Как решать уравнения на дроби видеоурок

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Урок «Дробные рациональные уравнения»

Краткое описание документа:

Видеоурок «Дробные рациональные уравнения» содержит информацию о дробных рациональных уравнениях, способах их решения, примеры решения таких заданий. С помощью данного пособия учитель может более эффективно решать задачи урока, формировать умение учеников решать дробные рациональные уравнения.

Использование материала в виде видеоурока дает возможность учителю уделить больше внимания индивидуальной работе с учениками, сконцентрировать их на работе с данным учебным материалом. Специальные приемы, используемые в видео – анимационные эффекты, выделение цветом, рамкой важных деталей и понятий улучшает запоминание материала, способствует его освоению.

Видеоурок начинается с представления темы урока. Затем на примерах х/(х 2 -1)=5/(х+1), а также √3/х 2 =х+5, и 2х-1=х/(х+12) демонстрируется понятие о дробном рациональном уравнении как уравнении, части которого представляют собой рациональные выражения, при этом одна или обе — дробные. Определение выделено в рамку для запоминания.

Далее на экране представляется ход решения дробных уравнений поэтапно:

1. поиск общего знаменателя дробей;
2. перемножение обеих частей на общий знаменатель;
3. нахождение решений полученного целого уравнения;
4. исключение из корней, обращающих общий знаменатель в 0.

Рассматривается пример решения дробного уравнения 2/(х-2)-10/(х-3)=(50/(х 2 +х-6))-1. Согласно общему плану решения, сначала определяется общий знаменатель дроби. Он равен х 2 +х-6. После перемножения обеих частей данного уравнения на общий знаменатель, получается целое уравнение -8х+26=-х 2 -х+56. Все члены уравнения переносятся в левую часть, после чего образуется уравнение второго порядка х 2 -7х-30=0, для решения которого вычисляется дискриминант D=169 и корни уравнения х₁=-3 и х₂=10.Для исключения неверных корней, подставляем полученные значения в общий знаменатель. Так как при подстановке корня х=-3 общий знаменатель обращается в нуль, это значение не является решением уравнения. Единственным решением уравнения является 10.

Следующий пример дает возможность наблюдать решение дробного рационального уравнения, в знаменателе которого есть только двучлены: 1/(х+3)-1/(х+9)=1/(х+5)-1/(х+21). Для решения уравнения приводятся к общему знаменателю обе части уравнения. После вычислений в числителе образуется уравнение с квадратным многочленом в числителе в обеих частях: 6/(х 2 +12х+27)=16/(х 2 +26х+105). После преобразования уравнения получается равенство произведений 6(х 2 +26х+105)=16(х 2 +12х+27). Раскрыв скобки и перенеся все члены уравнения в левую часть, получим квадратное уравнение 10х 2 +36х-198=0. Решением данного уравнения будут х₁=-6,6 и х₂=3. При подстановке полученных корней в выражение общего знаменателя, в результате вычислений не образуется нуль, поэтому оба они являются решениями исходного уравнения.

Пример 3 демонстрирует решение уравнения 3х/(х-2)+6/(2-х)=х. Очевидно, общим знаменателем данного дробного рационального уравнения будет х-2. Умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель даст уравнение 3х-6=х(х-2), которое после преобразования к стандартному виду приминает вид уравнения второй степени х 2 -5х+6=0. Корнями данного уравнения являются х₁=2 и х₂=3. При подстановке первого корня в выражение общего знаменателя, он обращается в 0, поэтому х=2 не будет корнем исходного уравнения. Второе значение корня не обращает знаменатель в 0, поэтому является корнем уравнения.

При решении последнего примера 16/(х 2 -2х)-11/(х 2 -2х+3)=9/(х 2 -2х+1) важно определить сначала его особенность, которая подсказывает способ решения. Во всех выражениях есть (х 2 -2х), поэтому для упрощения решения задания следует ввести новую переменную у=х 2 -2х. Подставив новую переменную в выражения, умножив обе части на общий знаменатель и приведя уравнение к стандартному виду, получаем квадратное уравнение 2у 2 -13у-24=0. Уравнение имеет два корня у₁=-1,5 и у₂=8. При подстановке первого корня в выражение для определения переменной у корни отсутствуют. Подстановкой корня у=8 в выражение для переменной получаем два значения х₁=4 и х₂=-2. Таким образом, решениями данного уравнения будут корни х₁=4 и х₂=-2.

Видеоурок «Дробные рациональные уравнения» может быть использован на уроке алгебры при объяснении нового материала. Также подробное объяснение способов решения дробных уравнений поможет ученику освоить умение решать подобные задания самостоятельно. Также материал может быть полезен при дистанционном обучении.

Урок по теме «Решение дробных рациональных уравнений». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели урока:

• формирование понятия дробных рационального уравнения;
• рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
• рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
• обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
• проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.

• развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
• развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;
• развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
• развитие критического мышления;
• развитие навыков исследовательской работы.

• воспитание познавательного интереса к предмету;
• воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
• воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)
2. Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).
3. Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)
4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)
5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)
6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)

3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.