Как решать трех системы уравнений способом подстановки

Математика

Тестирование онлайн

Система линейных уравнений

Обычно уравнения системы записывают в столбик одно под другим и объединяют фигурной скобкой

Система уравнений такого вида, где a, b, c — числа, а x, y — переменные, называется системой линейных уравнений.

При решении системы уравнений используют свойства, справедливые для решения уравнений.

Решение системы линейных уравнений способом подстановки

Рассмотрим пример

1) Выразить в одном из уравнений переменную. Например, выразим y в первом уравнении, получим систему:

2) Подставляем во второе уравнение системы вместо y выражение 3х-7:

3) Решаем полученное второе уравнение:

4) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Система уравнений имеет единственное решение: пару чисел x=1, y=-4. Ответ: (1; -4), записывается в скобках, на первой позиции значение x, на второй — y.

Решение системы линейных уравнений способом сложения

Решим систему уравнений из предыдущего примера методом сложения.

1) Преобразовать систему таким образом, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными. Умножим первое уравнение системы на «3».

2) Складываем почленно уравнения системы. Второе уравнение системы (любое) переписываем без изменений.

3) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Решение системы линейных уравнений графическим способом

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может: а) иметь единственное решение; б) не иметь решений; в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Графическое решение системы

Метод введения новых переменных

Замена переменных может привести к решению более простой системы уравнений, чем исходная.

Рассмотрим решение системы

Введем замену , тогда

Переходим к первоначальным переменным

Особые случаи

Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных.

Пусть дана система

1) Если , то система имеет единственное решение.

2) Если , то система решений не имеет. В этом случае прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны и не совпадают.

3) Если , то система имеет бесконечное множество решений. В этом случае прямые совпадают друг с другом.

Метод Гаусса*

Суть метода в последовательном исключении неизвестных, приводя систему линейных уравнений к ступенчатой форме.

Системы линейных уравнений с тремя переменными

Линейным уравнением называется уравнение вида:

В этом уравнении — неизвестные, а — действительные (или комплексные) числа. При этом называются коэффициентами уравнения, а — свободным членом.

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Из трех способов решения этих систем: графического, способа подстановки и способа сложения остается два последних способа. Графический способ уже не проходит, так как пришлось бы находить точку пересечения трех плоскостей. А это трудно изобразить.

Способ подстановки для трех уравнений похож на способ подстановки для двух уравнений с двумя неизвестными, только у этого способа на один шаг больше. Первое: выражаем одно из неизвестных из одного уравнения через два остальных неизвестных и подставляем это выражение в оставшиеся два уравнения. Эти оставшиеся два уравнения составляют систему из двух уравнений с двумя неизвестными. А дальше решаем эту полученную систему и находим два неизвестных, а затем, зная их, и третье неизвестное.

Пример 1 Решить систему уравнений: способом подстановки.

Выразим из первого уравнения через остальные неизвестные и свободный член. Найденное выражение подставим в остальные уравнения.

Далее, оставляя первое уравнение в покое, решаем систему из двух получившихся уравнений с неизвестными и (предварительно разделив обе части второго уравнения на ).

Получили единственное решение системы

Рассмотрим теперь способ сложения. Так же как и для двух уравнений с двумя неизвестными, нужно при помощи сложения уравнений добиться, чтобы одно из неизвестных пропало.Приведем пример.

Пример 2 Решить систему уравнений: способом сложения.

Постараемся получить два уравнения с двумя неизвестными. Избавимся от неизвестной . Для этого удвоенное первое уравнение сложим почленно с удвоенным вторым уравнением, а удвоенное второе уравнение прибавим к третьему уравнению:

Далее производим почленное сложение двух уравнений с двумя неизвестными, исключая неизвестную :

Из последнего уравнения системы находим . Подставляя найденное значение во второе уравнение, находим . Наконец из первого уравнения находим . Итак — единственное решение системы.

В заключении решим задачу, которая приводится к системе с тремя неизвестными.

Задача В трех урнах — шариков. В первой урне шариков больше чем во второй на столько, сколько шариков в третьей урне. Число шариков во второй урне относится к числу шариков в третьей урне как . Сколько шариков в каждой урне?

Обозначим число шариков в 1-й, 2-й и 3-й урнах через соответственно. Тогда первое условие задачи дает уравнение , второе условие — , а третье условие — . Запишем три полученные уравнения в систему, сделав предварительно третье уравнение линейным:

Складывая почленно первые два уравнения находим .Решаем систему из двух оставшихся уравнений:

Итак, в урнах соответственно и шариков.

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

Система линейных уравнений с тремя переменными

Линейное уравнение с тремя переменными и его решение

Уравнение вида ax+by+cz = d , где a, b, c, d — данные числа, называется линейным уравнением с тремя переменными x, y и z.

Например: $2x+5y+z = 8; -x+1, 5y+2z = 0; \frac<1> <2>x-8y-5z = 7$

Уравнение с тремя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x,y и z.

Например: $2x^2+xz+y^2+yz^2 = 3,x-5y^2+z^3 = 1, 7x^3+y+xyz = 7$

Решением уравнения с тремя переменными называется упорядоченная тройка значений переменных (x,y,z), обращающая это уравнение в тождество.

О тождествах – см. §3 данного справочника

Например: для уравнения 2x+5y+z=8 решениями являются тройки x = -2, y = 1, z = 7; x = -1, y = 1, 6 , z = 2; x = -3, y = 2, 4, z = 2 и т.д. Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Геометрическим представлением линейного уравнения с тремя переменными является плоскость в трёхмерном координатном пространстве .

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом подстановки

Алгоритм метода подстановки для системы уравнений с тремя переменными аналогичен алгоритму для двух переменных (см.§45 данного справочника)

Например: решить систему

$$ <\left\< \begin 3x+2y-z = 8 \\ x-y+z = -2 \\ 2x-3y-5z = 1 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3(y-z-2)+2y-z = 8 \\ x = y-z-2 \\ 2(y-z-2)-3y-5z = 1 \end \right.> \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow <\left\< \begin x = y-z-2 \\ 5y-4z = 14 \\ -y-7z = 5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = y-z-2 \\ y = -7z-5 \\ 5(-7z-5)-4z = 14 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = y-z-2 \\ y = -7z-5 \\ -39z = 39 \end \right.> \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow <\left\< \begin x = 2-(-1)-2 = 1 \\ y = -7\cdot(-1)-5 = 2 \\ z = -1 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 1 \\ y = 2 \\ z = -1 \end \right.> $$

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера

Для системы с 3-мя переменными действуем по аналогии.

Дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными:

$$ <\left\< \begin a_1 x+b_1 y+c_1 z = d_1 \\ a_2 x+b_2 y+c_2 z = d_2 \\ a_3 x+b_3 y+c_3 z = d_3 \end \right.> $$

Определим главный определитель системы:

$$ \Delta = \begin a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end $$

и вспомогательные определители :

$$ \Delta_x = \begin d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end, \Delta_y = \begin a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end, \Delta_z = \begin a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end $$

Тогда решение системы:

Соотношение значений определителей, расположения плоскостей и количества решений:

Три плоскости пересекаются в одной точке

Три плоскости параллельны

Две или три плоскости совпадают или пересекаются по прямой

Бесконечное множество решений

Осталось определить правило вычисления определителя 3-го порядка.

Таких правил несколько, приведём одно из них (так называемое «раскрытие определителя по первой строке»):

$$ \Delta = \begin a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end = a_1 = \begin b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end — b_1 = \begin a_2 & c_2 \\ a_3 & c_3 \end + c_1 = \begin a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end = $$

$$ = a_1 (b_2 c_3-b_3 c_2 )-b_1 (a_2 c_3-a_3 c_2 )+c_1 (a_2 b_3-a_3 b_2 )$$

Примеры

Пример 1. Найдите решение системы уравнений методом подстановки:

$$<\left\< \begin z = 3x+2y-13 \\ 2x-y+3(3x+2y-13) = -2 \\ x+2y-(3x+2y-13) = 9 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin z = 3x+2y-13 \\ 11x+5y = 37 \\ -2x = -4 \end \right.> \Rightarrow $$

$$\Rightarrow <\left\< \begin z = 3\cdot2+2\cdot3-13 = -1 \\ y = \frac<37-11\cdot2> <5>= 3 \\ x = 2 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 2 \\ y = 3 \\ z = -1 \end \right.> $$

$$ <\left\< \begin x = -y-3z+6 \\ 2(-y-3z+6)-5y-z = 5\\ (-y-3z+6)+2y-5z = -11 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = -y-3z+6 \\ -7y-7z = -7 |:(-7) \\ y-8z = -17 \end \right.> \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow <\left\< \begin x = -y-3z+6 \\ y+z = 1 \\ y-8z = -17 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = -y-3z+6 \\ 9z = 18 \\ y = 1-z \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 1-6+6 = 1 \\ z = 2 \\ y = 1-2 = -1 \end \right.> \Rightarrow$$

Пример 2. Найдите решение системы уравнений методом Крамера:

$$ \Delta = \begin 3 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3\\ 1 & 2 & -1 \end = 3 = \begin -1 & 3 \\ 2 & -1 \\ \end — 2 = \begin 2 & 3 \\ 1 & -1 \\ \end — 1 = \begin 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end = $$

$$ \Delta_x = \begin 13 & 2 & -1 \\ -2 & -1 & 3 \\ 9 & 2 & -1 \\ \end = 13 = \begin -1 & 3 \\ 2 & -1 \\ \end — 2 = \begin -2 & 3 \\ 9 & -1 \\ \end — 1 = \begin -2 & -1 \\ 9 & 2 \\ \end = $$

$$ \Delta_y = \begin 3 & 13 & -1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 1 & 9 & -1 \\ \end = 3 = \begin -2 & 3 \\ 9 & -1 \\ \end — 13 = \begin 2 & 3 \\ 1 & -1 \\ \end — 1 = \begin 2 & -2 \\ 1 & 9 \\ \end = $$

$$ \Delta_z = \begin 3 & 2 & 13 \\ 2 & -1 & -2 \\ 1 & 2 & 9 \\ \end = 3 = \begin -1 & -2 \\ 2 & 9 \\ \end — 2 = \begin 2 & -2 \\ 1 & 9 \\ \end + 13 = \begin 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end = $$

$$ \Delta = \begin 1 & 1 & 3 \\ 2 & -5 & -1\\ 1 & 2 & -5 \end = 1 = \begin -5 & -1 \\ 2 & -5 \\ \end — 1 = \begin 2 & -1 \\ 1 & -5 \\ \end + 3 = \begin 2 & -5 \\ 1 & 2 \\ \end = $$

$$ \Delta_x = \begin 6 & 1 & 3 \\ 5 & -5 & -1 \\ -11 & 2 & -5 \\ \end = 6 = \begin -5 & -1 \\ 2 & -5 \\ \end — 1 = \begin 5 & -1 \\ -11 & -5 \\ \end + 3 = \begin 5 & -5 \\ -11 & 2 \\ \end = $$

$$ = 6(25+2)—(-25-11)+3(10-55) = 162+36-135 = 63 $$

$$ \Delta_y = \begin 1 & 16 & 3 \\ 2 & 5 & -1 \\ 1 & -11 & -5 \\ \end = 1 = \begin 5 & -1 \\ -11 & -5 \\ \end — 6 = \begin 2 & -1 \\ 1 & -5 \\ \end + 3 = \begin 2 & 5 \\ 1 & -11 \\ \end = $$

$$ \Delta_z = \begin 1 & 1 & 6 \\ 2 & -5 & 5 \\ 1 & 2 & -11 \\ \end = 1 = \begin -5 & 5 \\ 2 & -11 \\ \end — 1 = \begin 2 & 5 \\ 1 & -11 \\ \end + 6 = \begin 2 & -5 \\ 1 & 2 \\ \end = $$

Пример 3*. Решите систему уравнений относительно x,y,и z:

$$ a \neq b, b \neq c, a \neq c $$

Решаем методом замены:

$$ <\left\< \begin z = -(a^3+a^2 x+ay)\\ b^3+b^2 x+by-(a^3+a^2 x+ay) = 0 \\ c^3+c^2 x+cy-(a^3+a^2 x+ay) = 0 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \beginz = -(a^3+a^2 x+ay)\\ (b^2-a^2 )x+(b-a)y = a^3-b^3 \\ (c^2-a^2 )x+(c-a)y = a^3-c^3 \end \right.> $$

Т.к. $ a \neq b$ второе уравнение можно сократить на $(a-b) \neq 0$

Т.к.$ a \neq c$ третье уравнение можно сократить на $(a-с) \neq 0 $. В третьем уравнении после сокращения поменяем знаки:

Из второго уравнения получаем:

Т.к. $b \neq c$ можно сократить на $(b-c) \neq 0$:

$$ z = -(a^3+a^2 x+ay) = -a^3+a^2 (a+b+c)-a(ab+ac+bc) = $$

$$ = -a^3+a^3+a^2 b+a^2 c-a^2 b-a^2 c-abc = -abc $$