Как решать уравнение если значение не табличное

Синус и косинус равны не табличному значению. Как решить уравнение? Часть 2

Синус равен не стандартному значению

Но бывает так, что нужно решить уравнение, в котором синус равен не табличному значению. Например, как решить уравнение \(\sin⁡x= \frac<1><3>\)? Давайте обо всем по порядку.

Сначала действуем, как и при решении стандартных уравнений:
1. Чертим оси и тригонометрический круг
2. На оси синусов отмечаем нужное значение
3. Проводим к оси перпендикуляр

А что дальше? Какие значения будут получаться на круге? Не \(\frac<π><6>\), не \(\frac <π><4>\), и даже не \(\frac<π><7>\) — вообще никакие привычные числа не подходят. Однако при этом очевидно, что значения эти есть. Но как их записать? Вот тут-то на помощь и приходит арксинус! Значение правой точки равно \(\arcsin⁡\frac<1><3>\). Почему? Да потому что синус равен \(\frac<1><3>\) .

Ок, значение правой точки найдено, как найти значение левой? Давайте подумаем. Значение дуги от нуля до правой точки равно \(\arcsin⁡\frac<1><3>\).

Но дуга от \(π\) до левой точки имеет такую же длину:

Значит, если мы пройдем от \(π\) против часовой стрелки на величину \(\arcsin⁡\frac<1><3>\) мы попадем в левую точку. Иными словами, значение в левой точке равно \(π-\arcsin⁡\frac<1><3>\).

Теперь мы можем записать все корни уравнения: \( \left[ \begin x_1=\arcsin⁡\frac<1><3>+2πn\\ x_2=π-\arcsin⁡\frac<1><3>+2πn, \, n∈Z\end\right.\). Не понимаешь откуда появилось «\(2πn\)» и «\(n∈Z\)» ? Смотри это и это видео!

Без арксинусов решить уравнение \(\sin⁡x=\frac<1><3>\) не получилось бы, потому что мы не смогли бы записать итоговый ответ. Аналогично и с уравнением \(\sin⁡x=0,125\), \(\sin⁡x=-\frac<1><9>\), \(\sin⁡x=\frac<1><\sqrt<3>>\) и многими другими. Фактически без арксинуса мы можем решать только 9 простейших, базовых, уравнений с синусом:

С арксинусом – бесконечное количество.

Алгоритм решения простейших уравнений с синусом

Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов.

Шаг 2. Отметить на оси синусов значение, которому синус должен быть равен.

Шаг 3. Провести перпендикуляр и отметить точки пересечения перпендикуляра и круга. Если пересечений нет, то уравнение не имеет решений.

Шаг 4. Найти по одному значению каждой из полученных точек на круге. Если синус равен не стандартному числу, то правую точку на круге можно отметить, как \(\arcsin⁡a\), а левую как \(π-\arcsin⁡a\).

Шаг 5. Записать все значения каждой точки используя формулу \(x=t_0+2πn\), \(n∈Z\), где \(t_0\) – как раз те значения точек, которые вы нашли в шаге 4.

Или если воспользоваться свойством арксинуса \(\arcsin⁡(-a)=-\arcsin⁡a\):

Как делать не надо:

Это стандартное уравнение — его можно решить с помощью круга, либо просто вычислить \(\arcsin⁡\frac<1><2>= \frac<π><6>\). В любом случае корректным ответом здесь будет:

Запомните! В математике принято вычислять ответы до конца, поэтому если арксинус берется для стандартной точки и может быть посчитан – его надо вычислить. Потому что ответ с \(\arcsin⁡\frac<1><2>\) и тому подобным будет выглядеть столь же странно, как ответ \(x=\frac<6><3>\) в линейном уравнении \(3x=6\).

Больше примеров использования алгоритма читай в этой статье: простейшие уравнения с синусом и косинусом .

Косинус равен не стандартному значению

Предположим, надо решить уравнение \(\cos⁡x=\frac<1><3>\). Как это сделать?

Тут логика такая же, как и в уравнении с синусом: косинус одной трети равняться может, следовательно, и значение должно быть таким, при котором косинус будет равен \(\frac<1><3>\). Очевидное решение — использовать арккосинус.

Несложно заметить, что дуга от нуля до нижней точки имеет такую же длину, как и от нуля до верхней, но только она откладывается в отрицательном направлении (по часовой стрелке). Поэтому одно из значений второй точки: \(-\arccos⁡\frac<1><3>\)

И теперь можно записать общий ответ: \(x=±\arccos⁡\frac<1><3>+2πn\), \(n∈Z\).

Алгоритм решения простейших уравнений с косинусом

Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов.

Шаг 2. Отметить на оси косинусов значение, которому косинус должен быть равен.

Шаг 3. Провести перпендикуляр и отметить точки пересечения перпендикуляра и круга. Если пересечений нет, то уравнение не имеет решений.

Шаг 4. Найти по одному значению каждой из полученных точек на круге. Если косинус равен не стандартному числу, то верхнюю точку на круге можно отметить, как \(\arccos⁡a\), а нижнюю как \(-\arccos⁡a\).

Шаг 5. Записать все значения каждой точки используя формулу \(x=t_0+2πn\), \(n∈Z\), где \(t_0\) – как раз те значения точек, которые вы нашли в шаге 4.

Важно быть начеку, а не штампованно везде писать аркфункции. Пересечения с окружность нет, значит и решений нет.
Ответ: нет решений.

Или если применить формулу \(\arccos⁡(-a)=π-\arccos⁡a\)

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Решение уравнений в excel — примеры решений

Microsoft Office Excel может здорово помогать студентам и магистрантам в решении различных задач из высшей математики. Не многие пользователи знают, что базовые математические методы поиска неизвестных значений в системе уравнений реализованы в редакторе. Сегодня рассмотрим, как происходит решение уравнений в excel.

Первый метод

Суть этого способа заключается в использовании специального инструмента программы – подбор параметра. Найти его можно во вкладке Данные на Панели управления в выпадающем списке кнопки Анализ «что-если».

1. Зададимся простым квадратичным уравнением и найдем решение при х=0.

2. Переходите к инструменту и заполняете все необходимые поля

3. После проведения вычислений программа выдаст результат в ячейке с иксом.

4. Подставив полученное значение в исходное уравнение можно проверить правильность решения.

Второй метод

Используем графическое решение этого же уравнения. Суть заключается в том, что создается массив переменных и массив значений, полученных при решении выражения. Основываясь на этих данных, строится график. Место пересечения кривой с горизонтальной осью и будет неизвестной переменной.

1. Создаете два диапазона.

На заметку! Смена знака результата говорит о том, что решение находится в промежутке между этими двумя переменными.

2. Переходите во вкладку Вставка и выбираете обычный график.

3. Выбираете данные из столбца f (x), а в качестве подписи горизонтальной оси – значения иксов.

Важно! В настройках оси поставьте положение по делениям.

4. Теперь на графике четко видно, что решение находится между семеркой и восьмеркой ближе к семи. Чтобы узнать более точное значение, необходимо изменять масштаб оси и уточнять цифры в исходных массивах.

Такая исследовательская методика в первом приближении является достаточно грубой, однако позволяет увидеть поведение кривой при изменении неизвестных.

Третий метод

Решение систем уравнений можно проводить матричным методом. Для этого в редакторе есть отдельная функция МОБР. Суть заключается в том, что создаются два диапазона: в один выписываются аргументы при неизвестных, а во второй – значения в правой стороне выражения. Массив аргументов трансформируется в обратную матрицу, которая потом умножается на цифры после знака равно. Рассмотрим подробнее.

1. Записываете произвольную систему уравнений.

2. Отдельно выписываете аргументы при неизвестных в каждую ячейку. Если нет какого-то из иксов – ставите ноль. Аналогично поступаете с цифрами после знака равно.

3. Выделяете в свободной зоне диапазон ячеек равный размеру матрицы. В строке формул пишете МОБР и выбираете массив аргументов. Чтобы функция сработала корректно нажимаете одновременно Ctrl+Shift+Enter.

4. Теперь находите решение при помощи функции МУМНОЖ. Также предварительно выделяете диапазон размером с матрицу результатов и нажимаете уже известное сочетание клавиш.

Четвертый метод

Методом Гаусса можно решить практически любую систему уравнений. Суть в том, чтобы пошагово отнять одно уравнение из другого умножив их на отношение первых коэффициентов. Это прямая последовательность. Для полного решения необходимо еще провести обратное вычисление до тех пор, пока диагональ матрицы не станет единичной, а остальные элементы – нулевыми. Полученные значения в последнем столбце и являются искомыми неизвестными. Рассмотрим на примере.

Важно! Если первый аргумент является нулевым, то необходимо поменять строки местами.

1. Зададимся произвольной системой уравнений и выпишем все коэффициенты в отдельный массив.

2. Копируете первую строку в другое место, а ниже записываете формулу следующего вида: =C67:F67-$C$66:$F$66*(C67/$C$66).

Поскольку работа идет с массивами, нажимайте Ctrl+Shift+Enter, вместо Enter.

3. Маркером автозаполнения копируете формулу в нижнюю строку.

4. Выделяете две первые строчки нового массива и копируете их в другое место, вставив только значения.

5. Повторяете операцию для третьей строки, используя формулу

=C73:F73-$C$72:$F$72*(D73/$D$72). На этом прямая последовательность решения закончена.

6. Теперь необходимо пройти систему в обратном порядке. Используйте формулу для третьей строчки следующего вида =(C78:F78)/E78

7. Для следующей строки используйте формулу =(C77:F77-C84:F84*E77)/D77

8. В конце записываете вот такое выражение =(C76:F76-C83:F83*D76-C84:F84*E76)/C76

9. При получении матрицы с единичной диагональю, правая часть дает искомые неизвестные. После подстановки полученных цифр в любое из уравнений значения по обе стороны от знака равно являются идентичными, что говорит о правильном решении.

Метод Гаусса является одним из самых трудоемких среди прочих вариантов, однако позволяет пошагово просмотреть процесс поиска неизвестных.

Как видите, существует несколько методов решения уравнений в редакторе. Однако каждый из них требует определенных знаний в математике и четкого понимания последовательности действий. Однако для упрощения можно воспользоваться онлайн калькулятором, в который заложен определенный метод решения системы уравнений. Более продвинутые сайты предоставляют несколько способов поиска неизвестных.

Жми «Нравится» и получай только лучшие посты в Facebook ↓