Как решать уравнения произведение одночлена и многочлена

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Произведение одночлена и многочлена

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Алгебраические выражения.
• Многочлен.
• Произведение одночлена и многочлена.
• Стандартный вид многочлена.
• Вынесение за скобки общего множителя.
• Противоположные многочлены.

Многочлен стандартного вида – это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.

Разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются: все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого. Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Вынесение за скобки общего множителя многочлена – преобразование многочлена в произведение одночлена и многочлена.

Разность двух многочленов есть сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.

Сумма противоположных многочленов равна нулю.

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Перед нами два числовых выражения: 123 + 5 и 7.

Можем ли мы найти произведение данных выражений и его значение?

Значение данного выражения можно получить, используя распределительный закон умножения.

(123 + 5) · 7 = 123 · 7 + 5 · 7 = 861 + 35 = 896

Аналогичную арифметическую операцию можно выполнить и с любыми одночленами и многочленами, т.е. найти произведение одночлена и многочленов.

Посмотрим, как выполняется такое действие.

Для начала выясним, что такое произведение одночлена и многочлена.

Произведение одночлена и многочлена равно многочлену, членами которого являются произведения этого одночлена и каждого члена данного многочлена.

Например, найдите произведение одночлена х и многочлена а + с.

Если записать равенство в обратном порядке, т. е. преобразовать многочлен в произведение одночлена и многочлена, то получим результат выполнения действия, которое называют вынесением за скобки общего множителя.

Можно за скобки выносить и более сложный одночлен.

Например, выполним следующее задание.

Дан многочлен 8а 2 – 4ас– 6а. Вынесите за скобки общий множитель.

При выполнении задания нужно выделить одинаковые множители во всех членах исходного многочлена. В данном случае этот множитель равен 2а.

Выносим его за скобки и получаем произведение одночлена и многочлена следующего вида.

8а 2 – 4ас– 6а = 2а(4а– 2с– 3)

А теперь выполним следующее задание.

Найдём произведение многочлена и числа (-1). Раскроем скобки и в результате получим следующий многочлен.

При этом исходный и полученный многочлены называются противоположными.

7ах + 4 и -7ах– 4 – противоположные многочлены.

4х 3 – 5х и – 4х 3 + 5х – противоположные многочлены.

Т. к. (4х 3 – 5х ) · (-1) = – 4х 3 + 5х

Эти многочлены противоположные, т. к. один получен из другого путём умножения первого на число минус один.

Рассмотрим сумму противоположных многочленов.

(4х 3 – 5х) +(-4х 3 + 5х) = 4х 3 – 5х – 4х 3 + 5х = (4 – 4)х 3 + (– 5 + 5)х = 0 · х 3 + 0 · х = 0

Раскроем скобки и приведём подобные члены в полученном многочлене. Вынесем у подобных членов букву за скобки, в результате в скобках получается числовое выражение равное нулю. Поэтому произведение нуля и буквы даст ноль. Поэтому сумма противоположных многочленов равна нулю.

Проверим следующее утверждение. Разность двух многочленов есть сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.

Запишем выражение соответствующее утверждению.

(5а – х)– (с + 4) = (5а – х)+ (-с – 4)

Далее рассмотрим правую и левую часть данного выражения, раскроем скобки и получим равные результаты для правой и левой части выражения.

(5а – х) – (с + 4) = 5а – х – с – 4

(5а – х) + (-с – 4) = 5а – х – с – 4

Таким образом, мы проверили данное утверждение о том, что разность двух многочленов есть сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.

А теперь выясним, что будет происходить с многочленом, если его умножить на число 1.

(а + х) · 1 = а · 1 + х · 1 = а + х

Раскроем скобки и в результате получим исходный многочлен.

Если многочлен умножить на число 1, то в результате получится тот же самый многочлен.

Докажем это на практике.

Доказательства.

Пользуясь рисунком, докажите, что для а > 0; с > 0; k > 0; х > 0; у > 0.

а(с + k + х + у) = ас + аk + ах + ау

Доказательство: для доказательства данного равенства, воспользуемся формулой площади прямоугольника. S = ab, где а, b – стороны прямоугольника.

Для этого на рисунке выделим 4 прямоугольника (первый – со сторонами а и с, второй – со сторонами а и к, третий – со сторонами а и х, четвёртый – со сторонами у и а).

Чтобы найти площадь прямоугольника, состоящего из четырёх других, можно найти площадь каждого из 4-х прямоугольников, а затем сложить все найденные площади. Или сразу найти площадь прямоугольника, состоящего из четырёх других, как произведение двух его смежных сторон а и (с + k + х + у).

S₂ = ас + аk + ах + ау.

S₁ = S_2, следовательно: а(с + k + х + у) = ас + аk + ах + ау.

Что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Упростите (7ааааа+ 31х) · 81.

Для решения задания, сначала приведём многочлен в скобках к стандартному виду, а затем найдём произведение одночлена и многочлена.

(7ааааа + 31х) · 81 = (7а 5 + 31х) · 81 = 7а 5 · 81 + 31х · 81 = 567а 5 + 2511х

Ответ: 567а 5 + 2511х.

2. Подберите вместо букв А и В одночлены так, чтобы равенство было верным:

5с · (а + b) = 35асk + 20bс 2

При выполнении задания, разложим правую часть равенства на множители так, чтобы один из множителей был одночлен 5с, далее вынесем за скобки общий множитель 5с и получим в скобках одночлены a и b.

35асk + 20bс 2 = 5с · 7аk + 5с · 4bс = 5с · (7аk + 4bc)

Следовательно: a = 7аk; b = 4bс

Ответ: a = 7аk; b = 4bс.

Итак, сегодня мы получили представление о том, как находить произведение одночлена на многочлен, раскрывать скобки, выносить за скобки общий множитель.

Произведение одночлена и многочлена

Вы будете перенаправлены на Автор24

Напомним для начала, что такое одночлен и многочлен.

Одночлен — это числа, переменные, их степени и произведения.

Многочлен — это сумма одночленов.

Одночлены и многочлены можно перемножать между собой.

В результате перемножения одночлена с многочленом всегда получается многочлен. Одночлен с многочленом перемножаются по следующей схеме:

• составляется произведение.
• раскрываются скобки. Для того, чтобы раскрыть скобки при умножении необходимо перемножить каждый одночлен на каждый член многочлена и сложить их между собой.
• группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
• перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.

Рассмотрим умножение одночлена на многочлен на примере:

Умножим одночлен $3xzy^2$ на многочлен $^5+y^6-^5$.

\[\left(3xzy^2\right)\cdot \left(^5+y^6-^5\right)=\] \[=3xzy^2\cdot ^5+3xzy^2\cdot y^6+3xzy^2\cdot (-^5)\]

Отметим, что последний член многочлена имеет коэффициент -1, поэтому в последнем случае мы умножаем одночлен на член $(-^5)$

Теперь сгруппируем числа с числами, одноименные переменные с одноименными переменными:

Видим, что результатом умножения действительно получаем многочлен.

Примеры задач на умножение одночлена на многочлен

Выполнить умножение одночлена на многочлен:

Решение:

\[2z\cdot z^2+2z\cdot \left(-7z\right)+2z\cdot (-3)\]

\[\left(-4x^2\right)\cdot 5y^2+\left(-4x^2\right)\cdot \left(-3x\right)+\left(-4x^2\right)\cdot (-2)\]

\[\left(-5n^3\right)\cdot 3n^2+\left(-5n^3\right)\cdot (-n^3)+\left(-5n^3\right)\cdot n\]

\[10a\cdot a^2+10a\cdot (-24a)+10a\cdot 6\]

\[\left(-5ab\ \right)\cdot a^2+\left(-5ab\ \right)\cdot (-2ab)+(-5ab\ )\cdot b^2\]

\[\left(-m^2n\ \right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\ \right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\ )\cdot (-n^2)\]

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 03 2021

Умножение многочлена на одночлен: правило, примеры

Частный случай умножения многочлена на многочлен – умножение многочлена на одночлен. В этой статье сформулируем правило совершения этого действия и разберем теорию на практических примерах.

Правило умножения многочлена на одночлен

Разберемся с тем, что является основой умножения многочлена на одночлен. Данное действие опирается на распределительное свойство умножения относительно сложения. Буквенно это свойство записывается так: ( a + b ) · c = a · c + b · c ( a , b и c – некоторые числа). В этой записи выражение ( a + b ) · c является как раз произведением многочлена ( a + b ) на одночлен c . Правая же часть равенства a · c + b · c — это сумма произведений одночленов a и b на одночлен c .

Приведенные рассуждения позволяют нам сформулировать правило умножения многочлена на одночлен:

Для осуществления действия умножения многочлена на одночлен необходимо:

• записать произведение многочлена и одночлена, которые необходимо перемножить;
• умножить каждый член многочлена на заданный одночлен;
• найти сумму полученных произведений.

Дополнительно поясним приведенный алгоритм.

Чтобы составить произведение многочлена на одночлен, исходный многочлен заключают в скобки; далее между ним и заданным одночленом ставится знак умножения. В случае, когда запись одночлена начинается со знака минус, его также необходимо заключить в скобки. К примеру, произведение многочлена − 4 · x 2 + x − 2 и одночлена 7 · y запишем как ( − 4 · x 2 + x − 2 ) · 7 · y , а произведение многочлена a 5 · b − 6 · a · b и одночлена − 3 · a 2 составим в виде: ( a 5 · b − 6 · a · b ) · ( − 3 · a 2 ) .

Следующий шаг алгоритма – перемножение каждого члена многочлена на заданный одночлен. Составляющими многочлена служат одночлены, т.е. по сути нам необходимо выполнить умножение одночлена на одночлен. Допустим, что после первого шага алгоритма мы получили выражение ( 2 · x 2 + x + 3 ) · 5 · x , тогда вторым шагом перемножаем каждый член многочлена 2 · x 2 + x + 3 с одночленом 5 · x , получая таким образом: 2 · x 2 · 5 · x = 10 · x 3 , x · 5 · x = 5 · x 2 и 3 · 5 · x = 15 · x . Результатом станут одночлены 10 · x 3 , 5 · x 2 и 15 · x .

Последнее действие согласно правилу — сложение полученных произведений. Из предложенного примера, проделав данный шаг алгоритма, получим: 10 · x 3 + 5 · x 2 + 15 · x .

Стандартно все шаги записывают как цепочку равенств. Например, нахождение произведения многочлена 2 · x 2 + x + 3 и одночлена 5 · x запишем так: ( 2 · x 2 + x + 3 ) · 5 · x = 2 · x 2 · 5 · x + x · 5 · x + 3 · 5 · x = 10 · x 3 + 5 · x 2 + 15 · x . Исключив промежуточное вычисление второго шага, краткое решение возможно оформить следующим образом: ( 2 · x 2 + x + 3 ) · 5 · x = 10 · x 3 + 5 · x 2 + 15 · x .

Рассмотренные примеры дают возможность заметить важный нюанс: в результате перемножения многочлена и одночлена получается многочлен. Данное утверждение верно для любых перемножаемых многочлена и одночлена.

По аналогии осуществляется умножение одночлена на многочлен: заданный одночлен перемножают с каждым членом многочлена и полученные произведения суммируются.

Примеры умножения многочлена на одночлен

Необходимо найти произведение: 1 , 4 · x 2 — 3 , 5 · y · — 2 7 · x .

Решение

Первый шаг правила уже выполнен – произведение записано. Теперь выполняем следующий шаг, умножая каждый член многочлена на заданный одночлен. В данном случае удобно сначала перевести десятичные дробив обыкновенные. Тогда получим:

1 , 4 · x 2 — 3 , 5 · y · — 2 7 · x = 1 , 4 · x 2 · — 2 7 · x — 3 , 5 · y · — 2 7 · x = = — 1 , 4 · 2 7 · x 2 · x + 3 , 5 · 2 7 · x · y = — 7 5 · 2 7 · x 3 + 7 5 · 2 7 · x · y = — 2 5 · x 3 + x · y

Ответ: 1 , 4 · x 2 — 3 , 5 · y · — 2 7 · x = — 2 5 · x 3 + x · y .

Уточним, что, когда исходные многочлен и/или одночлен заданы в нестандартном виде, перед тем, как найти их произведение, желательно привести их к стандартному виду.

Заданы многочлен 3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2 и одночлен − 0 , 5 · a · b · ( − 2 ) · a . Необходимо найти их произведение.

Решение

Мы видим, что исходные данные представлены в нестандартном виде, поэтому для удобства дальнейших вычислений приведем их в стандартный вид:

− 0 , 5 · a · b · ( − 2 ) · a = ( − 0 , 5 ) · ( − 2 ) · ( a · a ) · b = 1 · a 2 · b = a 2 · b 3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2 = ( 3 − 2 ) + ( a + 3 · a ) − 2 · a 2 = 1 + 4 · a − 2 · a 2

Теперь осуществим перемножение одночлена a 2 · b на каждый член многочлена 1 + 4 · a − 2 · a 2

a 2 · b · ( 1 + 4 · a − 2 · a 2 ) = a 2 · b · 1 + a 2 · b · 4 · a + a 2 · b · ( − 2 · a 2 ) = = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b

Мы могли бы не приводить исходные данные к стандартному виду: решение при этом оказалось бы более громоздким. При этом последним шагом возникал бы необходимость приведения подобных членов. Для понимания приведем решение по этой схеме:

− 0 , 5 · a · b · ( − 2 ) · a · ( 3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2 ) = = − 0 , 5 · a · b · ( − 2 ) · a · 3 − 0 , 5 · a · b · ( − 2 ) · a · a − 0 , 5 · a · · b · ( − 2 ) · a · ( − 2 · a 2 ) − 0 , 5 · a · b · ( − 2 ) · a · 3 · a − 0 , 5 · a · b · ( − 2 ) · a · ( − 2 ) = = 3 · a 2 · b + a 3 · b − 2 · a 4 · b + 3 · a 3 · b − 2 · a 2 · b = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b

Ответ: − 0 , 5 · a · b · ( − 2 ) · a · ( 3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2 ) = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b .