Как решать уравнения с дробями егэ

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

  • обыкновенный вид — ½ или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

  1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
  2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

  • Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
  • Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит таках + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

  • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
  • если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
  • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

  • подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
  • умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

  • если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
  • делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

  1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
  2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

  1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
  2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

    Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

  • Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.
  • Дробно рациональные уравнения

    Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .

    Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .

    Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

    ОДЗ – область допустимых значений переменной.

    В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0

    ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

    Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

    1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
    2. Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
    3. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
    4. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

    Пример решения дробного рационального уравнения:

    Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.

    Решение:

    Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

    1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

    Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

    x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0

    x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

    x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0

    x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

    x 2 + x − 6 2 − x = 0

    Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

    Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2

    1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

    x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

    a = 1, b = 1, c = − 6

    D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25

    D > 0 – будет два различных корня.

    x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

    1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

    Корни, полученные на предыдущем шаге:

    Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

    Задания для самостоятельного решения

    №1. Решите уравнение: 3 x − 19 = 19 x − 3 .

    Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

    Решение:

    3 x − 19 = 19 x − 3

    [ x − 19 ≠ 0 x − 3 ≠ 0 ⇒ [ x ≠ 19 x ≠ 3

    Приводим обе дроби к общему знаменателю, записываем дополнительные множители к числителям:

    3 \ ( x − 3 ) x − 19 − 19 \ ( x − 19 ) x − 3 = 0

    3 ( x − 3 ) − 19 ( x − 19 ) ( x − 19 ) ( x − 3 ) = 0

    В соответствии с алгоритмом, приравниваем числитель к нулю:

    3 x − 9 − 19 x + 361 = 0

    x = − 352 − 16 = − 352 16 = 22

    Полученный корень не входит в ОДЗ, так что смело можем его включать в ответ.

    №2. Решите уравнение x − 4 x − 6 = 2.

    Решение:

    Можно решать эту задачу способом, который использовался при решении задачи №8. Но сейчас мы используем еще один способ решения таких уравнений.

    Представим число 2 в виде дроби со знаменателем 1 .

    Воспользуемся основным свойством пропорции :

    произведение крайних членов равно произведению средних (правило «креста»):

    a b = c d ⇒ a ⋅ d = b ⋅ c

    x − 4 x − 6 = 2 1 ⇒ ( x − 4 ) ⋅ 1 = ( x − 6 ) ⋅ 2

    Полученный корень не входит в ОДЗ, так что смело можем его включать в ответ.

    Основные сведения о решении дробно-рациональных уравнений

    Определение основных понятий по теме

    Рациональным выражением является такое выражение в алгебре, в состав которого включены числа и переменная х, а также операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень с натуральным показателем. Если пара рациональных выражений объединены знаком равенства, то перед нами рациональное уравнение.

    Дробно-рациональное уравнение представляет собой не имеющее знак корня рациональное уравнение, в котором обе части записаны в виде дробных выражений.

    В дробно-рациональном уравнении имеется как минимум одна дробь, содержащая в знаменателе переменную.

    Например, дробно-рациональными уравнениями являются:

    9 x 2 — 1 3 x = 0

    1 2 x + x x + 1 = 1 2

    6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1

    Уравнения, которые нельзя отнести к дробно-рациональным:

    Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений

    В процессе решения дробно-рациональных уравнений требуется правильно определить область допустимых значений (ОДЗ). Когда корни уравнения найдены, следует проверить их на соответствие ОДЗ и выяснить, какие являются допустимыми. В противном случае образуются посторонние решения, что автоматически делает ответ неверным.

    Предусмотрен стандартный алгоритм действий для поиска корней дробно-рациональных уравнений:

    1. Выписать и определить ОДЗ.
    2. Вычислить общий знаменатель дробей.
    3. Найти произведение каждого члена уравнения и общего знаменателя. После чего следует сократить полученные дроби, чтобы избавиться от знаменателей.
    4. Записать уравнение со скобками.
    5. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
    6. Найти корни уравнения, которое получилось после раскрытия скобок.
    7. Сверить найденные корни с ОДЗ.
    8. Решения, которые успешно прошли проверку, записать в ответ.

    Примеры решения задач

    Требуется найти корни дробно-рационального уравнения:

    x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

    Рассмотрим уравнение из условия задания:

    x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

    Определим область допустимых значений:

    x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2

    Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

    x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

    x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 )

    В таком случае, общим знаменателем является следующее выражение:

    Согласно стандартной последовательности действий, найдем произведение каждого члена уравнения и ( x — 2 ) ( x + 2 ) : x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 )

    x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8

    x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8

    Затем следует привести подобные слагаемые:

    Решениями получившегося квадратного уравнения являются следующие корни:

    Сравним результат вычислений с ОДЗ. Зная, что x ≠ 2 , исключим первый корень, как посторонний. Запишем в ответ второй корень.

    Для закрепления материала и знаний метода решения дробно-рациональных уравнений попробуем решить еще одно задание с объяснением действий. Подобные задачи нередко приходится решать на уроках алгебры в восьмом классе.

    Решить дробно-рациональное уравнение:

    x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

    Рассмотрим уравнение из условия задания:

    x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

    Определим область допустимых значений:

    x 2 + 7 x + 10 ≠ 0

    D = 49 — 4 · 10 = 9

    x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2

    x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5

    Воспользуемся способом разложения квадратного трехчлена на множители:

    a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 )

    Преобразуем квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 с учетом найденных x 1 и x 2 :

    x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

    В результате общий знаменатель равен:

    Умножим все части уравнения на общий знаменатель:

    x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 — — ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

    Выполним сокращение дробей:

    x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0

    Избавимся от скобок:

    x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0

    Приведем подобные слагаемые:

    2 x 2 + 9 x — 5 = 0

    Тогда получим корни уравнения:

    Соотнесем решения с областью допустимых значений, которую определили ранее. Первый корень является посторонним, что выявлено с помощью контрольной проверки. По этой причине в ответ следует записать только второй корень.

    Задания для самостоятельной работы

    Найти корни уравнения:

    x — 1 2 + 2 x 3 = 5 x 6

    x — 1 2 + 2 x 3 = 5 x 6

    3 x — 3 + 4 x 6 = 5 x 6

    Требуется решить дробно-рациональное уравнение:

    x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )

    x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )

    x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5

    x 2 — 3 x — 10 = 0

    Вычислить корни уравнения:

    33 + x 2 9 — x 2 + 7 + x x — 3 = — 2 + 4 — x x + 3

    33 + x 2 9 — x 2 + 7 + x x — 3 = — 2 + 4 — x x + 3

    — 33 — x 2 + ( 7 + x ) · ( x + 3 ) = — 2 ( x 2 — 9 ) + ( 4 — x ) · ( x — 3 )

    Согласно ОДЗ, первый вариант решения не подходит:


    источники:

    http://epmat.ru/drobno-racionalnye-uravnenija/

    http://wika.tutoronline.ru/algebra/class/8/osnovnye-svedeniya-o-reshenii-drobnoraczionalnyh-uravnenij