДЗ: tgx > 0

2sinx — = 0 или log ₃ (tgx) = 0

sinx = tgx = 1

х =

Заметим, что x= не удовлетворяет ОДЗ

Ответ: ; .

● Индивидуально — консультационная работа. Ученики могут начинать решение с любого уравнения при необходимости за советом или помощью обращаются к одноклассникам или ко мне.

№ 484551. Решите уравнение

Уравнение равносильно системе

Из неравенства получаем, что . В уравнении сделаем замену и решим уравнение или Равенствам и на тригонометрической окружности соответствует четыре точки. Две из них, находящиеся в верхней полуплоскости, не удовлетворяют условию

Получаем решения:

Ответ:

№ 484552. Решите уравнение

Уравнение равносильно системе

Тогда или . Последнее уравнение не имеет решений, а из первого, учитывая, что , получаем: .

Ответ: .

№ 507620. Решите уравнение:

Уравнение равносильно системе:

Уравнение решений не имеет. Учитывая, что получаем:

Ответ:

№ 507633. Решите уравнение

Левая часть уравнения имеет смысл при Приравняем числитель к нулю:

Учитывая условие получаем, что числа не являются решениями данного уравнения. Учитывая условие получаем, что числа не являются решениями данного уравнения.

Ответ:

№ 507656. Решите уравнение

Перейдём к системе:

Решим первое уравнение:

Учитывая, что получаем:

Ответ:

№ 507659. Решите уравнение

Найдем нули числителя:

Учитывая, что получаем:

Ответ:

Как решать смешанные уравнения 11 класс

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Решим уравнение

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)

Это синус вначале нужно писать

Нет. Нужно внимательно читать решение задачи, и следить за смыслом, а не бездумно механически действовать по заученным формулам.

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Преобразуем исходное уравнение:

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ : а) б)

если же tgx=1,то там рассматриваются два корня: x=п/4+2пn x=5п/4+2пn

и как раз через эти два корня я нашла корни,принадлежащие промежутку,но почему в ответе под а у вас одно решение?

эти две точки можно объединить, что у нас и сделано

почему при решении было выполнено деление на 3^cos(x), ведь тогда теряется корень 3^cos(x)=0?

такого корня нет, поэтому он не теряется

Извиняюсь, что задаю вопрос не совсем по теме, но когда вообще МОЖНО делить на неизвестное, а когда нельзя? Я не одну статью прочитал на эту тему, но все понять не могу. Одни говорят, что можно, но при этом происходит потеря корней, а другие говорят — что можно и делают это, третьи говорят, что будет потеря корней, но это МОЖНО делать.

Короче говоря. как мне кажется, это самая не разобранная тема. О ней вообще нет инфы в должном обьеме. Пожалуйста, обьсните в кратце, когда МОЖНО, а когда НЕЛЬЗЯ.

p.s. я понял, что МОЖНО, вроде как, когда не происходит изменение ОДЗ, но опять же, а когда оно проиходит?

Думаю, мне не одному этот вопрос требуется.

Подробный ответ ЗДЕСЬ невозможен. Лучше задать его, нажав ссылку «Помощь по заданию».

Если кратко, то правило простое: НЕЛЬЗЯ делить на нуль. На положительные и отрицательные числа делить можно, соблюдая правила.

Число положительно при любом значении , поэтому на него можно делить.

В уравнении , если Вы поделите на , то потеряете корень . Поэтому делить на нельзя.

Выход может быть таким: рассмотрите два случая

1. , тогда верное равенство. Значит − корень.

2. , тогда и на него можно поделить. Получим .

Ответ:

А вот уравнение можно делить на . Потому что по ОДЗ , а значит на ОДЗ