ЕГЭ Профиль №13. Тригонометрические уравнения
13 задания профильного ЕГЭ по математике представляет собой уравнение с отбором корней принадлежащих заданному промежутку. Одним из видов уравнений которое может оказаться в 13 задание является тригонометрическое уравнение. Как правило, это достаточно простое тригонометрическое уравнение для решения которого потребуется знания основных тригонометрических формул, и умение решать простейшие тригонометрические уравнения. Отбор корней тригонометрического уравнения принадлежащих заданному промежутку можно производить одним из четырех способов: методом перебора, с помощью тригонометрической окружности, с помощью двойного неравенства и графическим способом. В данном разделе представлены тригонометрические уравнения (всего 226) разбитые на три уровня сложности. Уровень А — это простейшие тригонометрические уравнения, которые являются подготовительными для решения реальных тригонометрических уравнений предлагаемых на экзамене. Уровень В — состоит из уравнений, которые предлагали на реальных ЕГЭ и диагностических работах прошлых лет. Уровень С — задачи повышенной сложности.
Основные виды тригонометрических уравнений (задание 13)
Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды тригонометрических уравнений и способы их решения.
\(\blacktriangleright\) Квадратные тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: \[<\Large
то такое уравнение с помощью замены \(f(x)=t\) сводится к квадратному уравнению.
Часто при решении таких уравнений используются
основные тождества: \[\begin
формулы двойного угла: \[\begin
Пример 1. Решить уравнение \(6\cos^2x-13\sin x-13=0\)
С помощью формулы \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\) уравнение сводится к виду:
\(6\sin^2x+13\sin x+7=0\) . Сделаем замену \(t=\sin x\) . Т.к. область значений синуса \(\sin x\in [-1;1]\) , то \(t\in[-1;1]\) . Получим уравнение:
\(6t^2+13t+7=0\) . Корни данного уравнения \(t_1=-\dfrac76, \ t_2=-1\) .
Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену:
\(\sin x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac<\pi>2+2\pi n, n\in\mathbb
Пример 2. Решить уравнение \(5\sin 2x=\cos 4x-3\)
С помощью формулы двойного угла для косинуса \(\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha\) имеем:
\(\cos4x=1-2\sin^22x\) . Сделаем эту подстановку и получим:
\(2\sin^22x+5\sin 2x+2=0\) . Сделаем замену \(t=\sin 2x\) . Т.к. область значений синуса \(\sin 2x\in [-1;1]\) , то \(t\in[-1;1]\) . Получим уравнение:
\(2t^2+5t+2=0\) . Корни данного уравнения \(t_1=-2, \ t_2=-\dfrac12\) .
Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену: \(\sin 2x=-\dfrac12 \Rightarrow x_1=-\dfrac<\pi><12>+\pi n, \ x_2=-\dfrac<5\pi><12>+\pi n, n\in\mathbb
Пример 3. Решить уравнение \(\mathrm
Т.к. \(\mathrm
\(t+\dfrac3t+4=0 \Rightarrow \dfrac
Сделаем обратную замену:
\(\blacktriangleright\) Кубические тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: \[<\Large
то такое уравнение с помощью замены \(f(x)=t\) сводится к кубическому уравнению.
Часто при решении таких уравнений в дополнение к предыдущим формулам используются
формулы тройного угла: \[\begin
Пример 4. Решить уравнение \(11\cos 2x-3=3\sin 3x-11\sin x\)
При помощи формул \(\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x\) и \(\cos2x=1-2\sin^2x\) можно свести уравнение к уравнению только с \(\sin x\) :
\(12\sin^3x-9\sin x+11\sin x-3+11-22\sin^2 x=0\) . Сделаем замену \(\sin x=t, \ t\in[-1;1]\) :
\(6t^3-11t^2+t+4=0\) . Подбором находим, что один из корней равен \(t_1=1\) . Выполнив деление в столбик многочлена \(6t^3-11t^2+t+4\) на \(t-1\) , получим:
\((t-1)(2t+1)(3t-4)=0 \Rightarrow\) корнями являются \(t_1=1, \ t_2=-\dfrac12, \ t_3=\dfrac43\) .
Таким образом, корень \(t_3\) не подходит. Сделаем обратную замену:
\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения второй степени: \[I. \quad <\Large>, \quad a\ne 0,c\ne 0\]
Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\) , при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\) . Действительно, если \(\cos x=0\) , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin^2 x=0\) , откуда следует, что и \(\sin x=0\) . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\) , то \(\sin x=\pm 1\) .
Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.
Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos^2 x\) или на \(\sin^2 x\) . Разделим, например, на \(\cos^2 x\) :
Таким образом, данное уравнение при помощи деления на \(\cos^2x\) и замены \(t=\mathrm
\(at^2+bt+c=0\) , способ решения которого вам известен.
Уравнения вида \[I’. \quad <\Large>, \quad a\ne0,c\ne 0\] с легкостью сводятся к уравнению вида \(I\) с помощью использования основного тригонометрического тождества: \[d=d\cdot 1=d\cdot (\sin^2x+\cos^2x)\]
Заметим, что благодаря формуле \(\sin2x=2\sin x\cos x\) однородное уравнение можно записать в виде
\(a\sin^2 x+b\sin 2x+c\cos^2x=0\)
Пример 5. Решить уравнение \(2\sin^2x+3\sin x\cos x=3\cos^2x+1\)
Подставим вместо \(1=\sin^2x+\cos^2x\) и получим:
\(\sin^2x+3\sin x\cos x-4\cos^2x=0\) . Разделим данное уравнение на \(\cos^2x\) :
\(\mathrm
\(t^2+3t-4=0\) . Корнями являются \(t_1=-4, \ t_2=1\) . Сделаем обратную замену:
\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad <\Large>, a\ne0, b\ne 0\]
Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\) , при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\) . Действительно, если \(\cos x=0\) , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin x=0\) , откуда следует, что и \(\sin x=0\) . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\) , то \(\sin x=\pm 1\) .
Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.
Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos x\) или на \(\sin x\) . Разделим, например, на \(\cos x\) :
\(a \ \dfrac<\sin x><\cos x>+b \ \dfrac<\cos x><\cos x>=0\) , откуда имеем \(a\mathrm
Пример 6. Решить уравнение \(\sin x+\cos x=0\)
Разделим правую и левую части уравнения на \(\sin x\) :
\(1+\mathrm
\(\blacktriangleright\) Неоднородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad <\Large>, a\ne0, b\ne 0, c\ne 0\]
Существует несколько способов решения подобных уравнений. Рассмотрим те из них, которые можно использовать для любого такого уравнения:
1 СПОСОБ: при помощи формул двойного угла для синуса и косинуса и основного тригонометрического тождества: \(<\large<\sin x=2\sin<\dfrac x2>\cos<\dfrac x2>, \qquad \cos x=\cos^2 <\dfrac x2>-\sin^2 <\dfrac x2>,\qquad c=c\cdot \Big(\sin^2 <\dfrac x2>+\cos^2 <\dfrac x2>\Big)>>\) данное уравнение сведется к уравнению \(I\) :
Пример 7. Решить уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)
Распишем \(\sin 2x=2\sin x\cos x, \ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2 x, \ -1=-\sin^2 x-\cos^2x\) . Тогда уравнение примет вид:
\((1+\sqrt3)\sin^2x+2\sin x\cos x+(1-\sqrt3)\cos^2x=0\) . Данное уравнение с помощью деления на \(\cos^2x\) и замены \(\mathrm
\((1+\sqrt3)t^2+2t+1-\sqrt3=0\) . Корнями этого уравнения являются \(t_1=-1, \ t_2=\dfrac<\sqrt3-1><\sqrt3+1>=2-\sqrt3\) . Сделаем обратную замену:
2 СПОСОБ: при помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла: \[\begin
Пример 8. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)
\(\dfrac<(\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3><1+t^2>=0 \Rightarrow (\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3=0\) (т.к. \(1+t^2\geqslant 1\) при всех \(t\) , то есть всегда \(\ne 0\) )
Таким образом, мы получили то же уравнение, что и, решая первым способом.
3 СПОСОБ: при помощи формулы вспомогательного угла.
\[<\large\,\sin (x+\phi),>> \quad \text <где >\cos \phi=\dfrac a<\sqrt>\]
Для использования данной формулы нам понадобятся формулы сложения углов: \[\begin
Пример 9. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)
Т.к. мы решаем уравнение, то можно не преобразовывать левую часть, а просто разделить обе части уравнения на \(\sqrt<1^2+(-\sqrt3)^2>=2\) :
\(\dfrac12\sin 2x-\dfrac<\sqrt3>2\cos 2x=-\dfrac12\)
Заметим, что числа \(\dfrac12\) и \(\dfrac<\sqrt3>2\) получились табличные. Можно, например, взять за \(\dfrac12=\cos \dfrac<\pi>3, \ \dfrac<\sqrt3>2=\sin \dfrac<\pi>3\) . Тогда уравнение примет вид:
\(\sin 2x\cos \dfrac<\pi>3-\sin \dfrac<\pi>3\cos 2x=-\dfrac12 \Rightarrow \sin\left(2x-\dfrac<\pi>3\right)=-\dfrac12\)
Решениями данного уравнения являются:
Заметим, что при решении уравнения третьим способом мы добились “более красивого” ответа (хотя ответы, естественно, одинаковы), чем при решении первым или вторым способом (которые, по сути, приводят уравнение к одному и тому же виду).
Таким образом, не стоит пренебрегать третьим способом решения данного уравнения.
\(\blacktriangleright\) Если тригонометрическое уравнение можно свести к виду \[<\Large>, \text <где >a\ne 0, b\ne 0,\] то с помощью формулы \[<\large<(\sin x\pm\cos x)^2=1\pm2\sin x\cos x>> \ \ (*)\] данное уравнение можно свести к квадратному.
Для этого необходимо сделать замену \(t=\sin x\pm \cos x\) , тогда \(\sin x\cos x=\pm \dfrac
Заметим, что формула \((*)\) есть не что иное, как формула сокращенного умножения \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\) при подстановке в нее \(A=\sin x, B=\cos x\) .
Пример 10. Решить уравнение \(3\sin 2x+3\cos 2x=16\sin x\cos^3x-8\sin x\cos x\) .
Вынесем общий множитель за скобки в правой части: \(3\sin 2x+3\cos 2x=8\sin x\cos x(2\cos^2 x-1)\) .
По формулам двойного угла \(2\sin x\cos x=\sin 2x, 2\cos^2x-1=\cos 2x\) имеем: \[3(\sin 2x+\cos 2x)=4\sin 2x\cos 2x\] Заметим, что полученное уравнение как раз записано в необходимом нам виде. Сделаем замену \(t=\sin 2x+\cos 2x\) , тогда \(\sin 2x\cos 2x=\dfrac
По формулам вспомогательного аргумента \(\sin2x+\cos 2x=\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)\) , следовательно, сделав обратную замену: \[\left[ \begin
\(\Rightarrow \left[ \begin
\(\blacktriangleright\) Формулы сокращенного умножения в тригонометрическом варианте:
\(I\) Квадрат суммы или разности \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\) :
\((\sin x\pm \cos x)^2=\sin^2 x\pm 2\sin x\cos x+\cos^2x=(\sin^2 x+\cos^2 x)\pm 2\sin x\cos x=1\pm \sin 2x\)
\(II\) Разность квадратов \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) :
\((\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x\)
\(III\) Сумма или разность кубов \(A^3\pm B^3=(A\pm B)(A^2\mp AB+B^2)\) :
\(\sin^3x\pm \cos^3x=(\sin x\pm \cos x)(\sin^2x\mp \sin x\cos x+\cos^2x)=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \sin x\cos x)=\)
\(=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \frac12\sin 2x)\)
\(IV\) Куб суммы или разности \((A\pm B)^3=A^3\pm B^3\pm 3AB(A\pm B)\) :
\((\sin x\pm \cos x)^3=(\sin x\pm \cos x)(\sin x\pm \cos x)^2=(\sin x\pm \cos x)(1\pm \sin 2x)\) (по первой формуле)
Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня
Уравнения
В 13 задании профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо решить уравнение, но уже повышенного уровня сложности, так как с 13 задания начинаются задания бывшего уровня С, и данное задание можно назвать С1. Перейдем к рассмотрению примеров типовых заданий.
Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике профильного уровня
Первый вариант задания (демонстрационный вариант2018)
Алгоритм решения:
- При помощи тригонометрических формул приводим уравнение к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию.
- Заменяем эту функцию переменной t и решаем получившееся квадратное уравнение.
- Делаем обратную замену и решаем
Простейшие (Protozoa) — тип одноклеточных животных.
- Строим числовую ось.
- Наносим на нее корни.
- Отмечаем концы отрезка.
- Выбираем те значения, которые лежат внутри промежутка.
- Записываем ответ.
Решение:
сos2x = 1 – sin x.
Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу косинуса двойного аргумента, с использованием синуса:
Получаем такое уравнение: 1−sin 2 x=1− sinx Теперь в уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция sinx. 2. Вводим замену: t = sinx. Решаем получившееся квадратное уравнение:
3. Делаем обратную замену:
Решаем эти уравнения:
Следовательно, получаем два семейства решений. Пункт б):
1. В предыдущем пункте получено два семейства, в каждом из которых бесконечно много решений. Необходимо выяснить, какие из них, находятся в заданном промежутке. Для этого строим числовую прямую.
2. Наносим на нее корни обоих семейств, пометив их зеленым цветом (первого) и синим (второго).
3. Красным цветом помечаем концы промежутка. 4. В указанном промежутке расположены три
Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.
Второй вариант задания (из Ященко, №1)
Алгоритм решения:
- Заменяем эту функцию переменной t и решаем получившееся квадратное уравнение.
- Делаем обратную замену и решаем простейшие показательные, потом тригонометрические уравнения.
- Строим координатную плоскость и окружность единичного радиуса на ней.
- Отмечаем точки, являющиеся концами отрезка.
- Выбираем те значения, которые лежат внутри отрезка.
- Записываем ответ.
Решение:
Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.
D=b 2 – c = 81 – 4∙4∙2 =49,
3. Возвращаемся к переменной х: Пункт б) 1. Строим координатную плоскость и окружность единичного радиуса на ней. 2. Отмечаем точки, являющиеся концами отрезка. 3. Выбираем те значения, которые лежат внутри отрезка.. Это корни . Их два. Ответ: а) б)
Третий вариант задания (из Ященко, № 6)
Алгоритм решения:
- При помощи тригонометрических формул приводим уравнение к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию.
- Заменяем эту функцию переменной t и решаем получившееся квадратное уравнение.
- Делаем обратную замену и решаем простейшие показательные, а затем тригонометрические уравнения.
- Решаем неравенства для каждого случая.
- Записываем ответ.
http://shkolkovo.net/theory/24
http://spadilo.ru/zadanie-13-ege-po-matematike-profilnyj/