Основные виды тригонометрических уравнений (задание 13)
Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды тригонометрических уравнений и способы их решения.
\(\blacktriangleright\) Квадратные тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: \[<\Large
то такое уравнение с помощью замены \(f(x)=t\) сводится к квадратному уравнению.
Часто при решении таких уравнений используются
основные тождества: \[\begin
формулы двойного угла: \[\begin
Пример 1. Решить уравнение \(6\cos^2x-13\sin x-13=0\)
С помощью формулы \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\) уравнение сводится к виду:
\(6\sin^2x+13\sin x+7=0\) . Сделаем замену \(t=\sin x\) . Т.к. область значений синуса \(\sin x\in [-1;1]\) , то \(t\in[-1;1]\) . Получим уравнение:
\(6t^2+13t+7=0\) . Корни данного уравнения \(t_1=-\dfrac76, \ t_2=-1\) .
Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену:
\(\sin x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac<\pi>2+2\pi n, n\in\mathbb
Пример 2. Решить уравнение \(5\sin 2x=\cos 4x-3\)
С помощью формулы двойного угла для косинуса \(\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha\) имеем:
\(\cos4x=1-2\sin^22x\) . Сделаем эту подстановку и получим:
\(2\sin^22x+5\sin 2x+2=0\) . Сделаем замену \(t=\sin 2x\) . Т.к. область значений синуса \(\sin 2x\in [-1;1]\) , то \(t\in[-1;1]\) . Получим уравнение:
\(2t^2+5t+2=0\) . Корни данного уравнения \(t_1=-2, \ t_2=-\dfrac12\) .
Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену: \(\sin 2x=-\dfrac12 \Rightarrow x_1=-\dfrac<\pi><12>+\pi n, \ x_2=-\dfrac<5\pi><12>+\pi n, n\in\mathbb
Пример 3. Решить уравнение \(\mathrm
Т.к. \(\mathrm
\(t+\dfrac3t+4=0 \Rightarrow \dfrac
Сделаем обратную замену:
\(\blacktriangleright\) Кубические тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: \[<\Large
то такое уравнение с помощью замены \(f(x)=t\) сводится к кубическому уравнению.
Часто при решении таких уравнений в дополнение к предыдущим формулам используются
формулы тройного угла: \[\begin
Пример 4. Решить уравнение \(11\cos 2x-3=3\sin 3x-11\sin x\)
При помощи формул \(\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x\) и \(\cos2x=1-2\sin^2x\) можно свести уравнение к уравнению только с \(\sin x\) :
\(12\sin^3x-9\sin x+11\sin x-3+11-22\sin^2 x=0\) . Сделаем замену \(\sin x=t, \ t\in[-1;1]\) :
\(6t^3-11t^2+t+4=0\) . Подбором находим, что один из корней равен \(t_1=1\) . Выполнив деление в столбик многочлена \(6t^3-11t^2+t+4\) на \(t-1\) , получим:
\((t-1)(2t+1)(3t-4)=0 \Rightarrow\) корнями являются \(t_1=1, \ t_2=-\dfrac12, \ t_3=\dfrac43\) .
Таким образом, корень \(t_3\) не подходит. Сделаем обратную замену:
\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения второй степени: \[I. \quad <\Large>, \quad a\ne 0,c\ne 0\]
Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\) , при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\) . Действительно, если \(\cos x=0\) , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin^2 x=0\) , откуда следует, что и \(\sin x=0\) . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\) , то \(\sin x=\pm 1\) .
Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.
Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos^2 x\) или на \(\sin^2 x\) . Разделим, например, на \(\cos^2 x\) :
Таким образом, данное уравнение при помощи деления на \(\cos^2x\) и замены \(t=\mathrm
\(at^2+bt+c=0\) , способ решения которого вам известен.
Уравнения вида \[I’. \quad <\Large>, \quad a\ne0,c\ne 0\] с легкостью сводятся к уравнению вида \(I\) с помощью использования основного тригонометрического тождества: \[d=d\cdot 1=d\cdot (\sin^2x+\cos^2x)\]
Заметим, что благодаря формуле \(\sin2x=2\sin x\cos x\) однородное уравнение можно записать в виде
\(a\sin^2 x+b\sin 2x+c\cos^2x=0\)
Пример 5. Решить уравнение \(2\sin^2x+3\sin x\cos x=3\cos^2x+1\)
Подставим вместо \(1=\sin^2x+\cos^2x\) и получим:
\(\sin^2x+3\sin x\cos x-4\cos^2x=0\) . Разделим данное уравнение на \(\cos^2x\) :
\(\mathrm
\(t^2+3t-4=0\) . Корнями являются \(t_1=-4, \ t_2=1\) . Сделаем обратную замену:
\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad <\Large>, a\ne0, b\ne 0\]
Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\) , при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\) . Действительно, если \(\cos x=0\) , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin x=0\) , откуда следует, что и \(\sin x=0\) . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\) , то \(\sin x=\pm 1\) .
Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.
Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos x\) или на \(\sin x\) . Разделим, например, на \(\cos x\) :
\(a \ \dfrac<\sin x><\cos x>+b \ \dfrac<\cos x><\cos x>=0\) , откуда имеем \(a\mathrm
Пример 6. Решить уравнение \(\sin x+\cos x=0\)
Разделим правую и левую части уравнения на \(\sin x\) :
\(1+\mathrm
\(\blacktriangleright\) Неоднородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad <\Large>, a\ne0, b\ne 0, c\ne 0\]
Существует несколько способов решения подобных уравнений. Рассмотрим те из них, которые можно использовать для любого такого уравнения:
1 СПОСОБ: при помощи формул двойного угла для синуса и косинуса и основного тригонометрического тождества: \(<\large<\sin x=2\sin<\dfrac x2>\cos<\dfrac x2>, \qquad \cos x=\cos^2 <\dfrac x2>-\sin^2 <\dfrac x2>,\qquad c=c\cdot \Big(\sin^2 <\dfrac x2>+\cos^2 <\dfrac x2>\Big)>>\) данное уравнение сведется к уравнению \(I\) :
Пример 7. Решить уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)
Распишем \(\sin 2x=2\sin x\cos x, \ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2 x, \ -1=-\sin^2 x-\cos^2x\) . Тогда уравнение примет вид:
\((1+\sqrt3)\sin^2x+2\sin x\cos x+(1-\sqrt3)\cos^2x=0\) . Данное уравнение с помощью деления на \(\cos^2x\) и замены \(\mathrm
\((1+\sqrt3)t^2+2t+1-\sqrt3=0\) . Корнями этого уравнения являются \(t_1=-1, \ t_2=\dfrac<\sqrt3-1><\sqrt3+1>=2-\sqrt3\) . Сделаем обратную замену:
2 СПОСОБ: при помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла: \[\begin
Пример 8. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)
\(\dfrac<(\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3><1+t^2>=0 \Rightarrow (\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3=0\) (т.к. \(1+t^2\geqslant 1\) при всех \(t\) , то есть всегда \(\ne 0\) )
Таким образом, мы получили то же уравнение, что и, решая первым способом.
3 СПОСОБ: при помощи формулы вспомогательного угла.
\[<\large\,\sin (x+\phi),>> \quad \text <где >\cos \phi=\dfrac a<\sqrt>\]
Для использования данной формулы нам понадобятся формулы сложения углов: \[\begin
Пример 9. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)
Т.к. мы решаем уравнение, то можно не преобразовывать левую часть, а просто разделить обе части уравнения на \(\sqrt<1^2+(-\sqrt3)^2>=2\) :
\(\dfrac12\sin 2x-\dfrac<\sqrt3>2\cos 2x=-\dfrac12\)
Заметим, что числа \(\dfrac12\) и \(\dfrac<\sqrt3>2\) получились табличные. Можно, например, взять за \(\dfrac12=\cos \dfrac<\pi>3, \ \dfrac<\sqrt3>2=\sin \dfrac<\pi>3\) . Тогда уравнение примет вид:
\(\sin 2x\cos \dfrac<\pi>3-\sin \dfrac<\pi>3\cos 2x=-\dfrac12 \Rightarrow \sin\left(2x-\dfrac<\pi>3\right)=-\dfrac12\)
Решениями данного уравнения являются:
Заметим, что при решении уравнения третьим способом мы добились “более красивого” ответа (хотя ответы, естественно, одинаковы), чем при решении первым или вторым способом (которые, по сути, приводят уравнение к одному и тому же виду).
Таким образом, не стоит пренебрегать третьим способом решения данного уравнения.
\(\blacktriangleright\) Если тригонометрическое уравнение можно свести к виду \[<\Large>, \text <где >a\ne 0, b\ne 0,\] то с помощью формулы \[<\large<(\sin x\pm\cos x)^2=1\pm2\sin x\cos x>> \ \ (*)\] данное уравнение можно свести к квадратному.
Для этого необходимо сделать замену \(t=\sin x\pm \cos x\) , тогда \(\sin x\cos x=\pm \dfrac
Заметим, что формула \((*)\) есть не что иное, как формула сокращенного умножения \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\) при подстановке в нее \(A=\sin x, B=\cos x\) .
Пример 10. Решить уравнение \(3\sin 2x+3\cos 2x=16\sin x\cos^3x-8\sin x\cos x\) .
Вынесем общий множитель за скобки в правой части: \(3\sin 2x+3\cos 2x=8\sin x\cos x(2\cos^2 x-1)\) .
По формулам двойного угла \(2\sin x\cos x=\sin 2x, 2\cos^2x-1=\cos 2x\) имеем: \[3(\sin 2x+\cos 2x)=4\sin 2x\cos 2x\] Заметим, что полученное уравнение как раз записано в необходимом нам виде. Сделаем замену \(t=\sin 2x+\cos 2x\) , тогда \(\sin 2x\cos 2x=\dfrac
По формулам вспомогательного аргумента \(\sin2x+\cos 2x=\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)\) , следовательно, сделав обратную замену: \[\left[ \begin
\(\Rightarrow \left[ \begin
\(\blacktriangleright\) Формулы сокращенного умножения в тригонометрическом варианте:
\(I\) Квадрат суммы или разности \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\) :
\((\sin x\pm \cos x)^2=\sin^2 x\pm 2\sin x\cos x+\cos^2x=(\sin^2 x+\cos^2 x)\pm 2\sin x\cos x=1\pm \sin 2x\)
\(II\) Разность квадратов \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) :
\((\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x\)
\(III\) Сумма или разность кубов \(A^3\pm B^3=(A\pm B)(A^2\mp AB+B^2)\) :
\(\sin^3x\pm \cos^3x=(\sin x\pm \cos x)(\sin^2x\mp \sin x\cos x+\cos^2x)=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \sin x\cos x)=\)
\(=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \frac12\sin 2x)\)
\(IV\) Куб суммы или разности \((A\pm B)^3=A^3\pm B^3\pm 3AB(A\pm B)\) :
\((\sin x\pm \cos x)^3=(\sin x\pm \cos x)(\sin x\pm \cos x)^2=(\sin x\pm \cos x)(1\pm \sin 2x)\) (по первой формуле)
Задания по теме «Показательно-тригонометрические уравнения»
Открытый банк заданий по теме показательно-тригонометрические уравнения. Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Задание №1168
Условие
а) Решите уравнение 0,2^<2\cos x-1>-26\cdot 0,2^<\cos x-\tfrac12>+25=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ -\pi ; \frac<3\pi >2\right].
Решение
а) Запишем уравнение в виде
5\cdot 0,2^<2 \cos x>-26\sqrt 5\cdot 0,2^<\cos x>+25=0. После замены t=0,2^ <\cos x>исходное уравнение примет вид 5t^2-26\sqrt 5t+25=0. Корни этого уравнения t=5\sqrt 5, t=\frac1<\sqrt 5>. Возвращаясь к переменной x , получим:
Первое уравнение совокупности не имеет корней. Решая второе уравнение, получим:
x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.
б) Запишем решение уравнения в виде x=\frac\pi 3 +2\pi k, k \in \mathbb Z или x=-\frac\pi 3+2\pi n,n\in \mathbb Z и выясним, для каких целых значений n и k справедливы неравенства -\pi \leqslant -\frac <\pi>3+2\pi n \leqslant \frac<3\pi >2 и -\pi \leqslant \frac\pi 3+2\pi k\leqslant \frac<3\pi >2.
Получим: -\frac13\leqslant n\leqslant \frac<11> <12>и -\frac23\leqslant k\leqslant \frac<7><12>, откуда следует, что два целых значения n=0 и k=0 удовлетворяют соответствующим неравенствам.
При n=0\enspace x=\frac\pi 3+2\pi\cdot 0=\frac\pi 3.
При k=0\enspace x=-\frac\pi 3+2\pi\cdot 0=-\frac\pi 3.
Итак, \frac\pi 3 и -\frac\pi 3 — корни уравнения, принадлежащие промежутку \left[ -\pi ; \frac<3\pi >2\right].
Ответ
а) \pm\frac\pi 3+2\pi n, n\in \mathbb Z;
б) -\frac\pi 3, \frac\pi 3;
Простейшие тригонометрические уравнения с косинусом и синусом. Часть 1
Ключ к решению простейших тригонометрических уравнений – в отличном знании тригонометрического круга. Если вы знаете значения стандартных точек и их синусы и косинусы, то проблем с уравнениями не будет. А если пробелы все-таки есть, то восполнить их можно в статье «Как запомнить тригонометрический круг?» .
Алгоритм решения простейших уравнений с косинусом
Любой алгоритм проще всего понять на конкретных примерах, поэтому сразу с них и начнем.
Пример №1. Решить уравнение \(\cosx=\frac<1><2>\).
Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов.
Шаг 2. Отметить на оси косинусов значение, которому косинус должен быть равен.
Шаг 3. Провести перпендикуляр и отметить точки пересечения перпендикуляра и круга. Если пересечений нет, то уравнение не имеет решений.
Шаг 4. Найти по одному значению для каждой из полученных точек на круге. Для уравнений с косинусом значения в верхней и нижней точках всегда будут отличаться только знаком.
Шаг 5. Записать все значения каждой точки используя формулу \(x=t_0+2πn,n∈Z\) (подробнее о формуле в этом видео ), где \(t_0\) – как раз те значения точек, которые вы нашли в шаге 4.
Возможно, у вас возник вопрос, почему мы в ответ добавляем \(+2πn\), \(n∈Z\). Дело в том, что у каждой точки на тригонометрическом круге есть множество значений, и каждое значение будет решением уравнения, а значит все они обязательно должны быть в ответе.
Но проблема в том, что значений этих бесконечно много, и просто в строчку их не запишешь. Поэтому и придумали такую формулу записи, в которой содержатся все значения одной точки на тригонометрическом круге (подробнее смотрите в этом и этом видео).
С 1-3 шагом всё понятно, а вот над 4 шагом надо подумать. Как найти значения полученных точек? Можно заметить, что дуга между точкой со значением \(π\) и найденной точкой равняется π/6 (см. картинку ниже). И чтоб из точки π прийти к верхней найденной точке надо пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac<π><6>\), то есть значение верхней точки равно \(π-\frac<π><6>=\frac<5π><6>\). Значит значение нижней \(-\frac<5π><6>\).
Пример №3. Решить уравнение \(\cosx=1\).
Видно, что в этом случае у косинуса только одна точка на круге будет решением, и эта точка совпадает с нулём на окружности. Т.е. по формуле получим \(x=0+2πn\), \(n∈Z\). Однако добавление нуля ничего не меняет, поэтому ответ можно записать проще: \(x=2πn\), \(n∈Z\).
Значения косинуса (как и синуса) для любого аргумента всегда лежат между \(-1\) и \(1\) включительно, поэтому равняться \(-\frac<7><6>\) косинус никак не может. Значит такое уравнение не имеет решений.
Вот так решаются простейшие тригонометрические уравнения вида \(\cosx=a\). Для наглядности мы все рассказанное выше объединили на одной инфографике — взглянув на нее вы сразу вспомните суть. Пользуйтесь на здоровье.
Алгоритм решения простейших уравнений с синусом
Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов.
Шаг 2. Отметить на оси синусов, значение, которому синус должен быть равен.
Шаг 3. Провести перпендикуляр и отметить точки пересечения перпендикуляра и круга. Если пересечений нет, то уравнение не имеет решений.
Шаг 4. Найти по одному значению каждой из полученных точек на круге. Для уравнений с синусом значение второй точки можно найти, если вычесть из π значение первой точки.
Шаг 5. Записать все значения каждой точки используя формулу \(x=t_0+2πn\), \(n∈Z\), где \(t_0\) – как раз те значения точек, которые вы нашли в шаге 4.
Так как суть, думаю, вам уже ясна, дальнейшие объяснения мы опускаем.
Пример №7. Решить уравнение \(\sinx=0\).
В уравнениях с \(0\), главное не перепутать к какой оси надо проводить перпендикуляр. Ось синусов – вертикальная, соответственно перпендикуляр будет горизонтален.
Вот в принципе и всё. Как обычно, в конце – инфографика для наглядности.
http://academyege.ru/theme/pokazatelno-trigonometricheskie-uravneniya.html
http://cos-cos.ru/ege/zadacha213/328/