Как решать уравнения с несколькими буквами

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Математика

66. Примеры решения систем с буквенными коэффициентами. Особенные системы. Рассмотрим 2 примера решения систем уравнений с 3 неизвестными с буквенными коэффициентами.

1. x – 3y = a, y – 3z = b, z – 3x = c

Определим из 1-го уравнения x через y и из 2-го z через y и подставим в 3-е уравнение:

x = a + 3y; z = (y – b) / 3
(y – b) / 3 – 3 (a + 3y) = c

y – b – 9a – 27y = 3c

y = –(9a + b + 3c) / 26

x = a – (27a + 3b + 3c) / 26 = – (a + 3b + 9c) / 26

2. x + ay – a 2 z = a 3
x + by – b 2 z = b 3
x + cy – c 2 z = c 3

Сначала из 1-го уравнения вычтем по частям 2-ое, — получим одно уравнение с y и z:

ay – by – a 2 z + b 2 z = a 3 – b 3

(a – b) y – (a 2 – b 2 ) z = a 3 – b 3 .

Мы можем теперь обе части этого уравнения разделить на a – b [в самом деле, мы знаем, что a 2 – b 2 = (a + b) (a – b) и a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2 ) ]. Получим:

y – (a + b) z = a 2 + ab + b 2 .

Затем вычтем по частям из 1-го третье уравнение, – получим другое уравнение с теми же неизвестными y и z:

ay – cy – a 2 z + c 2 z = a 3 – c 3 .

Его упростим подобно предыдущему:

(a – c) y – (a 2 – c 2 ) z = a 3 – c 3

y – (a + c) z = a 2 + ac + c 2

Теперь сложим по частям оба полученных уравнения, умножив предварительно обе части одного из них (напр. 2-ое) на (–1):

y – (a + b) z = a 2 + ab + b 2
–y + (a + c) z = –a 2 – ac – c 2
–———————————
(c – b) z = ab – ac + b 2 – c 2

–(b – c) z = a(b – c) + (b 2 – c 2 ).

Разделим обе части этого уравнения на (b – c):

Далее из уравнения y – (a + b) z = a 2 + ab + b 2 получим:

y = –(a + b) (a + b + c) + a 2 + ab + b 2

y = –ab – ac – bc = –(ab + ac + bc).

И из уравнения y – (a + b) z = a 2 + ab + b 2 получим:

y = –(a + b) (a + b + c) + a 2 + ab + b 2

y = – ab – ac – bc = –(ab + ac + bc).

И из уравнения x + ay – a 2 z = a 3 получим теперь:

x = –ay + a 2 z + a 3 = a 2 b + a 2 c + abc – a 3 – a 2 b – a 2 c + a 3

Рассмотрим теперь систему, подобную тем, какие были рассмотрены для двух неизвестных:

3/x + 2/y + 5/z = 1
6/x + 6/y – 5/z = 1 1/3
3/x + 4/y – 15/z = 0

Здесь не следует освобождать уравнения от дробей; наметим такой план: 1) из 1-го и 2-го при помощи уравнения числителей удалим z, 2) из 1-го и 3-го также исключим z и 3) решим два полученных уравнения с неизвестными x и y.

ru.aclevante.com

Как решать уравнения с несколькими буквами — Наука

Содержание:

Математики называют буквы в уравнениях переменными (см. Ссылку 1). В уравнении y = 4x и Y, и X представляют переменные. Некоторые уравнения содержат три или более переменных, таких как y = 4x + z. В общем, решение уравнения однозначно требует количества уравнений, равного количеству переменных. То есть два уравнения позволяют решить две переменные (см. Ссылку 2). Для трех переменных потребуется три уравнения. Ученые и математики называют несколько переменных, представленных в нескольких взаимосвязанных уравнениях, «одновременными уравнениями» (см. Ссылку 3).

Напишите уравнения, чтобы определить количество задействованных уравнений и переменных. В качестве примера рассмотрим уравнения одновременности 3x — 2y = 7 и — 4x + y = 6. Эти уравнения содержат две переменные, X и Y, и наличие двух уравнений позволяет однозначно решить обе переменные. Оба х и у будут решаться как числа.

Выберите переменную из любого уравнения и решите уравнение для этой переменной. Для одновременных уравнений 3x-2y = 7 и -4x + y = -6 можно сначала решить x в первом уравнении. «Решить для х» относится к изоляции переменной х на одной стороне знака равенства. 3x = 7-2 и x = (7-2y) / 3

Замените уравнение, решенное одной из переменных во втором уравнении, для оставшейся переменной. Продолжая предыдущий пример, второе уравнение равно -4x + y = -6. Подстановка x = (7 — 2y) / 3 в это уравнение дает -4 [(7 + 2y) / 3] + y = -6.

В уравнении -4 [(7 + 2y) / 3] + y = -6 уберите 3 в знаменателе, умножив все компоненты на 3. Это дает -4 (7 + 2y) + 3y = -18

Расширьте член (7 + 2y) до -28-8y, что дает -28-8y + 3y = -18.

Он объединяет аналогичные термины, что означает, что 8y и 3a можно суммировать как -28 — 5y = -18.

Затем добавьте 28 с обеих сторон уравнения, чтобы получить -5y = -10. Деление обеих сторон между -5 тогда изолирует к y как y = 2.

Замените числовое решение на переменную в любом из исходных уравнений, чтобы решить оставшуюся переменную. В этом случае y = 2. Подстановка этого в уравнение 3x — 2y = 7 дает 3x — 2 (2) = 7 или 3x — 4 = 7. Решено для x, это дает x = 1. Решение уравнений 3x = 2y = 7 и y = 4x + y = -6, следовательно, x = 1 и y = 2.

Consejos

В алгебре помните, что вы можете делать что угодно с одной стороны алгебраического выражения, если вы выполняете ту же функцию с другой стороны выражения.