Как решать тригонометрические уравнения на промежутке

Решение тригонометрических уравнений на промежутке

Разделы: Математика

Цель урока:

а) закрепить умения решать простейшие тригонометрические уравнения;

б) научить выбирать корни тригонометрических уравнений из заданного промежутка

Ход урока.

1. Актуализация знаний.

а)Проверка домашнего задания: классу дано опережающее домашнее задание – решить уравнение и найти способ выбора корней из данного промежутка.

1)cos x = -0,5, где хI [- ]. Ответ: .

2) sin x = , где хI [0;2?]. Ответ: ; .

3)cos 2x = —, где хI [0;]. Ответ:

Ученики записывают решение на доске кто-то с помощью графика, кто-то методом подбора.

В это время класс работает устно.

Найдите значение выражения:

а) tg – sin + cos + sin . Ответ: 1.

б) 2arccos 0 + 3 arccos 1. Ответ: ?

в) arcsin + arcsin . Ответ: .

г) 5 arctg (-) – arccos (-). Ответ:– .

– Проверим домашнее задание, откройте свои тетради с домашними работами.

Некоторые из вас нашли решение методом подбора, а некоторые с помощью графика.

2. Вывод о способах решения данных заданий и постановка проблемы, т. е. сообщение темы и цели урока.

– а) С помощью подбора решать сложно, если задан большой промежуток.

– б) Графический способ не даёт точных результатов, требует проверку, и занимает много времени.

– Поэтому должен быть ещё как минимум один способ, наиболее универсальный -попробуем его найти. Итак, чем мы будем заниматься сегодня на уроке? (Учиться выбирать корни тригонометрического уравнения на заданном промежутке.)

– Пример 1. (Ученик выходит к доске)

cos x = -0,5, где хI [- ].

Вопрос: Отчего зависит ответ на данное задание? (От общего решения уравнения. Запишем решение в общем виде). Решение записывается на доске

х = + 2?k, где k R.

– Запишем это решение в виде совокупности:

– Как вы считаете, при какой записи решения удобно выбирать корни на промежутке? (из второй записи). Но это ведь опять способ подбора. Что нам необходимо знать, чтобы получить верный ответ? (Надо знать значения k).

(Составим математическую модель для нахождения k).

1 уровень: № 295 (а,б), № 317 (а,б)

2 уровень: № 307 (в), № 308 (б), № 326(б), № 327(б).

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

Тригонометрические уравнения

Решение простейших тригонометрических уравнений

Градусы и радианы

Знакомство с тригонометрической окружностью

Повороты на тригонометрической окружности

Как много боли связано со словом тригонометрия. Эта тема появляется в 9 классе и уже никуда не исчезает. Тяжело приходится тем, кто чего-то не понял сразу. Попробуем это исправить, чтобы осветить ваше лицо улыбкой при слове тригонометрия или хотя бы добиться «poker face».

Начнем с того, что как длину можно выразить в метрах или милях, так и угол можно выразить в радианах или градусах .

1 радиан = 180/π ≈ 57,3 градусов

Но проще запомнить целые числа: 3,14 радиан = 180 градусов. Это все одно и то же значение числа π.

Вспомним, что если нас просят развернуться, то нам нужно повернуться на 180 градусов, а теперь можно так же сказать: Повернись на π!

О графиках синуса, косинуса и тангеса поговорим в другой статье.

А сейчас начем с декартовой (прямоугольной) системы координат.

Раньше она помогала строить графики, а теперь поможет с синусом и косинусом.

На пересечении оси Х и оси Y построим единичную (радиус равен 1) окружность:

Тогда ось косинусов будет совпадать с х, ось синусов с y. Оси тангенсов и котангенсов также показаны на рисунке.

А теперь отметим основные значения градусов и радиан на окружности.

Давай договоримся с тобой, как взрослые люди: на окружности мы будем отмечать угол в радианах, то есть через Пи.

Достаточно запомнить, что π = 180° (тогда π/6 = 180/6 = 30°; π/3 = 180/3 = 60°; π/4 = 180/4 = 45°).

А теперь давай покрутимся на окружности! За начало отчета принято брать крайнюю правую точку окружности (где 0°):

От нее задаем дальнейший поворот. Вращаться можем как в положительную сторону (против часовой), так и в отрицательную сторону (по часовой стрелке).

Повернуться на 45° можно двумя спобами: через левое плечо на 45° в (+) сторону, либо через правое плечо на 315° в (-).

Главное — направление, куда мы будем смотреть, а не угол!

Нужно направить пунктир на 100 баллов, а сколько оборотов и в какую сторону вокруг себя мы сделаем — без разницы!

Получить 100 баллов можно поворотом на 135° или 360°+135°, или -225°, или -225°-360°.

А теперь у тебя есть два пути:

Выучить всю окружность (тригонометр). Неплохой вариант, если с памятью у тебя все отлично, и ничего не вылетит из головы в ответственный момент:

А можно запомнить несколько табличных углов и соответствующие им значения, а потом использовать их.

Находите равные углы (вертикальные, соответственные) на тригонометрической окружности. Попасть в любую точку можно с помощью суммы или разности двух табличных значений.

Сразу попробуем разобрать на примере:

1) Помним, что ось cos(x) — это горизонтальная ось. На ней отмечаем значение ½ и проводим перпендикулярную (фиолетовую) прямую до пересечений с окружностью.

2) Получили две точки пересечения с окружностью, значение этих углов и будет решением уравнения.

Дело за малым — найти эти углы.

Лучше обойтись «малой кровью» и выучить значение синуса и косинуса для углов от 30° до 60°.

Или запомнить такой прием:

Пронумеруй пальцы от 0 до 4 от мизинца до большого. Угол задается между мизинцем и любым другим пальцем (от 0 до 90).

Например, требуется найти sin(π/2) : π/2 — это большой палец, n = 4 подставляем в формулу для синуса: sin(π/2) = √4/2 = 1 => sin(π/2) = 1.

cos(π/4) — ? π/4 соответсвует среднему пальцу (n = 2) => cos(π/4) = √2/2.

При значении cos(x) = ½ из таблицы или с помощью мнемонического правила находим x = 60° (первая точка x = +π/3 из-за того, что поворот происходил против часовой стерелки (+), угол показан черной дугой).

Вторая же точка соответствует точно такому же углу, только поворот будет по часовой стрелке (−). x = −π/3 (угол показан нижней черной дугой).

И последнее, прежде чем тебе, наконец, откроются тайные знания тригонометрии:

Когда требуется попасть в «100 баллов», мы можем в них попасть с помощью поворота на . =-225°=135°=495°=.

То же самое и здесь! Разные углы могут отражать одно и то же направление.

Абсолютно точно можно сказать, что нужно повернуться на требуемый угол, а дальше можно поворачиваться на 360° = 2π (синим цветом) сколько угодно раз и в любом направлении.

Таким образом, попасть в первое направление 60° можно: . 60°-360°, 60°, 60°+360°.

И как записать остальные углы, не записывать же бесконечное количество точек? (Хотел бы я на это посмотреть☻)

Поэтому правильно записать ответ: x = 60 + 360n, где n — целое число (n∈Ζ) (поворачиваемся на 60 градусов, а после кружимся сколько угодно раз, главное, чтобы направление осталось тем же). Аналогично x = −60 + 360n.

Но мы же договорились, что на окружности все записывают через π, поэтому cos(x) = ½ при x = π/3 + 2πn, n∈Ζ и x = −π/3 + 2πk, k∈Ζ.

Ответ: x = π/3 + 2πn, x= − π/3 + 2πk, (n, k) ∈Ζ.

Пример №2. 2sinx = √2

Первое, что следует сделать, это перенести 2-ку вправо => sinx=√2/2

1) sin(x) совпадает с осью Y. На оси sin(x) отмечаем √2/2 и проводим ⊥ фиолетовую прямую до пересечений с окружностью.

2) Из таблицы sinx = √2/2 при х = π/4, а вторую точку будем искать с помощью поворота до π, а затем нужно вернуться обратно на π/4.

Поэтому вторая точка будет x = π − π/4 = 3π/4, в нее также можно попасть и с помощью красных стрелочек или как-то по-другому.

И еще не забудем добавить +2πn, n∈Ζ.

Ответ: 3π/4 + 2πn и π/4 + 2πk, k и n − любые целые числа.

Пример №3. tg(x + π/4) = √3

Вроде все верно, тангенс равняется числу, но смущает π/4 в тангенсе. Тогда сделаем замену: y = x + π/4.

tg(y) = √3 выглядит уже не так страшно. Вспомним, где ось тангенсов.

1) А теперь на оси тангенсов отметим значение √3, это выше чем 1.

2) Проведем фиолетовую прямую через значение √3 и начало координат. Опять на пересечении с окружностью получается 2 точки.

По мнемоническому правилу при тангенсе √3 первое значение — это π/3.

3) Чтобы попасть во вторую точку, можно к первой точке (π/3) прибавить π => y = π/3 + π = 4π/3.

4) Но мы нашли только y , вернемся к х. y = π/3 + 2πn и y = x + π/4, тогда x + π/4 = π/3 + 2πn => x = π/12 + 2πn, n∈Ζ.

Второй корень: y = 4π/3 + 2πk и y = x + π/4, тогда x + π/4 = 4π/3 + 2πk => x = 13π/12 + 2πk, k∈Ζ.

Теперь корни на окружности будут здесь:

Ответ: π/12 + 2πn и 13π/12 + 2πk, k и n — любые целые числа.

Конечно, эти два ответа можно объединить в один. От 0 поворот на π/12, а дальше каждый корень будет повторяться через каждый π (180°).

Ответ можно записать и так: π/12 + πn, n∈Ζ.

Пример №4: −10ctg(x) = 10

Перенесем (−10) в другую часть: ctg(x) = −1. Отметим значение -1 на оси котангенсов.

1) Проведем прямую через эту точку и начало координат.

2) Придется опять вспомнить, когда деление косинуса на синус даст еденицу (это получается при π/4). Но здесь −1, поэтому одна точка будет −π/4. А вторую найдем поворотом до π, а потом назад на π/4 (π − π/4).

Можно это сделать по-другому (красным цветом), но мой вам совет: всегда отсчитывайте от целых значений пи (π, 2π, 3π. ) так намного меньше шансов запутаться.

Не забываем добавить к каждой точке 2πk.

Ответ: 3π/4 + 2πn и −π/4 + 2πk, k и n — любые целые числа.

Алгоритм решения тригонометрических уравнений (на примере cos(x) = − √ 3/2) :

1. Отмечаем значение (−√3/2) на оси тригонометрической функции (косинусов, это ось Х).
2. Проводим перпендикулярную прямую оси (косинусов) до пересечений с окружностью.
3. Точки пересечения с окружностью и будут являться корнями уравнения.
4. Значение одной точки (без разницы, как в нее попадете) +2πk.

Азов достаточно, прежде чем идти дальше закрепите полученные знания.