Как решать уравнения с антье

Введение В различных математических олимпиадах последних лет ученикам всё чаще предлагают уравнения, которые содержат знак функции антье. Но, как показывает. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемАлександра Племянникова

Похожие презентации

Презентация по предмету «Русский язык, Литература, Чтение» на тему: «Введение В различных математических олимпиадах последних лет ученикам всё чаще предлагают уравнения, которые содержат знак функции антье. Но, как показывает.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

1 Введение В различных математических олимпиадах последних лет ученикам всё чаще предлагают уравнения, которые содержат знак функции антье. Но, как показывает практика, большинство из них слабо решают такие уравнения. Это объясняется некоторой сложностью данных задач, а также недостаточной разработкой способов их решения в учебно-методической литературе. В курсе математики средней школы эти понятия, как правило, не изучаются, и, поэтому, многие школьники вообще не приступают к решению подобных задач. Поэтому я решил изучить эту тему.

2 Антье числа Целой частью некоторого действительного числа а (или функцией антье) называется наибольшее целое число, которое не превышает а. Из самого определения понятно, что [a] a, причём равенство будет только тогда, когда число а — целое. В литературе целая часть обозначается символом [a] или (реже) Е (a). Примеры: [0] = 0; [17,38] = 17; [-2,5] = -3;[-100] = -100.

3 Дробная часть числа По определению целой части имеем: [x] x

4 Построение графика функции у = [f (x)] Строим график функции y = f (x). Проводим прямые y=n (n є Z) и рассматривают одну из полос, образованных прямыми у=n и у=n+1. Точки пересечения прямых y = n, y = n + 1 с графиком функции y = f (x) будут принадлежать графику функции y = [f (x)]. С точек пересечения прямых и графика опускаем перпендикуляры на ось ОХ. На полученных промежутках строим график функции-константы f (x) = м.

5 Графический метод решения уравнений со знаком антье В основе графического метода лежит нахождение точек пересечения графиков функций левой и правой частей уравнения. Обычно данный метод применяется, когда графики обеих частей уравнения достаточно просто строятся и легко находятся точки пересечения этих графиков. Этим методом лучше пользоваться для интерпретации решений или для того, чтобы установить план аналитического решения.

6 Пример решения уравнения со знаком антье графическим методом Решить уравнение: Решение. Преобразуем уравнение:. Решением данного уравнения будут точки пересечения графиков функций и y =. Как видно из рисунка это единственная точка, которая находится из уравнения, таким образом, решая последнее уравнение, находим, что x =.

7 Аналитический метод решения уравнений и неравенств Существует несколько способов решения таких уравнений. В основе аналитического способа лежит использование свойств антье и дробной части. В частности рассмотрим решения двух типов уравнений, связанных с функцией антье: [f (x)] = γ (x) [f (x)] = [γ (x)]

8 Решение уравнений вида [f (x)]= γ (х) 1. Обозначим γ (х) = м (где м є Z) и выразим х через м; получаем х = g (м). 2. Подствляем х в левую часть уравнения: [f (g (м))] = м. Последнее уравнение будет равносильно совокупности k уравнений где k показывает значность функции g (м). 3. Исходя из свойств антье и условия, что м є Z, получаем двухстороннее неравенство : 0 f (g (м)) – м

9 Пример решения уравнения со знаком антье аналитическим методом Решите уравнение: Решение. Пусть. Подставим х в левую часть уравнения:. Заменим последнее уравнение двухсторонним неравенством:. Это неравенство равносильно системе: Решением этой системы будет м Так как м є Z, то Ответ.

10 Решение уравнений вида [f (x)]=[γ (х)] Очевидно, решениями уравнения могут быть только те значения х, для которых правая и левая часть его принимают одинаковые целые значения м, то есть [f (x)] = м и [γ (x)] = м. Исходя из определения функции антье, делаем вывод: это будут только те значения х, которые являются решениями системы двух двухсторонних неравенств

11 Решение уравнений вида [f (x)]=[γ (х)] Чаще всего невозможно перебирать все те значения м, которые может принимать функция f (x) и γ (х), чтобы для каждого конкретного значения м найти решения соответственной системы: Поэтому нужно установить множество значений м, для которых система, а итак, и данное уравнение имеет решение. Для этого решим два неравенства системы относительно х. Полученные результаты будут выражены через м. За ними мы установим те значения м, для которых система имеет решение.

12 Решение уравнений вида [f (x)]=[γ (х)] Если функция монотонная Решения обоих двухсторонних неравенств запишутся с помощью одной серии промежутков. Например, возьмём один из возможных случаев Теперь надо отобрать те значения м, для которых [ (м); (м))[ (м); (м)) Ǿ. Очевидно, система не имеет решений для тех м, для которых (м) (м) или (м) (м). Совокупность решений этих двух неравенств даст возможность исключить те значения м, для которых система не имеет решений. Для остальных значений м находим последовательно решения системы, которые и будут решениями уравнения.

13 Заключение Цель, поставленная в работе, достигнута. Я исследовал целую и дробную части числа, а именно основные свойства, алгоритм построения графиков, графический и аналитический методы решения некоторых уравнений, содержащих знак функции антье. Для построения графиков, содержащих антье или дробную часть, существуют определённые алгоритмы, которые основаны на рассуждениях и свойствах антье и дробной части. Некоторые уравнения можно решать графическим методом. Но этим методом удобно решать только довольно простые уравнения. Поэтому данные уравнения лучше решать аналитическим методом, который основан на свойствах целой и дробной части числа.

Антье

В различных математических олимпиадах последних лет присутствуют задачи, основанные на применении целой и дробной части действительного числа. В курсе математики средней школы эти понятия не изучаются. Цель работы: показать применение антье для решения нестандартных задач по алгебре и геометрии.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
«Школа с углубленным изучением отдельных предметов № 85»

Сормовского района г. Н. Новгорода

Научное общество учащихся.

Выполнил: Давыдов Павел

ученик 9 «А» класса

Глава 1. Антье и ее свойства……………………….……………….…4

1.1 Определение и свойства. 4

Глава 2. Антье в уравнениях……………………….…………………11

2.1 Аналитический метод решения уравнений…..…………..11

2.2 Графический метод решения уравнений………………. 20

Глава 3. Применение антье…………………………………………….22

3.1 Делимость……. 22

3.2 Антье в геометрии……………………………………….…25

Список литературы. 28

В различных математических олимпиадах последних лет присутствуют задачи, основанные на применении целой и дробной части действительного числа. В курсе математики средней школы эти понятия не изучаются.

показать применение понятия антье для решения нестандартных задач по алгебре и геометрии.

• познакомиться с понятиями антье и дробной части, с примерами построения графиков функций;
• рассмотреть приемы решений различных уравнений, содержащие выражения под знаком антье;
• рассмотреть применение понятия антье в задачах повышенного уровня сложности.

Глава 1. Антье и ее свойства

1.1 Определение и свойства

Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x . Обозначается целая часть x символом «[ x ]». Далее целую часть x будем также называть «антье» ( от франц. entire -целый). Например: [3,5]=3, [-3,5]=-4, [3]=3, [-5]=-5.

Наряду с целой частью числа существует понятие дробной части числа, которая обозначается «< x >» и определяется следующим образом: < x >= x -[ x ]. Так <3,5>=0.5, <-3,5>=-0.5, <5>=0, <-5>=0. Очевидно, что для любого действительного числа x выполняется двойное неравенство:0 ≤ < x >1.

Антье обладает различными свойствами. Перечислим некоторые из них.

1. Если x ≥ 0, то [ x ] ≥ 0. Если x 0, то [ x ] 0.

2. Если p — целое число, то [ x + p ] = [ x ]+ p .

Так как дробная часть числа x равна дробной части числа x + p , то из равенства < x + p >= < x >следует x + p -[ x + p ] = x -[ x ], откуда получаем

3. Для любых двух действительных чисел α и β справедливо [ α + β ] ≥ [ α ]+[ β ].

Действительно, α = [ α ]+< α >, β = [ β ]+< β >. Следовательно, α + β = [ α ]+[ β ]+< α >+ < β >. Так как[ α ] и [ β ] — целые числа, то по свойству 2

[ α + β ] = [[ α ]+ [ β ]+< α >+< β >] = [ α ]+[ β ]+[< α >+ < β >] ≥ [ α ]+ [ β ],

потому что < α >, < β >≥ 0 и по свойству 1 [< α >+ < β >] ≥ 0.

Свойство 3 распространяется также на любое конечное число действительных чисел:

[ α + β +. + ω ] ≥ [ α ]+[ β ]+. + [ ω ].

4. Если [ x ] = [ y ], то | x — y | 1.

Так как x = [ x ]+< x >, y = [ y ]+< y >, то | x — y | = | [ x ]+< x >-[ y ]- < y >| = | < x >— < y >| 1. Последнее неравенство следует из того, что дробная часть числа больше или равна нулю и меньше единицы. Следовательно, разность дробных частей двух чисел больше -1 и меньше 1, а модуль этой разности меньше 1. Отсюда | x — y | 1.

5. Если n — натуральное число, то для любого действительного x выполняется

Так как x = nq + r + α , 0 ≤ r n , α = < x >, то

Пример 1. Доказать, что для всех вещественных α и β выполняется неравенство

[ α ]+[ α + β ]+[ β ] ≤ [2 α ]+[2 β ].

Решение.
Пусть [ α + β ] = [ α ]+[ β ]+ ε 3 ; [2 α ] = 2[ α ]+ ε 1 ; [2 β ] = 2[ β ]+ ε 2 ; где ε i — целое. Покажем, что ε 3 равно 0 или 1. Имеет место неравенство

-1 = α + β -1- α — β [ α + β ]-[ α ]-[ β ] + β — α +1- β +1 = 2.

Отсюда получаем, что -1 3 2, откуда ε 3 = 0 или ε 3 = 1, то же верно для ε 1 , ε 2 . Рассмотрим разность

[2 α ]+[2 β ]-[ α ]-[ β ]-[ α + β ] = [ α + α ]+[ β + β ]-[ α ]-[ α + β ]-[ β ] =

= [ α ]+[ α ]+ ε 1 +[ β ]+[ β ]+ ε 2 -[ α ]-[ α ]-[ β ]- ε 3 -[ β ] = ε 1 + ε 2 — ε 3 .

Осталось показать, что ε 1 + ε 2 — ε 3 ≥ 0, ε i = 0 или 1. Это неравенство может быть нарушено только при ε 1 = ε 2 = 0 и ε 3 = 1. Покажем, что это невозможно. Если ε 1 = 0 то [2 α ] = 2[ α ], т.е. α = N + δ , где N — целое, а 0 ≤ δ 0,5, аналогично, β = K + λ , где K — целое, а 0 ≤ λ 0,5, но тогда [ α + β ] = N + K = [ α ]+[ β ], т.е. ε 3 = 0. Мы пришли к противоречию, следовательно

[ α ]+[ α + β ]+[ β ] ≤ [2 α ]+[2 β ], что и требовалось доказать.

Пример 2. Найдите

Решение
Число N n = (2+ √ 2) n +(2- √ 2) n является целым при любом натуральном n . Поэтому

так как <- z >= 1-< z >, если z — не целое число, и |2- √ 2| 1.

Пример 3. Найдите [ x ], если x =1+(1/2) 2 +(1/3) 2 +. +(1/1997) 2 .
Решение
Для любого натурального числа n ≥ 2 справедлива оценка

Применим эту оценку ко всем слагаемым числа x , начиная со второго:

Так как 1 x 2, то [ x ] = 1.

1.2 Графики антье

Графики функции y =[ x ], так называемые «ступени», и y = < x >— «забор»; приведены на рисунках ниже.

Рассмотрим общий метод построения графиков функций y =[ f ( x )], y = f ([ x ]), y =< f ( x )>, y = f (< x >).

Построение графика функции y =[ f ( x )].

Итак, пусть график функции y = f ( x ) построен (рисунок ниже слева черным цветом). Построение графика функции y =[ f ( x )] выполняют в следующем порядке:

1) проводят прямые y = n ( n ∈ Z ) и рассматривают одну из полос, образованных прямыми y = n и y = n +1;

2) точки пересечения прямых y = n , y = n +1 с графиком функции y = f ( x ) будут принадлежать графику функции y =[ f ( x )], поскольку их ординаты — целые числа; другие точки графика y =[ f ( x )] в рассматриваемой полосе получим как проекцию части графика y = f ( x ) на прямую y = n , поскольку любая точка этой части графика функции y = f ( x ) имеет такую ординату y 1 , что n ≤ y 1 n +1, т.е. [ y 1 ] = n ;

3) в каждой другой полосе, где есть точки графика функции y = f ( x ), построение проводится аналогично.

Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа (График функции y =[arcsin x ] выделен красным цветом).

Построение графика фунции y = f ([ x ]).
Пусть график функции y = f ( x ) построен (рисунок слева ниже черным цветом). Построение графика функции y = f ([ x ]) выполняют в следующем порядке:

1) проводят прямые x = n ( n ∈ Z ) и рассматривают одну из полос, образованную линиями x = n , x = n +1;

2) точки пересечения графика функции y = f ( x ) с прямыми y = n принадлежат графику функции y = f ([ x ]), поскольку их абсциссы — целые числа; другие точки графика функции y = f ([ x ]) в рассматриваемой полосе получим как проекцию части графика функции y = f ( x ), которая находится в этой полосе, на прямую y = f ( n ), поскольку любая точка этой части графика имеет такую абсциссу x 1 , что n ≤ x 1 n +1, т.е. [ x 1 ]= n ;

3) в каждой другой полосе, где есть точки графика функции y = f ( x ), построение производится аналогично.

Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа (График функции y =[ ax ] 2 выделен красным цветом).
Построение графика фунции y =< f ( x )>.

Теперь рассмотрим метод построения графика функции y =< f ( x )>, а так как < f ( x )>= f ( x )-[ f ( x )], то вместо графика функции < f ( x )>строят разность графиков функций y = f ( x ) и y = [ f ( x )]. График на левом рисунке выделен красным цветом.

Практически это построение выполняют так: 1) строят график функции y = f ( x ) и проводят прямые y = n ( n ∈ Z );

2) в точках пересечения этих прямых с графиком функции y = f ( x ) проводят прямые, параллельные оси ординат. Значения функции y = < f ( x )>попадают в образованные прямоугольники. Части графика функции y = f ( x ), которые попали в эти прямоугольники и располагаются в верхней полуплоскости, опускают вниз на расстояние n . Части графика функции, попавшие в нижнюю полуплоскость переносят вверх на расстояние | n | +1.

Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа. (График функции y = < a x >выделен красным цветом).

Построение графика фунции y = f (< x >).

Проще всего строятся графики функции y = f (< x >). Легко заметить, что такие функции периодичны с периодом T =1, и на отрезке [0; 1] f (< x >)= f ( x ). Отсюда следует способ построения графика функции y = f (< x >):

1) строят график функции y = f ( x ) на [0; 1);

2) продолжают этот график, учитывая свойство периодичности функции y = f (< x >) и y =1/ x 2 .

Разностные уравнения

Содержание:

Разностные уравнения

Понятие разницы и разностного уравнения

Если для значений переменной x₁, x₂, x₃, . функция f (x) принимает значения f (x₁), f (x₂), f (x₃) . , то приращения функции составляют f (x₂) – f (x₁), f (x₃) – f (x₂), .

Приращение функции при переходе от значения x_i к значению x_i+1 будем обозначать: В частности можно взять в качестве значения независимых переменных x и x + 1 . Разность Δf (x) = f (x + 1) — f (x) называется первой разностью или разностью первого порядка. Она может рассматриваться в свою очередь как функция от x, а потому и для нее можно определить разницу:

Введем обозначения ΔΔf (x) = Δ 2 f (x), тогда Δ 2 f (x) = f (x + 2) — 2 f (x + 1) + f (x) и называется разностью второго порядка.

Аналогично можно найти разности третьего, четвертого и т. д. порядков.

Определим разности некоторых важнейших функций.

1) Если f (x) = С, где С — постоянная величина, то
Δf (x) = f (x + 1) – f (x) = С – С = 0.

Понятно, что и все разности следующих порядков будут также равняться нулю.

2) Если f (x) = ax + b, то
Δf = Δf (x + 1) — f (x) = a (x + 1) + b — ax — b = a.

Разница первого порядка линейной функции равна постоянной, а все остальные будут равны нулю.

3) Если f (x) = ax 2 + bx + c, то

Поскольку разница первого порядка является линейной функцией, то разница второго порядка — постоянная, а все последующие разности равны нулю.

4) Если f (x) = a x , то

В экономических исследованиях часто встречаются задачи, в которых время t является независимой переменной, а зависимая переменная определяется для времени t, t + 1, t + 2 и т. д.

Обозначим y_t — значение функции y в момент времени t; y_t+1 — значение функции в момент, сдвинутый на одну единицу, например, на следующий час, на следующую неделю и т. д., y_t+2 — значение функции y в момент, сдвинутый на две единицы и т. д.

Очевидно, что

Откуда:

За разность второго порядка, имеем или
поэтому

Аналогично можно доказать, что

Итак, любую функцию

можно представить в виде: (7.50)
и наоборот.

Определение. Уравнение
(7.51)
называется разностным уравнением n-го порядка.

Решить разностное уравнение n-го порядка — это значит найти такую ​​функцию y_t, которая превращает уравнение (7.50) или (7.51) в тождество.

Решение, в котором есть произвольная постоянная, называется общим; решение, в котором постоянная отсутствует, называется частным.

Определение. Уравнение
(7.52)
где a₀, a₁, . a_n — постоянные числа, называется неоднородным разностным
уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Если в уравнении (7.52) f (t) = 0, то уравнение называется однородным разностным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами:
(7.53)

Уравнение есть однородное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами a и b, а уравнение — неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами a, b, c.

ТЕОРЕМА 1. Если решениями однородного разностного уравнения (7.53) является y₁ (t) и y₂ (t), то его решением будет также функция y₁ (t) + y₂ (t).

ТЕОРЕМА 2. Если y (t) является решением однородного разностного уравнения (7.53), то его решением будет также функция Ay (t), где А — произвольная постоянная.

ТЕОРЕМА 3. Если y (t) — частное решение неоднородного уравнения (7.52) и y (t, A₁, A₂, . A_n) — общее решение однородного уравнения (7.53), то общим решением неоднородного разностного уравнения будет функция: y (t) + y (t, A₁, A₂, . A_n).

Эти теоремы схожи с теоремами для дифференциальных уравнений, которые были приведены нами в предыдущем разделе.

Разностные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим неоднородное разностное уравнение
(7.54)

Соответствующее ему однородное уравнение будет:
(7.55)

Возьмем функцию и убедимся, что она будет решением уравнения (7.55). Поскольку , тогда . Подставим y_t и y_t-1 в уравнение (7.55):
Итак, является решением уравнения (7.55).

По теореме (2) общее решение однородного разностного уравнения (7.55) является функция , где А — произвольная постоянная.

Пусть — частное решение неоднородного разностного уравнения (7.54). По теореме (3) общим решением неоднородного разностного уравнения (7.54) будет функция

Частное решение найти нетрудно, если f (t) = α, где α — некоторая постоянная. На самом деле, если где u — постоянная. Подставим в уравнение (7.54), имеем: u — au = α, откуда
Итак, общее решение уравнения (7.54) запишем в виде: .

Разностные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть задано неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
(7.56)
и соответствующее ему однородное уравнение
(7.57)

Убедимся, что функция будет решением уравнения (7.58). Подставим в уравнение (7.57) (λ ≠ 0), получим Поскольку λ ≠ 0, то поделим на λ t-2 , имеем λ 2 + aλ + b = 0 (7.58)

Это уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения (7.57).

Здесь могут иметь место следующие три случая:

1. D = a 2 – 4b > 0, тогда уравнение (7.58) будет иметь два действительных различных корня.
Общее решение уравнения (7.57) запишется в виде:

а общее решение неоднородного уравнения (7.56) запишется так:

2. D = a 2 – 4b = 0, тогда и и

В этом случае однородное уравнение (7.57) примет вид:
(7.59)
Тогда

Легко убедиться, что решением уравнения (7.59) является также функция
Поэтому общим решением уравнения (7.59) является функция а общим решением неоднородного уравнения (7.56) функция

3. D = a 2 – 4b 2 – 5λ + 6 = 0 будет иметь действительные разные корни (D = 25 – 24 = 1 > 0), λ1 =2, λ2 = 3.
Общим решением однородного уравнения является функция

Далее положим, что y_t = y — частное решение неоднородного уравнения, тогда

Таким образом, общим решением неоднородного уравнения является функция Постоянные A₁ и A₂ определим из начальных условий: y₀ = 5, y₁ = 9. Тогда для t = 0 и t = 1 соответственно будем иметь:

Решим эту систему уравнений относительно A₁ и A₂:

Откуда

Итак, — общее решение заданного в условии разностного уравнения.

Примеры применения разностных уравнений в экономических задачах

Пример 1. Пусть некоторая сумма средств выдается под сложный процент p, то к концу t-го года ее размер будет составлять:
Это однородное разностное уравнение первого порядка. Его решением будет функция , где A — некоторая постоянная, которую можно найти из начальных условий.

Если положить y₀ = F , то A = F, откуда

Это известная формула величины фонда F, который выдается под сложный процент.

Пример 2. Пусть величина предложения сельскохозяйственной продукции в t-м году есть функция цены прошлого года а спрос на эту продукцию есть функция цены в этом году. Следовательно, спрос: а предложение

Цена равновесия для данной продукции определяется равенством:
а это разностное уравнение первого порядка.

Положим, что функция спроса определяется формулой а функция предложения — формулой

Цена равновесия запишется: то есть Решением этого уравнения является функция Постоянная A определяется из начальных условий, для t = 0 цена составляет p₀.

Тогда p₀ = A и решением уравнения является функция
Если начальная цена p₀ = 0, то p_t = 0 для всех значений t.

Следовательно, цена не подлежит изменению.

Вообще говоря, функция предложения — возрастающая, а потому b > 0; а функция спроса — убывающая, и поэтому a

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.