Как решать уравнения графика функции с модулем

Как решать уравнения графика функции с модулем

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Построение графиков с модулем
путём преобразований

Модуль аргумента и модуль функции

Если Вы попали на эту страницу из поисковика, миновав предыдущие разделы темы «Графики функций и их преобразования», то рекомендую сначала повторить графики основных элементарных функций и общие правила преобразования графиков функций.

В контексте построения графиков это означает использование преобразования симметрии относительно осей координат.

Пример 1.

В этом примере оба графика получены из графика функции y = x − 3.
Первый — преобразованием Гf(x) → Гf(|x|) , второй — преобразованием Гf(x) → Г|f(x)| .

Пример 2.

В этом примере оба графика получены из графика функции y = x 2 − 2x − 3.
Первый — преобразованием Гf(x) → Гf(|x|) , второй — преобразованием Гf(x) → Г|f(x)| .

Один из способов быстро и точно построить исходную параболу по характерным точкам показан в видео на канале Mathematichka.

III При построении из графика функции y = f(x) более сложных графиков, например, вида y = k·f (a|x| + b) + c или y = k·|f (ax + b)| + c тщательно соблюдайте последовательность преобразований.

Ниже показаны примеры графиков различных функций, содержащих модуль, которые получены из графика функции \(y=\sqrt.\) y = √|x| __ .

1.2.3.4.5.

IV Равенство вида |y| = f (x) по определению не является функцией, так как допускает неоднозначность при вычислении значения y. Однако линию на координатной плоскости оно задает, и эту линию тоже можно построить, исходя из графика функции y = f(x) .
Для этого нужно:

1. Построить график функции y = f(x) .
2. Исключить его часть, расположенную ниже оси абсцисс, поскольку указанное равенство возможно только для положительных значений f(x).
3. Построить нижнюю часть линии (при отрицательных y) симметричным отображением относительно оси Ox.

Эти кривые также получены из графика функции \(y=\sqrt\). y = √x _ .

6.7.8.

Пример 3.

Задан график функции y = x 2 .
Построить кривые, удовлетворяющие уравнению, |y| = x 2 − 2|x| − 5 .

Заметим, что x 2 = |x| 2 (значение четной степени, как и значение модуля, всегда неотрицательно). Поэтому, выделяя полный квадрат, преобразуем функцию к виду |y| = (|x| − 1) 2 − 6 и строим её график последовательными преобразованиями.

Строим график функции f(x) = (x − 1) 2 − 6 переносом на 1 вправо вдоль оси Ox, а затем переносом вниз на 6 единиц вдоль оси Oy.
Строим график функции f(|x|) = (|x| − 1) 2 − 6 с использованием преобразования симметрии относительно оси Oy.
Строим линии, удовлетворяющие уравнению |y| = (|x| − 1) 2 − 6 с использованием преобразования симметрии относительно оси Ox.

1.2.3.4.
5.6.

Следующий график постройте самостоятельно, чтобы убедиться, что вы правильно поняли материал.

Пример 4.

Задан график функции y = x 2 .
Построить график функции y = |x 2 − 2x − 5| .

Сумма модулей

Если формула функции включает сумму или разность несколько модулей, то следует разбить координатную плоскость на участки и построить каждую ветвь графика отдельно. Границы участков определяются приравниванием каждого модуля к нулю и решением соответствующего уравнения. Подробный пример такого подхода можно увидеть в задаче 1 на странице, посвященной решению уравнений с параметрами.

Однако, если подмодульные выражения простые и содержат элементарные функции, графики которых вам хорошо известны, то можно получить результат прямым сложением ординат этих графиков в характерных точках.

Пример 5.

Построить график функции y = |x + 2| + |x − 1| .

Эти два модуля содержат только линейные функции, графиками которых являются прямые линии. В результате сложения должна получиться ломаная линия, состоящая из трёх звеньев. (2 модуля, следовательно 2 уравнения, каждое из которых имеет одно решение, следовательно 2 границы, которыми плоскость разбита на 3 участка.) Трёхзвенную ломаную можно построить по 4-ём точкам.

На одних осях независимо друг от друга строим графики функций y = |x + 2| и y = |x − 1| , используя сдвиг и отражение. Складываем ординаты в точках излома x = −2 и x = 1 и в двух удобных точках на крайних участках, например, при x = −3 и x = 3 . На приведенном рисунке красным цветом представлен результирующий график, полученный по этим 4-ём точкам: (−3;5 ), (−2;3 ), (1; 3), (3;7).

Теперь проверьте себя.

Пример 6.

Построить график функции y = |x + 2| + |x − 1| − |x| .

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте ссылки.

Графики функций, содержащих переменную под знаком модуля. Обобщающее повторение при подготовке к экзамену

Разделы: Математика

Определение модуля

Алгебрагическое определение: | x | =

Геометрическое определение: модулем числа называется расстояние от точки, изображающей это число, до начала отсчета.

Понятие модуля впервые вводится в 6 классе, в 7 классе рассматривается линейная функция и ее график и уже можно показывать построение несложных графиков функций, содержащих модуль. Далее, по мере изучения различных функций, их свойств, каждую такую тему можно заканчивать рассмотрением более сложных графиков, в том числе с модулем. В этой статье рассматриваются основные приемы построения графиков таких функций.

I. На алгебрагическом определении основан метод «раскрытия модуля на промежутках».

Например: | x + 2 | = | x + 2 | =

Этот метод можно применять при построении графиков функций, содержащих один или более модулей. Например, построим график функции у = | x + 2 | – 2x + 1 , предварительно упростив ее.

у = у =

Если модулей несколько, то каждый из них раскрываем на промежутках относительно точек, обращающих каждый из них в нуль. Например, построим график функции у = | 3 – x | – x + | x + 2 | + 1.

Функцию записываем как кусочно-заданную:

у =

Подобно тому, как числовая прямая точками – 2 и 3 разбивается на промежутки, координатная плоскость прямыми х = – 2 и х = 3 разбивается на части («полосы»), в каждой из которых строим свой график. Заметим, что данная функция непрерывна, поэтому на «границах» части графика должны соединяться.

II. Этот метод можно применять к функциям разных видов.

Например, построим график функции у = | log₂ x – 1 | – log_0,5 x.

Заметим, что х > 0.

Построим сначала график функции у = х 2 – 2х – 3. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Координаты ее вершины: х = 1, у = – 4. Точки пересечения параболы с осями координат: (0; – 3); (– 1; 0); (3; 0). Далее выполняем отображение части графика, лежащей в нижней полуплоскости, относительно оси абсцисс.

2) у = f(| x |). Используем определение модуля: f(| x |) =

Чтобы построить график такой функции строим график функции у = f(x) и берем ту его часть, где х > 0 (в правой полуплоскости). Затем эту часть симметрично отображаем в левую полуплоскость, где х 2 – 2| х | – 3. Сначала строим график функции у = х 2 – 2х – 3, далее выполняем указанные преобразования.

3) Построим график функции y = | f(| x |)|, например, y = | x 2 – 2| х | – 3 |, выполним последовательно преобразования, рассмотренные в пунктах 2 и 1.

4. Рассмотрим зависимость | y | = f(x). Ее нельзя назвать функцией, так как не выполняется условие: каждому значению х должно соответствовать единственное значение у.

Рассмотрим построение графика такой зависимости (можно говорить «графика уравнения»). Используем определение модуля: у = f(x), если у > 0, – у = f(x), y = – f(x), если у 0; чтобы построить график в нижней полуплоскости (где у 2 – 2х – 3

Заметим, что графики, не относящиеся к рассмотренным частным случаям, следует строить « раскрывая модули на промежутках».

1

0

– 1

y

0

IV. Приведем некоторые примеры

1. Построим график уравнения | y | = arccos| x |.

2. Графическим способом можно решать и неравенства с двумя переменными. Например, решением неравенства | y | 2 – 4 | x | + 3 |; y = + 1.

2. Решите графически уравнения c одной и двумя переменными: | 3 – x | – 3 = 2| x | – x 2 ; | y | = 2| x | – x 2 ; = | x – 2,5 | –1,5.

3. Решите графически неравенства с двумя переменными: | y | > x 2 4x + 3; | x | + | y | 15.11.2011