Конспект урока на тему «Решение комбинаторных уравнений» (10 класс)
Сочетаниями без повторений занимался еще великий Паскаль. Он предложил специальную таблицу значений сочетаний без повторений.
Значения представлены в табл. которая называется треугольником Паскаля.
Этот треугольник удивительно красив своей математической красотой, и в его числах можно при желании отыскать различные закономерности. Его можно представить несколько иначе – в виде [26]: равнобедренного треугольника (рис. 10).
Рис. 10. Треугольник Паскаля
Здесь каждое число, кроме единиц на боковых сторонах, является суммой двух чисел, стоящих над ним. Поэтому:
(приводим к общему знаменателю)
(выносим n ! за скобку в знаменателе)
Из этого соотношения и вытекает эффективный способ рекуррентного вычисления значений биномиальных коэффициентов.
Докажем соотношение 1)
Это может использоваться при вычислениях, например, вместо можно вычислить .
Докажем соотношение 2)
Имеется формула, называемая биномом Ньютона, которая использует выражения числа сочетаний с повторениями
где а, b – действительные или комплексные числа.
Коэффициенты называются биномиальными.
Докажем формулу бинома Ньютона по индукции. Доказательство по индукции предполагает:
1) базис индукции – доказательство того, что формула верна для конкретного n , например, для n =1. В нашем случае мы убедились, что формула верна для n =2,3,4. Убедимся, что она верна и для n =1.
2) индукционный шаг. Предполагая, что формула верна для некоторого n , убеждаются, что тогда она верна и для n +1.
3) при истинности шагов 1 и 2 заключают, что формула верна для любого n .
Приступим к индукционному шагу.
Возьмем выражение и получим из него выражение для n +1. Очевидно, что это можно сделать путем умножения на a + b :
Преобразуем полученное выражение:
Для выполнения индукционного шага необходимо показать, что это выражение равно выражению:
Рассмотрим подвыражение выражения (1): и заменим i на i -1.
Получим , т.е. одинаковые коэффициенты перед выражениями , для числа сочетаний в первом и втором подвыражении выражения (1).Это позволит вынести за скобку. Но тогда в не учтен n -й член подвыражения (суммирование идет до n ): тогда, учитывая его, получаем:
Нетрудно видеть, что можно заменить на , кроме того, мы уже доказали, что , поэтому: , что, очевидно, равно выражению:
По индукции получаем, что формула бинома Ньютона верна для любого n .
С использованием бинома Ньютона докажем следствие №1 о количестве подмножеств множества из n элементов:
Рассмотрим следствие №2: .
На использовании бинома Ньютона основано понятие производящей функции – функции, позволяющей получать комбинаторные числа без вычисления факториала:
. Здесь – функция, производящая биномиальные коэффициенты.
При n =1 получаем 1+ x , т.е. (коэффициент перед 1), (коэффициент перед x ).
При n =2 получаем (1+ x ) 2 =1+2 x + x 2 , т.е. и т.д.
Решение комбинаторных уравнений
В комбинаторике тоже могут решаться уравнения, особенностью которых является то, что неизвестная принадлежит множеству натуральных чисел. Например, уравнения вида , xN , где N – множество натуральных чисел или вида:
При решении комбинаторных уравнений часто необходимо уметь выполнять действия с факториалами типа:
Например, в задаче о сравнении пар записей в базе данных из n записей:
, – что и требовалось доказать.
В комбинаторике рассматриваются и другие типовые комбинаторные комбинации, например, разбиения n -элементного множества на k подмножеств, которые называются блоками разбиения. В информатике вычисления на конечных математических структурах часто называют комбинаторными вычислениями, и они требуют комбинаторного анализа для установления свойств и оценки применимости используемых алгоритмов. На рис. 11 приведен один из возможных вариантов классификации основных комбинаций.
Рис. 11. Основные комбинации
Комбинаторные задачи могут быть решены, например, системой компьютерной математики Matematica (3,4) фирмы Wolfram Research , Inc . – пакет расширения «Дискретная математика» ( DiscreteMath ) – комбинаторика и ее функции ( Combinatorica , CombinatorialFunctions ): функции перестановок и сочетаний и др.
Пример 1. Решить уравнение
и представим правую часть в виде
,
откуда следует
x + 3 = 11 и x = 8.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. По условию x – целое число, удовлетворяющее неравенством Перепишем уравнение в виде
откуда, после упрощений, получаем
> 4
Пример 3. Решить систему уравнений
Решение. Из второго уравнение находим
Решая последнее уравнение, получаем Но так как не пригодно к решению уравнения, значит x = 18.
Подставляя x = 18 в первое уравнение системы, найдем
18 – y = y + 2, y = 8.
Итак, x = 18, y = 8.
Пример 4. Решить систему уравнений
Решение. Перепишем систему уравнений в виде
или, после упрощений получим
откуда следует x = 2, y = 6.
Решите уравнение (22–25) .
1)=42;
ОДЗ: хN; x > 2
= 42
=-6( исключить – не входит в ОДЗ); =7
=56х;
ОДЗ: хN; x > 3
=
(
((
или -3
1 =0(исключить) или х 2 =-6 (исключить); х 3 =9 (входит в ОДЗ).
3)=30;
ОДЗ: хN; x+1 > 2; х > 1
=
=-6( исключить – не входит в ОДЗ); =5.
4) 5=;
ОДЗ: х
; =
=
=
(20(х-2)-(х+1)(х+2))х
(20х-40-х 2 +2х+х+2)=0 или х=0 или х-1=0
х 2 +3х-20х+42=0 х 1 =0 х 2 =1
х 2 -17х+42=0 корни 0 и 1 не входят в ОДЗ
= 21 ОДЗ: хN; x-3 > 2 ; x > 3
=
— 7х + 12 – 42 = 0
— 7х – 30 = 0
х 1 =10 х 2 = — 3 (не входит в ОДЗ)
2) ; ОДЗ: хN; x > 3
=
=
4х(х-2)(х-1) = 6
х(4х 2 – 12х+8-30х+90)=0
х=0 или 4х 2 – 42х + 98 = 0
2х 2 – 21х + 49 = 0
= 15(х-1) ОДЗ: хN; x > 3
= 15(х-1)
= (х-1)х х 1 = 0 или х 2 = 1 — не входят в ОДЗ
= ОДЗ: хN; x > 4
=
4(х-2)! = 24
х 1 =12; х 2 = — 7(не входит в ОДЗ)
= 43 ОДЗ: хN; x > 5
= 43
х 1 =10; х 2 = 3 (не входит в ОДЗ)
= 89 ОДЗ: хN; x > 7
х 2 – 11х – 60 = 0
х 1 =15; х 2 = — 4(не входит в ОДЗ)
+ = 162 ОДЗ: хN; x > 1
= 162
= 162
2
24х + х 2 + 7х + 12 – 324 = 0
х 2 + 31х – 312 = 0
х 1 =8; х 2 = — 39(не входит в ОДЗ)
=
ОДЗ: x > 4
=
=
(х-2)(х-1)х = 0 или (х-3)-45 = 0
х 1 =2; х 2 = 1 х 3 =0 — не входят в ОДЗ х 4 = 48
= 42 ОДЗ: хN; x > 4
= 12
= 12 х 2 – х – 12 = 0 х 1 =4; х 2 = — 3(не входит в ОДЗ) Ответ: 4.
= 90 ОДЗ:
= 90
х 1 =10; х 2 = — 9(не входит в ОДЗ)
= 132 ОДЗ:
= 132
= 132
x 2 +3 x +2–132 = 0
х 1 =10; х 2 = — 13(не входит в ОДЗ)
= 110 ОДЗ:
= 110
= 110
x 2 +3 x +2– 110 = 0
x 2 +3 x – 108 = 0
х 1 =9; х 2 = — 12(не входит в ОДЗ)
ОДЗ:
решаем методом сложения — 5у = -30; у = 6
ОДЗ: ; у
(х-3)(х-2)(х-1) = 3
4)
Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1. 3, 5, 8, 9 так, чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр?
Из 6 открыток надо выбрать 3. Сколькими способами это можно сделать?
Как решать уравнения по комбинаторики
Школьный курс комбинаторики обычно имеет дело с задачами выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества, согласно неких правил.
Для формулирования и решения задач по комбинаторике используют следующие конфигурации: перестановки, размещения, сочетания.
Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до n, где n — число элементов множества.
Пусть мы имеем некое упорядоченное множество N состоящее из n различных элементов. Перестановкой из n элементов называется такой набор элементов множества, которые отличаются от исходного лишь порядком элементов. Обычно перестановка обозначается как P n и рассчитывается по формуле:
Найти число перестановок множества, состоящего из трех элементов: A, B, C.
Согласно формуле, количество перестановок будет равно 3! = 6.
Действительно, это наборы (ABC),(ACB),(BAC),(BCA),(CAB),(CBA).
Пусть мы имеем некое упорядоченное множество N состоящее из n различных элементов. Размещением из n элементов по k будет называться упорядоченное подмножество из k не повторяющихся элементов выбранные из множества, состоящего изn элементов. Обычно перестановка обозначается как A n k и рассчитывается по формуле:
A n k = | n! Найти число размещений множества, состоящего из четырех элементов: A, B, C, D по два, т.е. сколько различных размещений по два элемента можно составить из указанного множества. Согласно формуле, количество размещений будет равно 4! / (4-2)! = 24 / 2 = 12. Действительно, это наборы (AB),(BA),(AC),(CA),(AD),(DA),(BC),(CB),(BD),(DB),(CD),(DC). Пусть мы имеем некое упорядоченное множество N состоящее из n различных элементов. Сочетанием из n элементов по k будет называться подмножество из k не повторяющихся элементов выбранные из множества, состоящего из n элементов. Подмножества, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений. Обычно сочетание обозначается как С n k и рассчитывается по формуле:
|