Как решать уравнения с параметром аналитическим

Урок по теме «Методы решения задач с параметрами»

Разделы: Математика

Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.

Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.

При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Если a ≠ 1/2 , то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).

Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

График функции показан на рис.1.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a 25/4 – два решения.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = —ax +3a +2 имеет единственное решение.

Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t 2 + 8 и уравнение примет вид at 2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение at 2 + t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.

1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.

Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

Ⅱ . Степенные уравнения, неравенства и их системы.

Задача №2. Найти все значения параметра a, при которых множество решений неравенства:

содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

Преобразуем обе части неравенства.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:

Рис.4

При a > 6 множество решений неравенства: .

Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a).

Это

Ⅲ . Показательные уравнения, неравенства и системы.

Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.

3) При 0 0 , то z(x) > z(0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно неравенству . Если a ≥ 5 , то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 . Так как возрастает на , то z(3) .

Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.

По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Аналитические методы решения задач с параметрами

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ

Проблема исследования — Традиционно задачи с параметром включаются в варианты письменных экзаменов в вузы, централизованного тестирования и Единого государственного экзамен, поэтому мною выбрана актуальная тема «Аналитические методы решения задач с параметрами».

Цель работы – систематизировать методы решения задач с параметрами, сводящихся к исследованию квадратного.

В ходе исследования решались следующие задачи –

разработать блок схемы, отображающие всевозможные варианты, возникающие при решении квадратных уравнений с параметрами.

систематизировать наиболее часто встречаемые задачи с параметрами, выделить классы задач, решаемых по единой схеме, выработать приёмы для их решения

Методика – В процессе работы изучалась, обобщалась и анализировалась теория научных работ известных математиков, таких как Г.А. Ястребинского, С.А Шестакова, Е.В Юрченко и других.

Результаты – Разработанные блок – схемы помогут учащимся решать задачи с параметрами, которые включаются в варианты предлагаемого Единого государственного экзамена, а также при подготовке к вступительным экзаменам по математике в вузы.

Аналитические методы решения задач с параметрами

Знаки корней квадратного уравнения…..………… …………..…………..…. 6

Задачи с параметрами являются наиболее трудным разделом в школьном курсе математики. Трудности решения такого рода задач вызваны прежде всего тем, что в любом случае, даже при решении простейших уравнений и неравенств ,содержащих параметры ,приходится производить ветвление всех значений параметров на отдельные классы, при каждом из которых задача имеет решение. При этом необходимо чётко следить за сохранением равносильности решаемых уравнений и неравенств с учётом области определения выражений, входящих в уравнение или неравенство.

Основной целью исследовательской работы была систематизация (в форме блок-схем)наиболее часто встречающихся и наиболее типичных задач с параметром, связанных с исследованием квадратного трехчлена. Используя блок-схемы, выполнено решение ряда заданий из сборника задач лицея ТРТУ.

Традиционно задачи с параметрами включаются в варианты письменных экзаменов в вузы, централизованного тестирования и Единого государственного экзамена.

Аналитические методы решения задач с параметрами

Определение 1 . Уравнение вида ax 2 + bx + c , где a , b , c Є R , a ≠0 , называется квадратным уравнением относительно переменной x .

Ситуации, возникающие при решении квадратных уравнений, отразим в блок-схеме I .

корня

два различных корня

Пример 1 . При каких значениях параметра c уравнение ( c -2) x 2 +2( c -2)+2=0 не имеет корней?

Решение: Рассмотрим два случая:

2) если с-2=0, с=2, то заданное уравнение примет вид 0 x 2 +0 x +2=0, 2=0, т.е.

уравнение не имеет корней.

Пример 2 . При каких значениях параметра a уравнение

(a 2 -6 a +8) x 2 +( a 2 -4) x +10-3 a — a 2 =0 имеет более двух корней?

Решение: Так как квадратное не может иметь более двух корней, а линейное может иметь бесконечно много корней, то в силу схему VI имеем

10-3a-a 2 =0 a=-5, a=2, a=2.

Пример 3 . При каких значениях параметра m уравнение

Решение: Уравнение mx 2 -( m +1) x +2 m -1=0 имеет два различных действительных корня, если D>0, m≠0.

( m +1) 2 -4(2 m -1) m >0 m 2 +2 m +1-8 m 2 +4 m >0

Знаки корней квадратного уравнения .

Всевозможные комбинации знаков корней квадратного уравнения отразим в блок-схеме II.

Корни разных знаков

Корни одного знака

Пример 1. При каких значениях параметра с уравнение

(с-1)x 2 +( c +4) x + c +7=0 имеет отрицательные корни?

Решение: Рассмотрим два случая (линейный и квадратичный):

1)если с-1=0, с=1, то уравнение примет вид 5х+8=0, х=-5/8-отрицательный корень;

2)если с-1≠0, с≠1, то следуя схеме II, получим систему:

_-22/3 ₂ с

_{-4 1} с

-22/3≤с c ≤2 . Объединяя результаты обоих случаев, получим:

Пример 2. При каких значениях а уравнение (а-1)х 2 +2(2а+1)х+4а+3=0 имеет корни одного знака?

Рашение: Рассмотрим два случая:

1)если а-1=0, а=1, то уравнение примет вид 6х=-7, х=-7/6-один корень.

2)если а-1≠0, а≠1, то следуя схеме II:

Ответ:

Определение. Функция вида y = ax 2 + bx + c , где а≠0 , называется квадратичной. График квадратичной функции называется параболой. Абсциссы точек пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью (ОХ) являются корнями уравнения ax 2 + bx + c =0 .

Отразим взаимное расположение параболы и оси (ОХ) в блок-схеме III.

Пересекает ось (ОХ)

Касается оси (ОХ)

Не пе ресекает ось (ОХ)

Лежат выше оси (ОХ)

Лежат ниже оси (ОХ)

Пример 1. При каких значениях параметра а вершина параболы

Решение: Пусть (х ₀ ; у ₀ )- координаты вершины параболы. В силу замечания имеем х ₀ =7а, у ₀ =а 2 -10 +3а. Так как вершина параболы лежит в третьей четверти, то

-5 a

Пример 2. При каких значениях параметра b график функции лежит ниже оси (ОХ) ?

Решение: Рассмотрим два случая:

1)Если b =2 , то прямая у=8х-1 не лежит ниже оси (ОХ).

2)Если . b =-2 , то прямая у=-1 лежит ниже оси (ОХ) .

2.Пусть 4-b 2 ≠0 , тогда в соответствии со схемой III получим:

Настоящая исследовательская работа «Аналитические методы решения задач с параметрами» посвящена актуальному вопросу, систематизации методов решения задач с параметрами, сводящихся к исследованию квадратного трёхчлена.

В процессе работы были разработаны блок схемы, отображающие всевозможные варианты, возникающие при решении квадратных уравнений, исследованию корней квадратных уравнений.

Разработанные блок – схемы помогут учащимся решать задачи с параметрами, которые традиционно включаются в варианты предлагаемого Единого государственного экзамена, а также при подготовке к вступительным экзаменам по математике в вузы.

В процессе работы изучалась, обобщалась и анализировалась теория научных работ известных математиков, таких как Г.А. Ястребинского, С.А Шестакова, Е.В Юрченко и других.

1. Г. А. Ястребинецкий «Задачи с параметрами» Москва: «Просвещение», 1988 год

2. С. А. Шестаков, Е. В. Юрченко «Уравнения с параметром» Москва, 1993 г

3. И. А. Кушнир «Неравенства» Киев: Астарта, 1996 г.

4. П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский «Задачи с параметрами»

М.: Илекса, 1998 г

5. И. А. Лепская, А. Е. Лепский «Методы решения задач с параметрами», материалы II методического семинара, Таганрог: ТРТУ, 2003 г.

Как решать уравнения с параметром аналитическим

Урок по теме «Методы решения задач с параметрами»

Аналитические методы решения задач с параметрами

Рекомендации к решению задач с параметром