Формулы двойного и половинного аргумента. Универсальная подстановка
п.1. Формулы двойного аргумента
Выведем формулы двойного аргумента, исходя из формул суммы (см. §13 и §14 данного справочника)
\begin
Умножим полученное выражение на котангенс вверху и внизу дроби, и получим еще одно полезное выражение:
Например:
Найдем \(sin2\alpha\) и \(tg2\alpha\), если \(sin\alpha=0,8,\ \frac\pi2\lt\alpha\lt\pi\)
Угол \(\alpha\) во 2-й четверти, косинус отрицательный:
\(cos\alpha=-\sqrt<1-sin^2\alpha>=-\sqrt<1-0,8^2>=-0,6\)
\(tg\alpha=\frac
Синус двойного угла: \(sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha=2\cdot 0,8\cdot(-0,6)=-0,96\)
Тангенс двойного угла: \(tg2\alpha=\frac<2tg\alpha><1-tg^2\alpha>=\frac<2\cdot \left(-\frac43\right)><1-\left(-\frac43\right)^2>=\frac<-\frac83><1-\frac<16><9>>=\frac83 : \frac79=\frac83\cdot\frac97=\frac<24><7>=3\frac37\)
п.2. Формулы половинного аргумента
По формуле двойного аргумента для косинуса: \(cos2\alpha=2cos^2\alpha-1\)
Заменим слева угол \(2\alpha\rightarrow \alpha\), а справа угол \(\alpha\rightarrow\frac<\alpha><2>\).
Получаем: \begin
п.3. Формулы универсальной подстановки
Универсальная подстановка эффективна при решении тригонометрических уравнений, а также интегрировании.
п.4. Примеры
в) \( \sqrt<2+\sqrt<2+2cos4\alpha>> \), где \(0\le \alpha\le\frac\pi2\) \begin
г) \( 4(sin^4x+cos^4x)-4(sin^6x+cos^6x)-1 \)
Основное тригонометрическое тождество: \(sin^2x+cos^2x=1\)
Возведём в квадрат: \begin
Подставляем: \begin
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №35. Формулы двойного аргумента.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного аргумента;
- преобразование тригонометрических выражений на основе использования формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного аргумента;
- вычисление значений тригонометрических выражений на основе формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного аргумента;
- доказательство тригонометрических тождеств на основе формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного аргумента;
- решение уравнений с использованием формулы синуса, косинуса двойного аргумента.
Глоссарий по теме
Формулы двойного аргумента — это формулы, позволяющие ; и выразить через ; и . Аргументом может быть не только угол, но и любое выражение.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим выражение . Представим как и подставим в формулу синуса суммы. Получим:
(1)
Эту формулу называют синус двойного аргумента.
Например, . В этом случае .
Рассмотрим выражение , где так же . Применяем формулу косинуса суммы:
Получили формулу косинуса двойного аргумента (2)
Например,
Так как , а , то получим ещё две формулы косинуса двойного аргумента.
(3)
(4)
Рассмотрим выражение tg и с помощью формулы тангенса суммы выведем формулу тангенса двойного угла. Помним, что . Получаем:
, где (5)
Для котангенса двойного угла применяем формулу:
, где (6)
Например, .
Формулы (1)-(6) можно использовать как слева направо, так и справа налево. Аргументом может быть не только угол, но и любое выражение. Например,
Докажем формулу для тройного угла.
Представим . По формуле синуса суммы получим:
(используем формулы двойного аргумента)
(применяем формулу
Получили формулу синуса тройного угла:
(7)
Можно доказать, что косинус тройного угла вычисляется по формуле:
. (8)
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Найти , если
Применим формулу (3)
Пример 2. Доказать тождество
Доказательство: Преобразуем левую часть, воспользуясь тем, что формулой (1) и формулой квадрата суммы, получаем:
Левая часть равна правой. Доказано.
Пример 3. Найти ,если
Как решать уравнения с формулами двойного аргумента
Ключевые слова: тригонометрия, синус, косинус, тангенс, котангенс, формула двойного угла
В формулах синуса и косинуса суммы двух углов
$$sin(\alpha + \beta)= sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta$$,
$$cos(\alpha + \beta)= cos\alpha \cdot cos\beta — sin\alpha \cdot sin\beta$$
заменим $$\beta$$ на $$\alpha$$, получим соотношения:
$$sin(\alpha + \beta)= sin(\alpha + \alpha) = sin\alpha \cdot cos\alpha + cos\alpha \cdot sin\alpha \Leftrightarrow sin 2\alpha = 2sin \alpha \cdot cos\alpha$$;
$$cos(\alpha + \beta)= cos(\alpha + \alpha) = cos\alpha \cdot cos\alpha — sin\alpha \cdot sin\alpha \Leftrightarrow cos2\alpha = cos^<2>\alpha — sin^<2>\alpha$$.
Если подставить формулы $$sin^<2>\alpha = 1 — cos^<2>\alpha$$, $$cos^<2>\alpha = 1 — sin^<2>\alpha$$ в последнем соотношении,
то получим еще две формулы косинуса двойного угла: $$cos2\alpha = 1 — 2 sin^<2>\alpha$$ и $$cos2\alpha = 2cos^<2>\alpha — 1$$.
В формуле тангенса суммы двух углов $$tg(\alpha + \beta)= \frac
заменим $$\beta$$ на $$\alpha$$, получим соотношение
$$tg(\alpha + \beta)= tg(\alpha + \alpha) = \frac
http://resh.edu.ru/subject/lesson/3489/conspect/
http://uztest.ru/abstracts/?id=87&t=5