Как решать уравнение с тремя буквами

Математика

62. Одно уравнение с тремя неизвестными . Пусть имеем уравнение

На это уравнение можно смотреть, как на запись задачи: найти числовые значения для x, y и z, чтобы трехчлен 3x + 4y – 2z оказался равен числу 11. Таким образом это уравнение является уравнением с тремя неизвестными. Так как мы можем решить одно уравнение с одним неизвестным, то уже с первого взгляда возникает мысль, что 2 неизвестных здесь являются как бы лишними, и им можно давать произвольные значения. И действительно, если, например, взять для y число 3 и для z число 5, то получим уравнение с одним неизвестным:

Возьмем другие числа для y и z. Например, пусть

Тогда получим уравнение:

Продолжая эту работу дальше, мы придем к заключению:

Одно уравнение с тремя неизвестными имеет бесконечно много решений, и для получения их надо двум неизвестным давать произвольные значения.

Результаты этой работы можно записать в таблице (мы, кроме двух уже найденных решений, записали в ней еще одно, которое получится, если положить y = –1 и z = –2):

Так как для y и для z мы берем произвольные значения, то они являются независимыми переменными, а x является зависимым (от них) переменным. Другими словами: x является функциею от y и z.

Чтобы удобнее получать решения этого уравнения, можно определить из него x через y и z. Получим:

3x + 4y – 2z = 11; 3x = 11 – 4y + 2z;
x = (11 – 4y + 2z) / 3.

Дадим, напр., значения: y = 5 и z = 1; получим: x = (11 – 20 + 2) / 3 = –2(1/3) и т. д.

Возьмем еще уравнение

Примем x и y за независимые переменные, а z — за зависимое и определим z через x и y

–2z = 7 – 3x + 5y; 2z = 3x – 5y – 7; z = (3x – 5y – 7) / 2

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Алгебраические системы с тремя неизвестными

Для систем с тремя неизвестными определения понятий равносильности и следствия, а также свойства преобразований систем формулируются аналогично тому, как это было сделано для систем с двумя неизвестными.

Будем рассматривать системы вида

где , , являются либо многочленами от , , , либо могут быть представлены в виде отношения многочленов.

Сформулируем для систем уравнений с тремя неизвестными следующие утверждения, которые могут оказаться полезными при решении систем.

1° Если , где и —многочлены, то система (1) равносильна совокупности систем

и поэтому множество решений системы (1) в этом случае есть объединение множеств решений систем (2) и (3).

2°. Если уравнение

есть следствие системы (1), то система

равносильна системе (1), т. е. при добавлении к системе (1) еще одного уравнения (4), являющегося следствием этой системы, получается система, равносильная системе (1).

3°. Если уравнение (4) — следствие системы (1), причем где и —многочлены, то система (1) равносильна совокупности систем

4°. Система (1) равносильна каждой из следующих систем:

5°. Если уравнение равносильно уравнению где — многочлен от и , то система (1) равносильна системе

Это утверждение лежит в основе метода исключения неизвестных: система (1) сводится к системе (5), (6) с двумя неизвестными.

Прежде чем переходить к примерам алгебраических систем с тремя неизвестными, отметим, что нет общих рецептов для нахождения решений систем. Каждый раз нужно учитывать конкретные особенности рассматриваемой системы. Можно дать только общий совет: решайте побольше задач.

Рассмотрим сначала системы с тремя неизвестными, которые сводятся к кубическим уравнениям.

К таким системам относятся системы симметрических алгебраических уравнений, т.е. системы вида (1), где , , — многочлены, каждый из которых не меняется, если поменять местами любую пару из переменных , , .

В этом случае удобно ввести следующие переменные:

Простейший пример системы рассматриваемого вида — система

Система (7) и кубическое уравнение

связаны следующим образом.

Если , , — корни уравнения (8), то система (7) имеет шесть решений: получаемых всевозможными перестановками трех чисел , , . Обратно, если решение системы (7), то , , — корни уравнения (8).

Доказательство этого утверждения основано на использовании формул Виета для корней уравнения (8):

Для сведения к системам (7) систем симметрических уравнений вида

можно использовать следующие тождества:

Примеры с решениями

Пример №186.

Решить систему уравнений

Решение:

Используя уравнения (12), (13) и тождество (9), получаем

Применяя формулу (11) и учитывая равенства (13)-(15), находим

Следовательно, исходная система равносильна системе вида (7), в которой , а уравнение (8) имеет вид

Корни этого уравнения — числа Поэтому система имеет шесть решений, получаемых перестановкой чисел

Ответ.

Обратимся теперь к системам с тремя неизвестными, которые не являются симметрическими.

Пример №187.

Решить систему уравнений

Решение:

Так как правые части уравнений отличны от нуля, то Полагая получаем систему линейных уравнений

Сложив уравнения системы (16), находим

Из (16) и (17) получаем т. е.

Перемножив почленно уравнения системы (18), которая равносильна исходной, имеем откуда

Следовательно, исходная система равносильна совокупности систем (18), (19) и (18), (20), которые имеют решения и соответственно.

Ответ.

Пример №188.

Решить систему уравнений

Решение:

Будем решать систему методом исключения неизвестных и сведением, в конечном счете, к одному уравнению с одним неизвестным. Складывая почленно уравнения (21) и (23), получаем

Так как на основании равенства (24), то из этого равенства следует, что

Запишем далее уравнение (22) в виде

Исключив из уравнений (24) и (26), получаем откуда

Заметим, что система (27), (25), (21) равносильна системе (21)— (23). Подставляя выражения для и из формул (27) и (25) в уравнение (21), получаем

или откуда Соответствующие значения и найдем по формулам (27) и (25).

Ответ.

Пример №189.

Решить систему уравнений

Решение:

Перемножив уравнения системы (28), получаем

Уравнение (29) является следствием системы (28), которая равносильна системе

Уравнения (30), (31), (32) имеют решения соответственно. С учетом равенства (29) находим четыре решения системы (28).

Ответ.

Пример №190.

Найти решения системы уравнений

Решение:

Вычитая из уравнения (34) уравнение (33), получаем

Далее, вычитая из уравнения (35) уравнение (33), находим

Наконец, складывая уравнения (34) и (35), получаем

Система (37)-(39) равносильна системе (33)-(35), а при условии (36) — системе линейных уравнений

имеющей единственное решение

Ответ.

Пример №191.

Решить систему уравнений

Решение:

Вычтем из уравнения (41) уравнение (40) и преобразуем полученное уравнение к виду

Выполнив ту же операцию с уравнениями (42) и (41), имеем

Система (43), (44), (42), равносильная системе (40)-(42), распадается на следующие четыре системы:

Полученные системы легко решаются методом исключения неизвестных. Объединив решения этих систем, найдем все решения исходной системы.

Ответ.

Пример №192.

Решить систему уравнений

Решение:

Решим эту систему как линейную относительно Для этого сложим попарно уравнения системы (45) и получим систему

Перемножив уравнения системы (46) и полагая находим или откуда т. е.

Система (45) в силу утверждения 3° равносильна совокупности систем (46), (47) и (46), (48), каждая из которых имеет единственное решение.

Ответ.

Пример №193.

Решить систему уравнений

Решение:

Если , то из системы (49) следует, что , а может принимать любые значения. Аналогично, если , то , — любое. Таким образом, система имеет бесконечное множество решений вида

Будем искать решения системы (49) такие, что . Умножив первое уравнение системы (49) на , а третье — на и сложив результаты, получим

Прибавив к уравнению (51) второе уравнение системы (49), умноженное на :, находим

Каждое из уравнений (51), (52) является следствием системы (49).

Так как , , — действительные числа (требуется найти действительные решения системы), то уравнение (52) равносильно уравнению

Исключая из уравнений (53) и (51), получаем

Уравнения (53) и (54) являются следствиями системы (49), а уравнение (54) равносильно совокупности уравнений

Из (55) и (53) следует, что , а из системы (49) при и находим Полученное решение содержится среди решений (50).

Из (56) и (53) следует, что Подставляя в систему (49), находим решения и

Ответ. — любое действительное число;

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института