Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность b1, b2, . , bn, . , для которой для каждого натурального n выполняется равенство:
где q – это знаменатель геометрической прогрессии, q ≠ 0 и bn ≠ 0.
Пример: последовательность чисел 3, 12, 48, 192, 768, . является геометрической прогрессией со знаменателем q = 4.
Знаменатель определяет вид геометрической прогрессии:
- Если q > 0, тогда все члены геометрической прогрессии имеют один и тот же знак, равный знаку b1 Пример: последовательность чисел 1, 2, 4, 8, 16, . со знаменателем q = 2.
- Если q Пример: последовательность чисел 2, –6, 18, –54, 162, . со знаменателем q = –3.
- Если –1 Пример: последовательность чисел 400, 200, 100, 50, 25, . со знаменателем q = 0.5.
Основные формулы геометрической прогрессии
Знаменатель геометрической прогрессии
Знаменатель геометрической прогрессии можно вычислить с помощью текущего и следующего членов геометрической прогрессии по формуле:
Члены геометрической прогрессии
Общая формула для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии по первому члену и знаменателю:
Следующий член геометрической прогрессии можно найти по предыдущему члену и знаменателю:
Предыдущий член геометрической прогрессии можно найти по следующему члену и знаменателю:
Также член геометрической прогрессии можно найти, если известны следующий и предыдущий члены:
Сумма геометрической прогрессии
Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна
Sn = b1 ⋅ (1 — q n ) / (1 — q), где q ≠ 1
Также сумму можно вычислить, используя другую формулу:
Решение задач на геометрическую прогрессию
Рассмотрим несколько типичных задач, посвященных геометрической прогрессии.
Дана геометрическая прогрессия 3, 6, 12, . . Найти 8-ой член геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов.
b8 = b1 ⋅ q 7 = 3 ⋅ 2 7 = 3 ⋅ 128 = 384
S10 = b1 ⋅ (1 — q 10 ) / (1 — q) = 3 ⋅ (1 — 2 10 ) / (1 — 2) = 3 ⋅ (1 — 1024) / (–1) = 3069
Ответ: 384 и 3069
Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18, . . Найдите его номер.
Применив формулу для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии, можно получить n:
Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна –93. b1 = –3, q = 2. Найти n.
Чтобы вычислить число членов геометрической прогрессии, можно воспользоваться формулой ее суммы:
Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, каждый следующий член которой получается из предыдущего умножением его на постоянное число, не равное нулю.
Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой \(q\).
Например, последовательность \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… является геометрической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего в два раза (иначе говоря, может быть получен из предыдущего умножением его на два):
Как и любую последовательность, геометрическую прогрессию обозначают маленькой латинской буквой. Числа, образующие прогрессию, называют ее членами (или элементами). Их обозначают той же буквой, что и геометрическую прогрессию, но с числовым индексом, равным номеру элемента по порядку.
Например, геометрическая прогрессия \(b_n = \<3; 6; 12; 24; 48…\>\) состоит из элементов \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) и так далее. Иными словами:
порядковый номер элемента
Если вы поняли вышеизложенную информацию, то уже сможете решить большинство задач на эту тему.
Пример (ОГЭ): Геометрическая прогрессия задана условиями \(b_1=-2\); \(q=7\). Найдите \(b_4\).
Решение:
Зная первый член и знаменатель, последовательно вычисляем элементы, пока не дойдем до нужного.
Можно писать ответ.
Пример (ОГЭ): Даны первые три члена прогрессии \(324\); \(-108\); \(36\)…. Найдите \(b_5\).
Решение:
Чтобы продолжить последовательность, нам нужно знать знаменатель. Найдем его из двух соседних элементов: на что нужно умножить \(324\), чтоб получилось \(-108\)?
Отсюда без проблем вычисляем знаменатель.
Теперь мы легко находим нужный нам элемент.
Пример: Прогрессия задана условием \(b_n=0,8·5^n\). Какое из чисел является членом этой прогрессии:
Решение: Из формулировки задания очевидно, что одно из этих чисел точно есть в нашей прогрессии. Поэтому мы можем просто вычислять ее члены по очереди, пока не найдем нужное нам значение. Так как у нас прогрессия задана формулой n-го члена , то вычисляем значения элементов, подставляя разные \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0,8·5^1=0,8·5=4\) – такого числа в списке нет. Продолжаем.
\(n=2\); \(b_2=0,8·5^2=0,8·25=20\) – и этого тоже нет.
\(n=3\); \(b_3=0,8·5^3=0,8·125=100\) – а вот и наш чемпион!
Пример (ОГЭ): Даны несколько идущих последовательно друг за другом членов геометрической прогрессии …\(8\); \(x\); \(50\); \(-125\)…. Найдите значение элемента, обозначенного буквой \(x\).
Найти \(x\), можно, например, умножив \(8\) на знаменатель прогрессии. Однако мы его не знаем, поэтому сначала найдем знаменатель из двух известных соседних членов.
Теперь вычисляем икс, умножая \(8\) на \(-2,5\).
Пример (ОГЭ): Прогрессия задана условиями \(b_1=7\), \(b_
Мы знаем первый элемент и имеем рекуррентное соотношение — формулу для вычисления следующего элемента по предыдущему.
Вот и найдем необходимые нам первые \(4\) элемента, подставляя разные \(n\).
Теперь найдем сумму.
Пример (ОГЭ): Известно, что в геометрической прогрессии \(b_6=-11\), \(b_9=704\). Найдите знаменатель \(q\).
Из схемы слева видно, что чтобы «попасть» из \(b_6\) в \(b_9\) – мы делаем три «шага», то есть три раза умножаем \(b_6\) на знаменатель прогрессии. Иными словами \(b_9=b_6·q·q·q=b_6·q^3\).
Подставим известные нам значения.
«Перевернем» уравнение и разделим его на \((-11)\).
Какое число в кубе даст \(-64\)?
Конечно, \(-4\)!
Ответ найден. Его можно проверить, восстановив цепочку чисел от \(-11\) до \(704\).
Все сошлось — ответ верен.
Важнейшие формулы
Как видите, большинство задач на геометрическую прогрессию можно решать чистой логикой, просто понимая суть (это вообще характерно для математики). Но иногда знание некоторых формул и закономерностей ускоряет и существенно облегчает решение. Мы изучим две такие формулы.
Формула \(n\)-го члена: \(b_n=b_1·q^\), где \(b_1\) – первый член прогрессии; \(n\) – номер искомого элемента; \(q\) – знаменатель прогрессии; \(b_n\) – член прогрессии с номером \(n\).
С помощью этой формулы можно, например, решить задачу из самого первого примера буквально в одно действие.
Пример (ОГЭ): Геометрическая прогрессия задана условиями \(b_1=-2\); \(q=7\). Найдите \(b_4\).
Решение:
Нам нужен четвертый член, вот и вычисляем его сразу, напрямую, не находя всех промежуточных.
Этот пример был простым, поэтому формула нам облегчила вычисления не слишком сильно. Давайте разберем задачку чуть посложнее.
Пример: Геометрическая прогрессия задана условиями \(b_1=20480\); \(q=\frac<1><2>\). Найдите \(b_<12>\).
Решение:
Действуем как в предыдущей задаче.
Конечно, возводить \(\frac<1><2>\) в \(11\)-ую степень не слишком радостно, но всё же проще чем \(11\) раз делить \(20480\) на два.
Сумма \(n\) первых членов: \(S_n=\) \( \frac\) , где \(b_1\) – первый член прогрессии; \(n\) – количество суммируемых элементов; \(q\) – знаменатель прогрессии; \(S_n\) – сумма \(n\) первых членов прогрессии.
Пример (ОГЭ): Дана геометрическая прогрессия \(b_n\), знаменатель которой равен \(5\), а первый член \(b_1=\frac<2><5>\). Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:
Все данные есть, сразу вычисляем ответ.
И вновь мы могли решить задачу «в лоб» – найти по очереди все шесть элементов, а затем сложить результаты. Однако количество вычислений, а значит и шанс случайной ошибки, резко возросли бы.
Для геометрической прогрессии есть еще несколько формул, которые мы не стали рассматривать тут из-за их низкой практической пользы. Вы можете найти эти формулы здесь .
Возрастающие и убывающие геометрические прогрессии
У рассмотренной в самом начале статьи прогрессии \(b_n = \<3; 6; 12; 24; 48…\>\) знаменатель \(q\) больше единицы и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются возрастающими.
Если же \(q\) меньше единицы, но при этом положителен (то есть, лежит в пределах от нуля до единицы), то каждый следующий элемент будет меньше чем предыдущий. Например, в прогрессии \(4\); \(2\); \(1\); \(0,5\); \(0,25\)… знаменатель \(q\) равен \(\frac<1><2>\).
Эти прогрессии называются убывающими. Обратите внимание, что ни один из элементов такой прогрессии не будет отрицателен, они просто становятся всё меньше и меньше с каждым шагом. То есть, мы будем постепенно приближаться к нулю, но никогда его не достигнем и за него не перейдем. Математики в таких случаях говорят «стремиться к нулю».
Отметим, что при отрицательном знаменателе элементы геометрической прогрессии будут обязательно менять знак. Например, у прогрессии \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)… знаменатель \(q\) равен \(-3\), и из-за этого знаки элементов «мигают».
Как решать уравнения геометрической прогрессии
Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!
Контакты
 |