Уравнения с одной переменной
Уравнением с одной переменной — это равенство, содержащее только одну переменную. Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.
Содержание:
Определение уравнения. Корни уравнения
Равенство с переменной f(x) = g (х) называют уравнением с одной переменной х, если поставлена задача найти все те же значения х, при которых равенство с переменной обращается в верное числовое равенство. Всякое значение переменной, при котором выражения /(х) и g(x) принимают равные числовые значения, называют корнем уравнения.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Пример 1.
Уравнение 3 + х = 7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной равенство 3 + х = 7 является верным.
Пример 2.
Уравнение (х — 1)(х — 2) = 0 имеет два корня: 1 и 2.
Пример 3.
Уравнение 
не имеет действительных корней.
Заметим, что можно говорить и о мнимых корнях уравнений. Так, уравнение 
имеет два мнимых корня: 
(см. п. 47). Всюду ниже речь идет только о действительных корнях уравнений.
Равносильность уравнений
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.
Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3. Равносильны и уравнения 
— ни одно из них не имеет корней.
Уравнения 
неравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и — 6.
В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.
Теорема 1.
Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.
Например, уравнение 
равносильно уравнению 
Теорема 2.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Например, уравнение 
равносильно уравнению 
(обе части первого уравнения мы умножили на 3).
Линейные уравнения
Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида
где 
— действительные числа; 
называют коэффициентом при переменной, 
— свободным членом.
Для линейного уравнения 
могут представиться три случая:
1) 
; в этом случае корень уравнения равен 
;
2) 
; в этом случае уравнение принимает вид 
, что верно при любом х, т. е. корнем уравнения служит любое действительное число;
3) 
; в этом случае уравнение принимает вид 
, оно не имеет корней.
Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.
Пример 1.
Решить уравнение 
Решение:
По теореме 1 (см. п. 135), данное уравнение равносильно уравнению 
. Если разделить обе части этого уравнения на коэффициент при х, то по теореме 2 получим равносильное данному уравнение 
. Итак, 
— корень уравнения.
Пример 2.
Решение:
Это уравнение сводится к линейному уравнению. Умножив обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4, 6,12), получим
Квадратные уравнения
где 
— действительные числа, причем 
, называют квадратным уравнением. Если 
, то квадратное уравнение называют приведенным, если 
, то неприведенным. Коэффициенты имеют следующие названия: 
— первый коэффициент, 
— второй коэффициент, с — свободный член. Корни уравнения 
находят по формуле
Выражение 
называют дискриминантом квадратного уравнения (1). Если D О, то уравнение имеет два действительных корня.
В случае, когда D = О, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Используя обозначение 
, можно переписать формулу (2) в виде 
Если 
, то формулу (2) можно упростить:
Формула (3) особенно удобна, если 
— целое число, т. е. коэффициент 
— четное число.
Пример 1.
Решение:
Здесь 
. Имеем:
Так как 
, то уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле (2):
Итак, 
— корни заданного уравнения.
Пример 2.
Решить уравнение 
Решение:
Здесь 
По формуле (3) находим 
т. е. х = 3 — единственный корень уравнения.
Пример 3.
Решить уравнение 
Решение:
Здесь 
Так как D 0, откуда х>3, и 5 — х > 0, откуда х 5, тогда как для уравнения (2) областью определения служит вся числовая прямая. Поэтому найденное значение х = 4, являющееся корнем уравнения (2), может оказаться посторонним корнем для уравнения (1). В данном случае именно это и происходит, поскольку х = 4 не принадлежит области определения уравнения (1) (не удовлетворяет неравенству х > 5). Итак, х = 4 — посторонний корень, т. е. заданное уравнение не имеет корней.
Рациональные уравнения
Уравнение f(x) = g(x) называют рациональным, если f(x) и g(x) — рациональные вьфажения. При этом если f(x) и g(x) — целые выражения, то уравнение называют целым; если же хотя бы одно из выражений f(х), g(x) является дробным, то рациональное уравнение f(x) = g(x) называют дробным.
Например, целыми являются линейные (см. п. 136), квадратные (см. п. 137) уравнения.
Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:
1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;
2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;
3) решить полученное целое уравнение;
4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Пример:
Решение:
Общим знаменателем имеющихся дробей является 2х(2 — х). Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей. Имеем:
Из уравнения 
находим 
(см. п. 137). Осталось проверить, обращают ли найденные корни выражение 2х(2 — х) в нуль, т. е. проверить выполнение условия 
Замечаем, что 2 не удовлетворяет этому условию, а 4 удовлетворяет. Значит, х = 4 — единственный корень уравнения.
Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители
Суть этого метода состоит в следующем. Пусть нужно решить уравнение р(х) = 0, где р(х) — многочлен степени 
. Предположим, что удалось разложить многочлен на множители:
, где 
— многочлены более низкой степени, чем . Тогда уравнение р(х) = 0 принимает вид 
. Если 
— корень уравнения 
а потому хотя бы одно из чисел равно нулю.
Значит, — корень хотя бы одного из уравнений
Верно и обратное: если 
— корень хотя бы одного из уравнений 
то — корень уравнения 
т. е. уравнения р (х) = 0.
Итак, если 
, где — многочлены, то вместо уравнения р(х) = 0 нужно решить совокупность уравнений 
Все найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения р(х) = 0.
Пример 1.
Решить уравнение 
Решение:
Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем 
откуда 
Значит, либо х + 2 = 0, либо 
. Из первого уравнения находим х = — 2, второе уравнение не имеет корней. Итак, получили ответ: -2.
Метод разложения на множители применим к любым уравнениям вида р(х) = 0, где р(х) необязательно многочлен. Пусть 
но среди выражений 
есть выражения более сложного вида, чем многочлены (например, иррациональные, логарифмические и т. д.). Среди корней уравнений 
могут быть посторонние для уравнения р(х) = 0.
Пример 2.
Решить уравнение 
Решение:
Имеем 
; значит, либо 
, либо 
.Из уравнения 
находим х = 0, из уравнения 
находим 
.
Но х = -3 не удовлетворяет исходному уравнению, так как при этом значении не определено выражение 
. Это посторонний корень.
Итак, уравнение имеет два корня: 3; 0.
Решение уравнений методом введения новой переменной
Суть этого метода поясним на примерах.
Пример 1.
Решение:
Положив 
, получим уравнение
откуда находим 
. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений
Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.
Из второго квадратного уравнения находим 
. Это корни заданного уравнения.
Пример 2.
Решение:
Положим 
, тогда
и уравнение примет вид
Решив это уравнение (см. п. 145), получим
Но 
. Значит, нам остается решить совокупность уравнений
Из первого уравнения находим 
, 
; из второго уравнения получаем 
Тем самым найдены четыре корня заданного уравнения.
Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называют уравнение вида
Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив 
, придем к квадратному уравнению 
Пример:
Решить уравнение 
.
Решение:
Положив 
, получим квадратное уравнение , откуда находим 
. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений 
Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим 
Это — корни заданного биквадратного уравнения.
Решение задач с помощью составления уравнений
С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и т. д. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.
1) Вводят переменные, т. е. буквами х, у, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.
2) С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют систему уравнений (или одно уравнение).
3) Решают составленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.
4) Если буквами х, у, z обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.
Задача 1.
Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано первоначально?
Решение: Обозначим через х количество машин, затребованных первоначально. Тогда на самом деле было вызвано (х + 4) машин. Так как надо было перевезти 60 т груза, то предполагалось, что на одну машину будут грузить 
т груза, а на самом деле грузили 
т груза, что на 0,5 т меньше, чем предполагалось. В результате мы приходим к уравнению
Это уравнение имеет два корня: х = -24, х = 20. Ясно, что по смыслу задачи значение х = —24 не подходит. Таким образом, первоначально было затребовано 20 машин.
Задача 2.
Моторная лодка, движущаяся со скоростью 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки.
Решение:
Пусть х км/ч — скорость течения реки. Тогда лодка, собственная скорость которой 20 км/ч, идет по течению со скоростью (20 + х) км/ч, а против течения — со скоростью (20 — х) км/ч. Время, за которое лодка пройдет путь между пунктами по течению, составит 
ч, а время, за которое лодка пройдет обратный путь, составит 
ч. Так как путь туда и обратно лодка проходит за 6 ч 15 мин, т. е. 
ч, приходим к уравнению
решив которое, находим два корня: х = 4, х = -4. Ясно, что значение х = -4 не подходит по смыслу задачи. Итак, скорость течения реки равна 4 км/ч.
Задача 3.
Найти двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.
Решение:
Напомним, что любое двузначное число может быть записано в виде 10х + у, где х — цифра десятков, а у — цифра единиц. Согласно условию, если х — цифра десятков, то цифра единиц равна х + 2 и мы получаем
Решив это уравнение, найдем 
Второй корень не подходит по смыслу задачи.
Итак, цифра десятков равна 2, цифра единиц равна 4; значит, искомое число равно 24.
Задача 4.
Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй рабочий, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?
Решение:
Производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени (обозначим ее через А), и время, необходимое для выполнения всей работы (обозначим его через t), — взаимно обратные величины, т. е. At = 1. Поэтому если обозначить через х ч время, необходимое для выполнения всей работы первому рабочему, а через (х + 5) ч — второму, то часть работы, выполняемая первым рабочим за 1 ч, равна 
, а часть работы, выполняемая вторым рабочим за 1 ч, равна 
Согласно условию, они, работая вместе, выполнили всю работу за 6 ч. Доля работы, выполненная за 6 ч первым рабочим, есть 
, а доля работы, выполненная за 6 ч вторым рабочим, есть 
Так как вместе они выполнили всю работу, т. е. доля выполненной работы равна 1, получаем уравнение
решив которое, найдем х = 10.
Итак, первый рабочий может выполнить всю работу за 10 ч, а второй — за 15 ч.
Задача 5.
Из сосуда емкостью 54 л, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?
Решение:
Пусть в первый раз было вылито х л кислоты. Тогда в сосуде осталось (54 — х) л кислоты. Долив сосуд водой, получили 54 л смеси, в которой растворилось (54 — х) л кислоты. Значит, в 1 л смеси содержится 
л кислоты (концентрация раствора). Во второй раз из сосуда вылили х л смеси, в этом количестве смеси содержалось 
л кислоты. Таким образом, в первый раз было вылито х л кислоты, во второй 
л кислоты, а всего
за два раза вылито 54 — 24 = 30 л кислоты. В результате приходим к уравнению
Решив это уравнение, найдем два корня: 
и 
. Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.
Итак, в первый раз было вылито 18 л кислоты.
Задача 6.
Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?
Решение:
Пусть масса добавленного олова составляет х кг. Тогда получится сплав массой (12 + х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется 0,4(12 + х) кг меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т. е. меди в нем было 
. Так как масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, приходим к уравнению
Решив это уравнение, получим х = 1,5. Таким образом, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.
Задача 7.
Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30% ?
Решение:
Пусть масса стали первого сорта равна х т, тогда стали второго сорта надо взять (140 — х) т. Содержание никеля в стали первого сорта составляет 5%; значит, в х т стали первого сорта содержится 0,05л; т никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет 40%; значит, в (140 — х) т стеши второго сорта содержится 0,4 (140 — х) т никеля. По условию после соединения взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с 30% -ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной стали должно быть 0,3 * 140 т никеля. Но это количество никеля складывается из 0,05л; т, содержащихся в стали первого сорта, и из 0,4 (140 — х) т, содержащихся в стали второго сорта. Таким образом, приходим к уравнению
0,05х + 0,4 (140 — х) = 0,3 * 140,
из которого находим х = 40. Следовательно, надо взять 40 т стали с 5% -ным и 100 т стали с 40% -ным содержанием никеля.
Иррациональные уравнения
Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Например, иррациональными являются уравнения 
Используются два основных метода решения иррациональных уравнений:
1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
2) метод введения новых переменных (см. п. 147).
Метод возведения обеих частей уравнения в одну
и ту же степень состоит в следующем:
а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду
б) возводят обе части полученного уравнения в п-ю степень:
в) учитывая, что 
, получают уравнение
г) решают уравнение и, в случае четного п, делают проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней (см. п. 142). Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.
Пример 1.
Решить уравнение 
Решение:
Возведем обе части уравнения в шестую степень; получим х — 3 = 64, откуда х = 67.
Проверка:
Подставив 67 вместо х в данное уравнение, получим 
, т. е. 2 = 2 — верное равенство.
Ответ: 67.
Пример 2.
Решение:
Преобразуем уравнение к виду
и возведем обе части его в квадрат. Получим
Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:
откуда 
Проверка:
1) При х = 5 имеем
— верное равенство.
Таким образом, х = 5 является корнем заданного уравнения.
2) При х = 197 имеем 
Таким образом, х = 197 — посторонний корень.
Ответ: 5.
Пример 3.
Решение:
Применим метод введения новой переменной.
Положим 
и мы получаем уравнение 
, откуда находим 
Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений
Возведя обе части уравнения 
в пятую степень, получим х — 2 = 32, откуда х = 34.
Уравнение 
не имеет корней, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.
Ответ: 34.
Показательные уравнения
Показательное уравнение вида
где 
равносильно уравнению f(х) = g(x).
Имеются два основных метода решения показательных уравнений:
1) метод уравнивания показателей, т. е. преобразование заданного уравнения к виду а затем к виду f(х) = g(x);
2) метод введения новой переменной.
Пример 1.
Решить уравнение 
Решение:
Данное уравнение равносильно уравнению 
откуда находим 
Решив это квадратное уравнение, получим 
Пример 2.
Решение:
Приведем все степени к одному основанию 
. Получим уравнение 
которое преобразуем к виду 
Уравнение равносильно уравнению х = 2х — 3, откуда находим х = 3.
Пример 3.
Решить уравнение 
Решение:
Применим метод введения новой переменной. Так как 
,то данное уравнение можно переписать в виде
Введем новую переменную, положив 
Получим квадратное уравнение 
с корнями 
Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений 
Из первого уравнения находим х = 2. Второе уравнение не имеет корней, так как 
при любых значениях х.
Ответ: 2.
Логарифмические уравнения
Чтобы решить логарифмическое уравнение вида
где 
нужно:
1) решить уравнение f(x) = g(x);
2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам f(x) > 0 и g(x) > 0; остальные корни уравнения f(x) = g(x) являются посторонними для уравнения (1).
Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений:
1) метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду 
затем к виду f(x) = g(x);
2) метод введения новой переменной.
Пример 1.
Решение:
Перейдем от заданного уравнения к уравнению 
и решим его. Имеем 
Проверку найденных значений х выполним с помощью неравенств 
Число -3 этим неравенствам удовлетворяет, а число 4 — нет. Значит, 4 — посторонний корень.
Ответ: -3.
Пример 2.
Решение:
Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения (см. п. 120), преобразуем уравнение к виду
Из последнего уравнения находим 
Осталось сделать проверку. Ее можно выполнить с помощью системы неравенств
Подставив поочередно найденные значения -1 и -5,5 в эти неравенства, убеждаемся, что -1 удовлетворяет всем неравенствам, а -5,5 — нет, например при этом значении не выполняется первое неравенство. Значит, -5,5 — посторонний корень.
Ответ: -1.
Пример 3.
Решение:
Так как 
заданное уравнение можно переписать следующим образом:
Введем новую переменную, положив 
Получим
Но 
; из уравнения 
находим х = 4.
Ответ: 4.
Примеры решения показательно-логарифмических уравнений
Пример 1.
Решение:
Область определения уравнения: х > 0. При этом условии выражения, входящие в обе части уравнения (1), принимают только положительные значения. Прологарифмировав обе части уравнения (1) по основанию 10, получим уравнение
равносильное уравнению (1). Далее имеем 
Полагая 
получим уравнение 
, откуда 
Остается решить совокупность уравнений 
Из этой совокупности получим 
— корни уравнения (1).
Здесь применен метод логарифмирования, заключающийся в переходе от уравнения f(x) = g(x) к уравнению
Пример 2.
(2)
Решение:
Воспользовавшись определением логарифма, преобразуем уравнение (2) к виду
Полагая 
, получим уравнение 
корнями которого являются 
Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений
Так как 
, а -1 0 и мы получаем
если 
, то D = 0 и мы получаем 
, т. е. (поскольку ) 
.
Итак, если 
то действительных корней нет; если 
= 1, то 
; если ,то ; если 
и 
, то
Пример 3.
При каких значениях параметра уравнение
имеет два различных отрицательных корня?
Решение:
Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня 
его дискриминант должен быть положительным. Имеем
Значит, должно выполняться неравенство 
По теореме Виета для заданного уравнения имеем
Так как, по условию, 
, то 
и 
В итоге мы приходим к системе неравенств (см. п. 177):
Из первого неравенства системы находим (см. п. 180, 183) 
; из второго 
; из третьего 
. С помощью координатной прямой (рис. 1.107) находим, что либо 
, либо 
Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:
Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
math4school.ru
Уравнения в целых числах
Немного теории
Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.
Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение
не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.
Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.
В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.
При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:
способ перебора вариантов;
применение алгоритма Евклида;
представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;
разложения на множители;
решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;
метод бесконечного спуска.
Задачи с решениями
1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2y 2 = 7.
Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.
Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:
1) x – 2y = 7, x + y = 1;
2) x – 2y = 1, x + y = 7;
3) x – 2y = –7, x + y = –1;
4) x – 2y = –1, x + y = –7.
Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).
Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).
2. Решить в целых числах уравнение:
а) 20х + 12у = 2013;
в) 201х – 1999у = 12.
а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: решений нет.
б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,
Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то
Значит, общее решение:
х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,
где k – произвольное целое число.
Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.
в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:
НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.
Запишем этот процесс в обратном порядке:
1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =
= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =
= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.
Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел
x0 = 1273·12 = 15276, y0 = 128·12 = 1536
является решением уравнения 201х – 1999у = 12.
Общее решение этого уравнения запишется в виде
х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,
или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),
х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.
Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.
3. Решить в целых числах уравнение:
а) x 3 + y 3 = 3333333;
б) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).
а) Так как x 3 и y 3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x 3 + y 3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: целочисленных решений нет.
б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2 ) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: целочисленных решений нет.
а) в простых числах уравнение х 2 – 7х – 144 = у 2 – 25у;
б) в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 .
а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим
у = х + 9 или у = 16 – х.
Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).
Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем
С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).
Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).
б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:
x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.
Дискриминант этого уравнения равен –3y 2 + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.
Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).
5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 ?
Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y 3 и z 3 будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь вид
Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно много, а именно, это все числа вида 2n 2 +1. Подставляя в x 2 (x–1) = 2y 2 такое число, после несложных преобразований получаем:
y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.
Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).
6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.
Число x 2 + y 2 + z 2 + u 2 чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.
Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 делится на 4, но при этом 2xyzu не делится на 4 – несоответствие.
Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 – опять несоответствие.
Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что
и исходное уравнение примет вид
Теперь заметим, что (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x1, y1, z1, u1 нечётны, то x1 2 + y1 2 + z1 2 + u1 2 не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x1 2 + y1 2 + z1 2 + u1 2 не делится даже на 4. Значит,
и мы получаем уравнение
Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2 n при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.
7. Докажите, что уравнение
(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30
не имеет решений в целых числах.
Воспользуемся следующим тождеством:
(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(х – у)(y – z)(z – x).
Тогда исходное уравнение можно записать в виде
(х – у)(y – z)(z – x) = 10.
Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде
Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у 2 .
если х = 1, то у 2 = 1,
если х = 3, то у 2 = 9.
Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:
Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как
5! + 6! + . . . + х! = 10n,
можем записать, что
1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.
Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.
Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).
9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:
a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).
3abc > 0, то a 3 > b 3 + c 3 ;
таким образом имеем
b 2 2 + х = у 4 + у 3 + у 2 + у.
Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:
х(х + 1) = у(у + 1)(у 2 + 1),
х(х + 1) = (у 2 + у)(у 2 + 1)
Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому, приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:
Произведение (у 2 + у)(у 2 + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля, только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х5 = 5, х6 = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:
Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)
Задачи без решений
1. Решить в целых числах уравнение:
б) х 2 + у 2 = х + у + 2.
2. Решить в целых числах уравнение:
а) х 3 + 21у 2 + 5 = 0;
б) 15х 2 – 7у 2 = 9.
3. Решить в натуральных числах уравнение:
4. Доказать, что уравнение х 3 + 3у 3 + 9z 3 = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение
5. Доказать, что уравнение х 2 + 5 = у 3 в целых числах не имеет решений.
Алгебра
План урока:
Целое уравнение и его степень
Ранее мы уже изучали понятие целого выражения. Так называют любое выражение с переменной, в котором могут использоваться любые арифметические операции, а также возведение в степень. Однако есть важное ограничение – в целом выражении переменная НЕ может находиться в знаменателе какой-нибудь дроби или быть частью делителя. Также переменная не может находиться под знаком корня. Для наглядности приведем примеры целых выражений:
(n 3 + 7)/5 (в знаменателе находится только число, без переменной);
А вот примеры нецелых выражений:
Отличительной особенностью целых выражений является то, что в них переменная может принимать любое значение. В нецелых же выражениях возникают ограничения на значения переменной, ведь знаменатель дроби не должен равняться нулю, в выражение под знаком корня не должно быть отрицательным.
Введем понятие целого уравнения.
Приведем примеры целых ур-ний:
0,75х 7 + 0,53х 6 – 45х = 18
Напомним, что в математике существует понятие равносильных уравнений.
Когда мы решаем ур-ния, мы в каждой новой строчке записываем ур-ние, равносильное предыдущему. Для этого используются равносильные преобразования (перенос слагаемых через знак «=» с противоположным знаком, деление обоих частей равенства на одинаковые числа и т. д.).
Можно доказать (мы этого делать не будем), что любое целое ур-ние можно возможно преобразовать так, чтобы получилось иное, равносильное ему ур-ние, где в левой части будет находиться многочлен, а справа – ноль. Для этого надо лишь раскрыть скобки и умножить ур-ние на какое-нибудь число, чтобы избавиться от дробей.
Пример. Преобразуйте целое ур-ние
так, чтобы слева стоял многочлен, а справа – ноль.
Решение. В ур-нии есть дроби со знаменателями 5 и 4. Если умножить обе части на 20 (это наименьшее общее кратное чисел 5 и 4), то дроби исчезнут:
Теперь раскроем скобки:
4(5х 3 – 3х 4 + 45х – 27х 2 ) – 40 = 10х 2 + 5х + 35
20х 3 – 12х 4 + 180х – 108х 2 – 40 = 10х 2 + 5х + 35
Осталось перенести все слагаемые влево и привести подобные слагаемые:
20х 3 – 12х 4 + 180х – 108х 2 – 40 – 10х 2 – 5х – 35 = 0
– 12х 4 + 20х 3 – 118х 2 + 175х – 75 = 0
Получили ур-ние в той форме, которую и надо было найти по условию.
Ответ:– 12х 4 + 20х 3 – 118х 2 + 175х – 75 = 0
В математике любой полином можно обозначить как Р(х). Если ур-ние привели к тому виду, когда в одной части многочлен, а в другой ноль, то говорят, что получили ур-ние вида Р(х) = 0.
Получается, что решение целого уравнения всегда можно свести к решению равносильного ему ур-ния Р(х) = 0. Именно поэтому многочлены играют такую большую роль в математике
Напомним, что степенью многочлена называется максимальная степень входящего в его состав одночлена. Это же число является и степенью целого уравнения Р(х) = 0, а также степенью любого равносильного ему целого ур-ния.
Пример. Определите степень ур-ния
(х 3 – 5)(2х + 7) = 2х 4 + 9
Решение. Приведем ур-ние к виду Р(х) = 0. Для этого раскроем скобки:
(х 3 – 5)(2х + 7) = 2х 4 + 9
2х 4 + 7х 3 – 10х – 35 = 2х 4 + 9
Перенесем все слагаемые влево и приведем подобные слагаемые:
2х 4 + 7х 3 – 10х – 35 – 2х 4 – 9 = 0
7х 3 – 10х – 44 = 0
Получили в левой части многочлен 3-ей степени. Следовательно, и исходное ур-ние имело такую же степень
Приведем примеры ур-ний первой степени:
5,4568у + 0,0002145 = 0
Все они являются линейными ур-ниями, метод их решения изучался ранее. Они имеют 1 корень.
Приведем примеры ур-ний второй степени:
6t 2 + 98t – 52 = 0
Это квадратные ур-ния. У них не более двух действительных корней. Для их нахождения в общем случае надо вычислить дискриминант и использовать формулу
Квадратные и линейные ур-ния умели решать ещё в Древнем Вавилоне 4 тысячи лет назад! А вот с ур-ния 3-ей степени (их ещё называют кубическими уравнениями) оказались значительно сложнее. Приведем их примеры:
2х 3 + 4х 2 – 19х + 17 = 0
Лишь в 1545 году итальянец Джералимо Кардано опубликовал книгу, в которой описывался общий алгоритм решения кубических ур-ний. Он достаточно сложный и не входит в школьный курс математики. Его ученик, Лодовико Феррари, предложил метод решения ур-ний четвертой степени. В качестве примера такого ур-ния можно привести:
5х 4 + 6х 3 – 2х 2 – 10х + 1 = 0
Лишь в XIX веке было доказано, что для ур-ний более высоких степеней (5-ой, 6-ой и т. д.) не существует универсальных формул, с помощью которых можно было бы найти их корни.
Отметим, что если степень целого ур-ния равна n, то у него не более n корней (но их число может быть и меньше). Так, количество корней кубического уравнения не превышает трех, а у ур-ния 4-ой степени их не более 4.
Чтобы доказать это утверждение, сначала покажем способ составления уравнения Р(х) = 0, имеющего заранее заданные корни. Пусть требуется составить ур-ние, имеющее корни k1, k2,k3,…kn. Приравняем к нулю следующее произведение скобок:
Составленное ур-ние имеет все требуемые корни и никаких других корней. Действительно, произведение множителей может равняться нулю только в случае, если хотя бы один из множителей нулевой. Поэтому для решения ур-ния
надо каждую скобку приравнять к нулю:
х – k1 = 0 или х – k2 = 0 или х – k3 = 0 или…х – kn = 0
Перенесем второе слагаемое вправо в каждом равенстве и получим:
Чтобы вместо произведения скобок слева стоял многочлен, надо просто раскрыть скобки.
Пример. Составьте уравнение в виде Р(х) = 0, имеющее корни 1, 2, 3 и 4.
Запишем целое ур-ние, имеющее требуемые корни:
(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4) = 0
Будем поочередно раскрывать скобки, умножая 1-ую скобку на 2-ую, полученный результат на 3-ю и т.д.:
(х 2 – 3х + 2)(х – 3)(х – 4) = 0
(х 3 – 6х 2 + 11х – 6)(х – 4) = 0
х 4 – 10х 3 + 35х 2 – 50х +24 = 0
Получили ур-ние вида Р(х) = 0. Для проверки вычислений можно подставить в него числа 1, 2, 3 и 4 и убедиться, что они обращают ур-ние в верное равенство.
Ответ: х 4 – 10х 3 + 35х 2 – 50х +24 = 0
Заметим, что в рассмотренном примере, когда мы перемножали многочлены, мы получали новый полином, чья степень увеличивалась на единицу. Мы перемножили 4 скобки (х – k1), а потому получили полином 4 степени. Если бы мы перемножали, скажем, 10 таких скобок, то и многочлен бы получился 10-ой степени. Именно поэтому ур-ние n-ой степени не более n корней.
Действительно, предположим, что какое-то ур-ние n-ой степени имеет хотя бы (n + 1) корень. Обозначим эти корни как k1, k2,k3,…kn, kn+1 и запишем уравнение:
Оно, по определению, равносильно исходному ур-нию, ведь оно имеет тот же набор корней. Слева записаны (n + 1) скобок, поэтому при их раскрытии мы получим полином степени (n + 1). Значит, и исходное ур-ние на самом деле имеет степень n + 1, а не n. Получили противоречие, которое означает, что на самом деле у уравнения n-ой степени не более n корней.
Особо акцентируем внимание на том факте, что если корнями уравнения являются некоторые числа k1, k2,k3,…kn, то этому ур-нию равносильна запись (х – k1)(х – k2)(х – k3)…(х – kn) = 0
Этот факт будет использован далее при решении ур-ний.
Решение уравнений методом подбора корня
Необязательно преобразовывать ур-ние, чтобы найти его корни. Одним из приемов решения целых уравнений является метод подбора корня. Ведь если надо доказать, что какое-то число – это корень ур-ния, достаточно просто подставить это число в ур-ние и получить справедливое равенство!
Пример. Докажите, что корнями ур-ния
х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0
являются только числа (– 1), 1 и 2.
Решение. Подставим в ур-ние каждую из предполагаемых корней и получим справедливое равенство. При х = – 1 имеем:
(– 1) 3 – 2(– 1) 2 – (– 1) + 2 = 0
При х = 1 получаем:
1 3 – 2•1 2 – 1 + 2 = 0
Наконец, рассмотрим случай, когда х = 2
2 3 – 2•2 2 – 2 + 2 = 0
Исходное ур-ние имеет 3-ю степень, поэтому у него не более 3 корней. То есть других корней, кроме (– 1), 1 и 2 , у него нет.
Конечно, просто так подобрать корни довольно тяжело. Однако есть некоторые правила, которые помогают в этом. Для начала введем понятие коэффициентов уравнения.
Понятно, что ур-ние Р(х) = 0 в общем виде можно записать так:
Числа а0, а1, а2,…аnи называют коэффициентами уравнений.
Например, для уравнения
5х 4 – 7х 3 + 9х 2 – х + 12 = 0
Если одна из слагаемых «пропущено» в уравнении, то считают, что коэффициент перед ним равен нулю. Например, в ур-нии
нет слагаемого с буквенной частью х 2 . Можно считать, что ур-ние равносильно записи
х 3 + 0х 2 + 2х – 15 = 0
где слагаемое х 2 есть, но перед ним стоит ноль. Тогда коэффициент а1 = 0.
Для обозначения первого коэффициента а0 может использоваться термин старший коэффициент, а для последнего коэффициента аn – термин «свободный член» или «свободный коэффициент».
Изучение коэффициентов ур-ния помогает быстрее подобрать корень. Существует следующая теорема:
Докажем это утверждение. Пусть m – это целый корень уравнения с целыми коэффициентами
Тогда можно подставить туда число m и получить верное равенство:
Поделим обе его части на m и получим
Справа – целое число (ноль), значит, и сумма чисел слева также целая. Все числа а0m n –1 , a1m n –2 , аn–1, очевидно, целые (так как и целыми являются и m, и все коэффициенты). Значит, и число аn/m должно быть целым. Но это возможно лишь в том случае, если m является делителем числа аn.
Из доказанной теоремы следует, что при подборе корней ур-ния достаточно рассматривать только те из них, которые являются делителями свободного члена. При этом следует учитывать и отрицательные делители.
Пример. Найдите целые корни уравнения
2х 4 – х 3 – 9х 2 + 4х + 4 = 0
Решение. Все коэффициенты ур-ния – целые, а потому целый корень должен быть делителем свободного члена, то есть числа 4. Делителями четверки являются 1 и (– 1), 2 и (– 2), 4 и (– 4). Подставляя каждое из этих чисел в ур-ние, получим верные равенства только для чисел 1, 2 и (– 2):
2•1 4 – 1 3 – 9•1 2 + 4•1 + 4 = 2 – 1 – 9 + 4 + 4 = 0
2•2 4 – 2 3 – 9•2 2 + 4•2 + 4 = 32 – 8 – 36 + 8 + 4 = 0
2•(– 2) 4 – (– 2) 3 – 9•(– 2) 2 + 4(– 2) + 4 = 32 + 8 – 36 – 8 + 4 = 0
Таким образом, только эти числа и могут быть целыми корнями ур-ния. Так как мы рассматриваем ур-ние 4 степени, то, возможно, у него помимо 3 целых корней есть ещё один дробный.
Пример. Решите ур-ние
0,5х 3 + 0,5х + 5 = 0
Решение. У ур-ния дробные коэффициенты. Умножим обе части равенства на 2 и получим ур-ние с целыми коэффициентами:
0,5х 3 + 0,5х + 5 = 0
(0,5х 3 + 0,5х + 5)•2 = 0•2
Попытаемся подобрать целый корень ур-ния. Он должен быть делителем свободного члена, то есть десятки. Возможными кандидатами являются числа 1 и (– 1), 2 и (– 2), 5 и (– 5), 10 и (– 10). Подходит только корень х = – 2:
(– 2) 3 + (– 2) + 10 = – 8 – 2 + 10 = 0
Обратим внимание, что в левой части ур-ния стоит сумма функций, возрастающих на всей числовой прямой: у = х 3 и у = х + 10. Значит, и вся левая часть х 3 + х + 10 монотонно возрастает. Это значит, что у ур-ния есть только один корень, и мы его нашли ранее подбором.
Ещё быстрее можно узнать, является ли единица корнем уравнения.
Докажем это. Подставим в ур-ние
значение х = 1. Так как единица в любой степени равна самой единице, то получим:
Получили равенство, в котором слева стоит сумма коэффициентов, в справа – ноль. Если сумма коэффициентов действительно равна нулю, то равенство верное, а, значит, единица является корнем ур-ния.
Пример. Укажите хотя бы 1 корень ур-ния
499х 10 – 9990х 7 + 501х 6 – 10х 5 + 10000х 4 – 1000 = 0
Решение. Заметим, что при сложении коэффициентов ур-ния получается 0:
499 – 9990 + 501 – 10 + 10000 – 1000 = (499 + 501 – 1000) + (10000 – 9990 – 10) = 0 + 0 = 0
Следовательно, единица является его корнем.
Решение уравнений с помощью разложения многочлена на множители
Если в уравнении вида P(x) = 0в левой части удается выполнить разложение многочлена на множители, то дальше каждый из множителей можно отдельно приравнять к нулю.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Степень х 4 можно представить как (х 2 ) 2 , а 16 – как 4 2 . Получается, что слева стоит разность квадратов, которую можно разложить на множители по известной формуле:
(х 2 – 4)(х 2 + 4) = 0
Приравняем каждую скобку к нулю и получим два квадратных ур-ния:
х 2 – 4 = 0 или х 2 + 4 = 0
х 2 = 4 или х 2 = – 4
Первое ур-ние имеет два противоположных корня: 2 и (– 2). Второе ур-ние корней не имеет.
Предположим, что у ур-ния 3-ей степени есть 3 корня, и подбором мы нашли один из них. Как найти оставшиеся корни? Здесь помогает процедура, известная как «деление многочленов в столбик». Продемонстрируем ее на примере. Пусть надо решить ур-ние
100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = 0
Можно заметить, сумма всех коэффициентов ур-ния равна нулю:
100 – 210 + 134 – 24 = 0
Следовательно, первый корень – это 1.
Предположим, что у исходного ур-нияР(х) = 0 есть 3 корня, k1, k2и k3. Тогда ему равносильно другое ур-ние
Мы нашли, что первый корень k1 = 1, то есть
Обозначим как P1(x) = 0 ещё одно ур-ние, корнями которого будут только числа k2 и k3. Очевидно, что корнями ур-ния
Будут числа 1, k2 и k3. Его корни совпадают с корнями исходного ур-ния, а потому запишем
(х – 1)•P1(x) = 100х 3 – 210х 2 + 134х – 24
Поделим обе части на (х – 1):
Итак, если «поделить» исходное ур-ние на х – 1, то получим какой-то многочлен Р1(х), причем решением уравнения P1(x) = 0 будут оставшиеся два корня, k2и k3. Деление можно выполнить в столбик. Для этого сначала запишем «делимое» и «делитель», как и при делении чисел:
Смотрим на первое слагаемое делимого. Это 100х 3 . На какой одночлен нужно умножить делитель (х – 1), чтобы получился полином со слагаемым 100х 3 ? Это 100х 2 . Действительно, (х – 1)100х 2 = 100х 3 – 100х 2 . Запишем слагаемое 100х 2 в результат деления, а результат его умножения на делитель, то есть 100х 3 – 100х 2 , вычтем из делимого:
Теперь вычтем из делимого то выражение, которое мы записали под ним. Слагаемые 100х 3 , естественно, сократятся:
(100х 3 – 210х 2 ) – (100х 3 – 100х 2 ) = 100х 3 – 210х 2 – 100х 3 + 100х 2 = – 110х 2
Далее снесем слагаемое 134х вниз:
На какое слагаемое нужно умножить (х – 1), что получился полином со слагаемым (– 110х 2 ). Очевидно, на (– 110х):
(х – 1)(– 110х 2 ) = –110х 2 + 110х
Запишем в поле «ответа» слагаемое (– 110х 2 ), а под делимый многочлен – результат его умножения на (х – 1):
При вычитании из (–110х 2 + 134х) полинома (–110х 2 + 110х) остается 24х. Далее сносим последнее слагаемое делимого многочлена вниз:
Выражение х – 1 нужно умножить на 24, чтобы получить 24х – 24. Запишем в поле «ответа» число 24, а в столбике произведение 24(х –1) = 24х – 24:
В результате в остатке получился ноль. Значит, всё сделано правильно. С помощью деления столбиком мы смогли разложить полином 100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 на множители:
100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = (х – 1)(100х 2 – 110х + 24)
Теперь перепишем исходное ур-ние с учетом этого разложения:
100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = 0
(х – 1)(100х 2 – 110х + 24) = 0
Теперь каждую отдельную скобку можно приравнять нулю. Получим ур-ние х – 1 = 0, корень которого, равный единице, мы уже нашли подбором. Приравняв к нулю вторую скобку, получим квадратное ур-ние:
100х 2 – 110х + 24 = 0
D =b 2 – 4ас = (– 110) 2 – 4•100•24 = 12100 – 9600 = 2500
Итак, мы нашли три корня ур-ния: 1; 0,3 и 0,8.
В данном случае мы воспользовались следующим правилом:
Пример. Решите уравнение
2х 3 – 8х 2 + 16 = 0
Решение. Все коэффициенты целые, а потому, если у уравнения есть целый корень, то он должен быть делителем 16. Перечислим эти делители: 1, – 1, 2, – 2, 4, – 4, 8, – 8, 16, – 16. Из всех них подходит только двойка:
2•2 3 – 8•2 2 + 16 = 16 – 32 + 16 = 0
Итак, первый корень равен 2. Это значит, что исходный многочлен можно разложить на множители, один из которых – это (х – 2). Второй множитель найдем делением в столбик. Так как в многочлене 2х 3 – 8х 2 + 16 нет слагаемого с буквенной часть х, то искусственно добавим её:
2х 3 – 8х 2 + 16 = 2х 3 – 8х 2 + 0х + 16
Теперь возможно деление:
Получили, что 2х 3 – 8х 2 + 16 = (х – 2)(2х – 4х – 8)
С учетом этого перепишем исходное ур-ние:
2х 3 – 8х 2 + 16 = 0
(х – 2)(2х – 4х – 8) = 0
х – 2 = 0 или 2х – 4х – 8 = 0
Решим квадратное ур-ние
D =b 2 – 4ас = (– 4) 2 – 4•2•(– 8) = 16 + 64 = 80
В 8 классе мы узнали, что если у квадратного ур-ния ах 2 + bx + c = 0 есть два корня, то многочлен ах 2 + bx + c можно разложить на множители по формуле
где k1 и k2– корни квадратного ур-ния. Оказывается, такое же действие можно выполнять с многочленами и более высоких степеней. В частности, если у кубического ур-ния есть 3 корня k1, k2 и k3, то его можно разложить на множители по формуле
Пример. Разложите на множители многочлен 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4.
Решение. Целые корни этого многочлена (если они есть), должны быть делителем четверки. Из всех таких делителей подходят три: 1, (– 1) и 2:
2•1 3 – 4•1 2 – 2•1 + 4 = 2 – 4 – 2 + 4 = 0
2•(– 1) 3 – 4•(– 1) 2 – 2•(– 1) + 4 = – 2 – 4 + 2 + 4 = 0
2•2 3 – 4•2 2 – 2•2 + 4 = 16 – 16 – 4 + 4 = 0
Значит, многочлен можно разложить на множители:
2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 2(х + 1)(х – 1)(х – 2)
Возникает вопрос – почему перед скобками нужна двойка? Попробуем сначала перемножить скобки без ее использования:
(х + 1)(х – 1)(х – 2) = (х 2 – 1)(х – 2) = х 3 – 2х 2 – х + 2
Получили не тот многочлен, который стоит в условии. Однако ур-ние
х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0
имеет те же корни (1, 2 и (– 1)), что и ур-ние
2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 0
Дело в том, что это равносильные ур-ния, причем второе получено умножением первого на два:
2•(х 3 – 2х 2 – х + 2) = 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4
Надо понимать, что хотя ур-ния 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 0 и х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0, по сути, одинаковы, многочлены в их левой части различны. Заметим, что при перемножении скобок (х – k1), (х – k2), (х – k3) и т.д. всегда будет получаться полином, у которого старший коэффициент равен единице. Поэтому, чтобы учесть этот самый коэффициент, надо домножить произведение скобок на него:
2х 3 – 4х 2 – 2х + 4= 2•(х 3 – 2х 2 – х + 2) = 2(х + 1)(х – 1)(х – 2)
Ответ: 2(х + 1)(х – 1)(х – 2).
Графический метод решения уравнений
Любое ур-ние с одной переменной можно представить в виде равенства
где у(х) и g(x) – некоторые функции от аргумента х.
Построив графики этих функций, можно примерно найти точки их пересечений. Они и будут соответствовать корням уравнения.
Пример. Решите графически уравнение
Решение. Строить график уравнения х 3 – х 2 – 1 = 0 довольно сложно, поэтому перенесем слагаемое (– х 2 – 1) вправо:
Построим графики у = х 3 и у = х 2 + 1 (второй можно получить переносом параболы у = х 2 на единицу вверх):
Видно, они пересекаются в точке, примерно соответствующей значению х ≈ 1,4. Если построить графики уравнения более точно (с помощью компьютера), то можно найти, что х ≈ 1,46557.
Ответ: х ≈ 1,46557
Конечно, графический метод решения уравнений не является абсолютно точным, однако он помогает быстро найти примерное положение корня. Также с его помощью можно определить количество корней уравнения. В рассмотренном примере был только 1 корень.
Пример. Определите количество корней уравнений
б) х 3 – 2х + 0,5 = 0
Решение. Перенесем два последних слагаемых вправо в каждом ур-нии:
Построим графики функций у = х 3 , у = х + 3 и у = 2х – 0,5:
Видно, что прямая у = х + 3 пересекает график у = х 3 в одной точке, поэтому у первого ур-ния будет 1 решение.Прямая у = 2х – 0,5 пересекает кубическую параболу в трех точках, а потому у второго ур-ния 3 корня.
Ответ: а) один корень; б) три корня.
Решение дробно-рациональных уравнений
До этого мы рассматривали только целые ур-ния, где переменная НЕ находится в знаменателе какого-нибудь выражения. Однако, если в ур-нии есть выр-ние, содержащее переменную в знаменателе, или присутствует деление на выр-ние с переменной, то его называют дробно-рациональным уравнением.
Приведем несколько примеров ур-ний, считающихся дробно-рациональными:
С помощью равносильных преобразований любое дробно-рациональное ур-ние возможно записать в виде отношения двух полиномов:
Дробь равна нулю лишь тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель – не равен. Таким образом, нужно сначала решить ур-ние Р(х) = 0 и потом проверить, что полученные корни не обращают полином Q(x) в ноль.
Обычно для решения дробно-рациональных уравнений используют такой алгоритм:
1) Приводят все дроби к единому знаменателю, умножают на него ур-ние и получают целое ур-ние.
2) Решают полученное целое ур-ние.
3) Исключают из числа корней те, которые обращают знаменатель хотя бы одной из дробей в ноль.
Пример. Решите ур-ние
Умножим обе части равенства на знаменатель 1-ой дроби:
2х 2 – 3х – 2 = х 2 (х – 2)
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:
2х 2 – 3х – 2 = х 3 – 2х 2
х 3 – 2х 2 – 2х 2 + 3х + 2 = 0
х 3 – 4х 2 + 3х + 2 = 0
У ур-ния могут быть только те целые корни, которые являются делителями двойки. Из кандидатов 1, – 1, 2 и – 2 подходит только двойка:
2 3 – 4•2 2 + 3•2 + 2 = 8 – 16 + 6 + 2 = 0
Нашли один корень, а потому исходный многочлен можно поделить в столбик на (х – 2):
Получили, что х 3 – 4х 2 + 3х + 2 = (х – 2)(х 2 – 2х – 1)
Тогда ур-ние примет вид:
(х – 2)(х 2 – 2х – 1) = 0
х – 2 = 0 или х 2 – 2х – 1 = 0
Решим квадратное ур-ние:
D =b 2 – 4ас = (– 2) 2 – 4•1•(– 1) = 4 + 4 = 8
Мы нашли все 3 корня кубического ур-ния. Теперь надо проверить, не обращают ли какие-нибудь из них знаменатели дроби в исходном ур-нии
в ноль. Очевидно, что при х = 2 знаменатель (х – 2) превратится в ноль:
Это значит, что этот корень надо исключить из списка решений. Такой корень называют посторонним корнем ур-ния.
Также ясно, что два остальных корня не обращают знаменатель в ноль, а потому они НЕ должны быть исключены из ответа:
Пример. Найдите все корни ур-ния
Решение. Если сразу привести выражение слева к общему знаменателю 4(х 2 + х – 2)(х 2 + х – 20), то получится очень длинное и неудобное выражение. Однако знаменатели довольно схожи, поэтому можно провести замену. Обозначим х 2 + х как у:
Тогда уравнение примет вид
Приведем дроби к общему знаменателю 4(у – 2)(у – 20):
Знаменатель должен равняться нулю:
4(у – 20) + 28(у – 2) + (у – 2)(у – 20) = 0
4у – 80 + 28у – 56 + у 2 – 20у – 2у + 40 = 0
у 2 + 10у – 96 = 0
Решаем квадратное ур-ние:
D =b 2 – 4ас = (10) 2 – 4•1•(– 96) = 100 + 384 = 484
Получили, что у1 = – 16, а у2 = 6. Произведем обратную замену:
х 2 + х = – 16 или х 2 + х = 6
х 2 + х + 16 = 0 или х 2 + х – 6 = 0
Дискриминант 1-ого ур-ния отрицателен:
D =b 2 – 4ас = (1) 2 – 4•1•(16) = 1– 64 = – 63
А потому оно не имеет решений. Решим 2-ое ур-ние:
D = b 2 – 4ас = (1) 2 – 4•1•(– 6) = 1+ 24 = 25
Нашли два корня: 2 и (– 3). Осталось проверить, не обращают ли они знаменатели дробей в ур-нии
в ноль. Подстановкой можно убедиться, что не обращают.
При решении дробно-рациональных ур-ний может использоваться и графический метод.
Пример. Сколько корней имеет уравнение
Решение. Построим графики функций у = х 2 – 4 и у = 2/х:
Видно, что графики пересекаются в 3 точках, поэтому ур-ние имеет 3 корня.
http://math4school.ru/uravnenija_v_celih_chislah.html
http://100urokov.ru/predmety/2-urok-uravneniya-s-odnoj-peremennoj