Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули
Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули.
2.Понятия и определения………………………………………….4
4.Способы решение уравнений, содержащих модуль…………. 6
4.1.Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами…………………………………………………………12
4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений…………………………………………………………..14
4.3.Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины…………………………………………………………..15
4.4.Решение нестандартных уравнений, ………….16
Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.
В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.
В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и. т.п.
Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.
2. Понятия и определения
Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы:
Уравнение-это равенство, содержащее переменные.
Уравнение с модулем — это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины(под знаком модуля).Например: |x|=1
Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.
В математике модуль имеет несколько значений, но в моей исследовательской работе я возьму лишь одно:
Модуль — абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой.
3. Доказательство теорем
Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна — a, если a меньше нуля:
Из определения следует, что для любого действительного числа a,
Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел a или –a
1. Если число a положительно, то — a отрицательно, т. е. — a 0 уравнение имеет 2 различных корня.
Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 11/3 и 6
Ответ: x1=6, x2=11/3
Пример 5. Решим уравнение (2x + 3)2= ( x – 1)2.
Учитывая соотношение (2), получим, что |2x + 3|=|x – 1|, откуда по образцу предыдущего примера (и по соотношению (1)):
2х + 3=х – 1 или 2х + 3=-х + 1
2х – х=-1 – 3 2х+ х=1 – 3
Таким образом корнями уравнения являются х1=-4, и х2=-0,(6)
4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений.
Геометрический смысл модуля разности величин — это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |x – a | — длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.
Пример7. Решим уравнение |x – 1| + |x – 2|=1 с использованием геометрической интерпретации модуля.
Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка [1; 2] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка — нет. Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок [1; 2].
Пример8. Решим уравнение |x – 1| — |x – 2|=1 1 с использованием геометрической интерпретации модуля.
Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру, при этом получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно, решением данного уравнения будет являться не отрезок, заключенный между точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в положительном направлении оси ОХ.
Обобщением вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:
|x – a| + |x – b|=b – a, где b >a Û a a Û x
Графики уравнений, содержащих знак модуля
Разделы: Математика
Цель:
закрепить методы построения графика линейной функции,
закрепить умение учащихся задавать уравнением функцию, заданную при помощи графика,
познакомить учащихся с тем, каким образом влияет знак модуля на отображение графика линейной функции
При решении многих математических задач необходимо быстро и точно строить графики любых функций, изучаемых в школьном курсе алгебры. Т.к. на уроке предстоит много построений, начинаем, вспоминая, как строить график линейной функции y = kx + b на основе анализа углового коэффициента и коэффициента смещения (слайд 2)
Сопоставляем уравнения и графики (слайд 3):
Построим в тетрадях в одной системе координат графики функций (y = —x; y = —x -4; y = -1/3 x – 2; y = 2x + 5; y = x + 1), проверяя себя при помощи слайда 4
Вспомним определение модуля числа x (слайд 5)
Рассматриваем, как можно построить график функции y = |x| на основании определения модуля, отбрасывая части прямых, не лежащих в полуплоскостях x 0 (слайд 6)
Аналогично рассматриваем способ построения графика функции y = |x + 1| (слайд 7)
Сравнивая графики и уравнения функций (слайд 8-9),
делаем вывод о том, как можно построить график функции y = |x + a| — b смещением графика функции y = |x| (слайд 10-11)
Строим в тетрадях графики функций y = |x-3| + 3, y = |x – 3| — 2, y = |x+2| — 5, y = |x + 3| + 2 и проверяем себя при помощи слайда 12
Далее учащиеся должны на основе рисунка, представленного на слайде 13, задать функцию уравнением:
При построении графиков очень важно научить ребят анализировать область определения и множество значений функции и “переносить” указанные множества на координатную плоскость.
Заполняем таблицу (слайд 12):
D(y)
E (y)
y = |x|
y = |x – 3|
y = |x – 3| +2
y = — |x|
y = |x + 2| -5
y = — |x +2| -5
И рассматриваем, как множества значений можно определить на основе графиков (слайд 15)
Учащимся предлагается определить D (y) и E(y) по рисунку (слайд 16):
Ученики самостоятельно придумывают уравнение функции по заданным D(y) и E(y) (слайд 17):
Анализируя графики и уравнения (слайд 18), ученики делают вывод о том, как влияет знак минуса перед модульными скобками на график. И самостоятельно задают уравнение по графикам, представленным на слайде 19.
Устно проговариваем уравнения функций по графикам (слайд 20):
Аналогично схеме предыдущего урока (слайд 21-27) ученики знакомятся с тем, каким образом влияет коэффициент перед аргументом функции на график. В результате они должны научиться описывать уравнением следующие графики:
Для закрепления полученных знаний, в тетрадях в одной системе координат ребята строят следующие графики:
равна большему из двух чисел a или –a
