Как решать уравнения с факториалами 10 класс

Факториал

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Факториал: определение

Факториал числа n — это произведение натуральных чисел от 1 до n. Обозначается n, произносится «эн-факториал».

Факториал определен для целых неотрицательных чисел. Это значит, что вот так нельзя:

Число должно быть целое и положительное:

• 3! 56! 12!

Вычисляется факториал по формуле: путем умножения всех чисел от одного до значения самого числа под факториалом. Факторизация — это разложение функции на множители.

Мы видим, что 4! — это 3!*4
5! — это 4!*5
6! — это 5!*6

Формулы и свойства факториала

Чтобы узнать, как вычислять факториалы быстро — воспользуемся табличкой. Сохраняйте себе и решайте раньше остальных.

Факториалов в математике 9 класса — полно. Чтобы всегда быть готовым решить пример, запомните основные формулы:

• (n — 1)! = 1*2*3*4*5*. *(n — 2)(n — 1)
• n! = 1*2*3*4*5*. *(n — 2)(n — 1)n
• (n + 1)! = 1*2*3*4*5*. *(n — 2)(n — 1)n(n + 1)

С помощью формулы Стирлинга можно вычислить факториал многоразрядных чисел.

Такая формула дает результат с небольшой погрешностью.

Рекуррентная формула

• 5! = 5*(5 — 1)! = 5*4! = 5*24 = 120
• 6! = 6*(6-1)! = 6*5! = 6*120 = 720

Для решения примеров обращайтесь к таблице.

Примеры умножения факториалов:

1. Пользуйтесь готовой таблицей 5! * 7! = 120 * 5040 = 604800
2. Или раскладывайте факториалы отдельно, если хотите потренироваться:
   5! = 1*2*3*4*5 = 4! * 5 =120
   7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 6! * 7 = 5040
   120 * 5040 = 604800

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Примеры решений

Давайте поупражняемся и решим пару примеров.

1. Сократите дробь:

При сокращении факториалов, пользуйтесь свойством:
n! = (n — 1)! * n
100! = 99! * 100

Далее сокращаем по принципу сокращения обыкновенных дробей.

2. Вычислите значение выражения с факториалом: 8! + 5!

Можно для решения факториалов воспользоваться таблицей и вычислить быстрее.

А можно потренироваться и разложить их:

8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 7!*8 = 5040 * 8 = 40320
5! = 1*2*3*4*5 = 4!*5 = 120
40320 + 120 = 40440
8! + 5! = 40440

3. Вычислите значение выражения:

7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 5! * 6 *7

Далее сокращаем все, что можем сократить (3*2=6, сокращаем числа 6) и получаем ответ.

4. Вычислите значение выражение:

Вы уже знаете, как найти факториал — раскладываем 70 и 49:
70! = 1*2*3*. *69 = 69! * 70
49! = 1*2*3*. 49! * 48

Далее сокращаем все одинаковые множители.

5. Сократите дробь:

Проводим разложение на множители при помощи формул сокращенного умножения (x+1)x(x-1) и сокращаем все одинаковые множители (x-1)!.

Если вы все еще считаете, что факториал бесполезен и не может помочь вам в жизни, то это не так. Он помогает легко вычислять вероятности (а это бывает нужно чаще, чем кажется). К тому же, комбинаторика необходима тем, кто собирается работать в IT. Поэтому решайте побольше задачек на факториалы, в мире будущего без них — никуда.

Что такое уравнение с факториалом

Математические выражения встречаются детям и взрослым. Распространенным выражением является факториал целого числа, который обозначается как n! и представляет собой произведение от единицы до n. Он применим только к неотрицательным значениям больше нуля, часто используется, чтобы решить задачу. Математиками было принято определение «0!», равное единице.

Понятие факториала появилось в XIX веке, с того времени были созданы таблицы, в которых описаны итоговые значения произведения чисел по каждому примеру «n!» вплоть до «25!». Данные можно использовать в готовом виде при работе, не тратя время на их повторное вычисление.

Формулы, упрощающие решение

Использование факториала нашло широкое применение в комбинаторике: сочетаниях, перестановке и размещениях. Проводя решение неравенств и уравнений, необходимо найти неизвестное значение. Для упрощения вычисления применяются следующие правила:

• «2n!!» равно произведению всех четных чисел 2, 4, 6, 8 и других;
• «(2n+1)!!» применяется для всех цифр вида 1, 3, 5 и подобных;
• существует равенство “2n!!*(2n+1)!!=(2n+1)!” или “2n!!*(2n-1)!!=2n!”.

Если в примере с несколькими членами уравнения имеются факториалы, то меньший из них выделяется и выносится за скобки. Это упрощает вычисление, поскольку требуется выполнить более простое произведение оставшихся параметров и общего значения. При наличии дробей, в числителе и знаменателе которых приведены факториалы, возможно их изменить с помощью нахождения одинаковой части. Она выносится за скобки, а затем сокращается.

Существует метод вычисления функций по предыдущему значению. Подсчёт показан на примере: 4! = 4 * 3! или 4 * (3*2*1). В математике старших классов школы и начальных курсов высших учебных заведений применяется Гамма-функция и бином Ньютона.

Для вычисления больших значений и решения сложных уравнений с факториалом возможно применение программного обеспечения, поскольку ручная работа с ними будет слишком трудоемкой, а онлайн-калькуляторы дают погрешность. Существуют специальные приложения и сценарии, которые вычисляют итоговое значение по заданным параметрам.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Факториал — формула, свойства и примеры решений

Факториал числа n – это произведение чисел от 1 до n. Определён только для целых неотрицательных чисел. Формула факториала:

Математическая формула представлена восклицательным знаком «!». Термин был введен в 1800 году, а обозначение появилось только в 1808. В формуле нужно умножить все целые числа от 1 до значения самого числа, стоящего под знаком факториала.

Это очень просто, вот пример:

7! = 1 * … * 7 = 5040.

Факторизация — разложение функции на множители.

Таблица факториалов

Свойства факториалов

Рекуррентная формула

Комбинаторная интерпретация

Функция n может интерпретироваться как количество перестановок. К примеру, для 3-х элементов есть 3! = 6 перестановки.

Формула Стирлинга

Позволяет не перемножать большие числа. Обычно необходим только главный член:

Можно ли вычислить 0,5 или -3,217? Нет, нельзя. Но можно использовать нечто под названием «Гамма-функция», что намного сложнее.

Расчет по предыдущему значению

Функцию легко вычислить из предыдущего значения:

А как вычислить факториал нуля? Если вернуться к определению, то видно, что применять его в случае «0» нет смысла. Положительных чисел до 0 нет, поэтому 0 x 0 = 0.

Однако было решено, что в случае 0 результат будет равен 1.

Некоторые очень большие значения

Онлайн калькулятор поможет сделать вычисление – всего лишь надо найти знак, похожий на «x!» или «n!». Нужно обратить внимание, что браузеры могут испытывать затруднения при попытке отобразить более крупные числа и может произойти сбой.

Некоторые браузеры могут не позволять копировать, поэтому необходимо будет загрузить большие результаты в виде текстового файла.

Примеры вычисления факториалов больших чисел:

70! приблизительно 1 19785716669969869891796072783721 x 10100, что немного больше, чем «гуголь» (1 и 100 нулей);

100! это примерно 9 33262154444944152681699238856 x 101576 x 10157;

200! это примерно 7 88657867867364479050355236321393 x 103743.

Как найти функцию в Паскаль? Вычисление легко реализуется на разных языках программирования. Можно выбрать два метода: итеративный, то есть он создает цикл, в котором временная переменная умножается на каждое натуральное число от 1 до n, или рекурсивный, в котором функция вызывает себя до достижения базового варианта 0! = 1.

Программа на языке Паскаль:

На языке Си вычисления делаются с помощью рекурсивной функции. Следует заметить, что если начать вычислять факториал отрицательного числа в неаккуратно написанной функции, то это приведет к зацикливанию.

Факториал дроби (½) — это половина квадратного корня pi = (½)√π.