Как решать уравнения с разложением многочлена на множители

Решение уравнений методом разложения на множители

Решение уравнений разложения на множители (метод расщепления) – это способ решения уравнений при котором мы стремимся уравнение свести их к виду:

а затем каждую скобку приравнять к нулю и решить как отдельное уравнение.

Вынесем за скобку икс.

Разобьем уравнение на два простейших.

В первом корень уравнения уже понятен, во втором надо перенести \(5\) в правую сторону.

Решение методом разложения на множители основывается на простой идее:

В результате умножения ноль можно получить, только если один из множителей равен нулю.

Попробуйте придумать два числа, которые при умножении дают ноль. Вы убедитесь, что хотя бы одно из них обязательно должно быть нулем.

Этот метод решения уравнений один из самых популярных, поэтому освоить его очень важно для тех, кто планирует иметь четверки и пятерки. А для освоения этого метода, конечно, надо уметь раскладывать на множители как Бог: знать все формулы сокращенного умножения, легко выносить множители за скобки, уметь применять метод группировки и т.д. Подробнее о всех способах разложения на множители смотри здесь .

Пример(задание из ОГЭ). Решите уравнение \(x^3+4x^2-4x-16=0\).
Решение:

Перед нами кубическое уравнение.
Применим метод группировки: из первой пары слагаемых вынесем \(x^2\), а из второй – минус четверку.

Разложение многочлена на множители

Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.

Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.

Теория

Когда любой многочлен со степенью n , имеющие вид P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью a n и n линейных множителей ( x — x i ) , i = 1 , 2 , … , n , тогда P n ( x ) = a n ( x — x n ) ( x — x n — 1 ) · . . . · ( x — x 1 ) , где x i , i = 1 , 2 , … , n – это и есть корни многочлена.

Теорема предназначена для корней комплексного типа x i , i = 1 , 2 , … , n и для комплексных коэффициентов a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Это и есть основа любого разложения.

Когда коэффициенты вида a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами. Например, корни x 1 и x 2 , относящиеся к многочлену вида P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид P n ( x ) = a n ( x — x n ) ( x — x n — 1 ) · . . . · ( x — x 3 ) x 2 + p x + q , где x 2 + p x + q = ( x — x 1 ) ( x — x 2 ) .

Замечание

Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.

Основная теорема алгебры

Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.

Теорема Безу

После того, как произвели деление многочлена вида P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 на ( x — s ) , тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s , тогда получим

P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = ( x — s ) · Q n — 1 ( x ) + P n ( s ) , где Q n — 1 ( x ) является многочленом со степенью n — 1 .

Следствие из теоремы Безу

Когда корень многочлена P n ( x ) считается s , тогда P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = ( x — s ) · Q n — 1 ( x ) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен вида a x 2 + b x + c можно разложить на линейные множители. тогда получим, что a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 ) , где x 1 и x 2 — это корни (комплексные или действительные).

Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.

Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.

Необходимо найти корни уравнения 4 x 2 — 5 x + 1 = 0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D = ( — 5 ) 2 — 4 · 4 · 1 = 9 . Отсюда имеем, что

x 1 = 5 — 9 2 · 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 · 4 = 1

Отсюда получаем, что 4 x 2 — 5 x + 1 = 4 x — 1 4 x — 1 .

Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:

4 x — 1 4 x — 1 = 4 x 2 — x — 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 — 5 x + 1

После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.

Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3 x 2 — 7 x — 11 .

Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3 x 2 — 7 x — 11 = 0 .

Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что

3 x 2 — 7 x — 11 = 0 D = ( — 7 ) 2 — 4 · 3 · ( — 11 ) = 181 x 1 = 7 + D 2 · 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 — D 2 · 3 = 7 — 181 6

Отсюда получаем, что 3 x 2 — 7 x — 11 = 3 x — 7 + 181 6 x — 7 — 181 6 .

Произвести разложение многочлена 2 x 2 + 1 на множители.

Теперь нужно решить квадратное уравнение 2 x 2 + 1 = 0 и найти его корни. Получим, что

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = — 1 2 x 1 = — 1 2 = 1 2 · i x 2 = — 1 2 = — 1 2 · i

Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2 x 2 + 1 = 2 x — 1 2 · i x + 1 2 · i .

Произвести разложение квадратного трехчлена x 2 + 1 3 x + 1 .

Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x 2 + 1 3 x + 1 = 0 и найти его корни.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 — 4 · 1 · 1 = — 35 9 x 1 = — 1 3 + D 2 · 1 = — 1 3 + 35 3 · i 2 = — 1 + 35 · i 6 = — 1 6 + 35 6 · i x 2 = — 1 3 — D 2 · 1 = — 1 3 — 35 3 · i 2 = — 1 — 35 · i 6 = — 1 6 — 35 6 · i

Получив корни, запишем

x 2 + 1 3 x + 1 = x — — 1 6 + 35 6 · i x — — 1 6 — 35 6 · i = = x + 1 6 — 35 6 · i x + 1 6 + 35 6 · i

Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.

Способы разложения на множители многочлена степени выше второй

При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x 1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на ( x — x 1 ) . Полученный многочлен нуждается в нахождении корня x 2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.

Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями и целыми коэффициентами.

Вынесение общего множителя за скобки

Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как P n ( x ) = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x .

Видно, что корень такого многочлена будет равняться x 1 = 0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения P n ( x ) = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x = = x ( a n x n — 1 + a n — 1 x n — 2 + . . . + a 1 )

Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.

Выполнить разложение многочлена третьей степени 4 x 3 + 8 x 2 — x на множители.

Видим, что x 1 = 0 — это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:

4 x 3 + 8 x 2 — x = x ( 4 x 2 + 8 x — 1 )

Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4 x 2 + 8 x — 1 . Найдем дискриминант и корни:

D = 8 2 — 4 · 4 · ( — 1 ) = 80 x 1 = — 8 + D 2 · 4 = — 1 + 5 2 x 2 = — 8 — D 2 · 4 = — 1 — 5 2

Тогда следует, что

4 x 3 + 8 x 2 — x = x 4 x 2 + 8 x — 1 = = 4 x x — — 1 + 5 2 x — — 1 — 5 2 = = 4 x x + 1 — 5 2 x + 1 + 5 2

Разложение на множители многочлена с рациональными корнями

Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида P n ( x ) = x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1 .

Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.

Произвести разложение выражения f ( x ) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 .

Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа — 18 . Получим, что ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить коэффициенты разложения многочлена:

Отсюда следует, что х = 2 и х = — 3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:

f ( x ) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 = ( x — 2 ) ( x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9 ) = = ( x — 2 ) ( x + 3 ) ( x 2 + 2 x + 3 )

Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x 2 + 2 x + 3 .

Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.

Ответ: f ( x ) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 = ( x — 2 ) ( x + 3 ) ( x 2 + 2 x + 3 )

Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера. Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида P n ( x ) = x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , старший из которых на равняется единице.

Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.

Произвести разложение на множители f ( x ) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Необходимо выполнить замену переменной y = 2 x , следует переходить к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4 . Получаем, что

4 f ( x ) = 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g ( y )

Когда получившаяся функция вида g ( y ) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

Перейдем к вычислению функции g ( y ) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что

g ( 1 ) = 1 3 + 19 · 1 2 + 82 · 1 + 60 = 162 g ( — 1 ) = ( — 1 ) 3 + 19 · ( — 1 ) 2 + 82 · ( — 1 ) + 60 = — 4 g ( 2 ) = 2 3 + 19 · 2 2 + 82 · 2 + 60 = 308 g ( — 2 ) = ( — 2 ) 3 + 19 · ( — 2 ) 2 + 82 · ( — 2 ) + 60 = — 36 g ( 3 ) = 3 3 + 19 · 3 2 + 82 · 3 + 60 = 504 g ( — 3 ) = ( — 3 ) 3 + 19 · ( — 3 ) 2 + 82 · ( — 3 ) + 60 = — 42 g ( 4 ) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g ( — 4 ) = ( — 4 ) 3 + 19 · ( — 4 ) 2 + 82 · ( — 4 ) + 60 = — 28 g ( 5 ) = 5 3 + 19 · 5 2 + 82 · 5 + 60 = 1070 g ( — 5 ) = ( — 5 ) 3 + 19 · ( — 5 ) 2 + 82 · ( — 5 ) + 60

Получаем, что у = — 5 – это корень уравнения вида y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 , значит, x = y 2 = — 5 2 — это корень исходной функции.

Необходимо произвести деление столбиком 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 на x + 5 2 .

Запишем и получим:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 ( 2 x 2 + 14 x + 6 ) = = 2 x + 5 2 ( x 2 + 7 x + 3 )

Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x 2 + 7 x + 3 . Приравниванием к нулю и находим дискриминант.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 — 4 · 1 · 3 = 37 x 1 = — 7 + 37 2 x 2 = — 7 — 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 — 37 2 x + 7 2 + 37 2

Отсюда следует, что

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 — 37 2 x + 7 2 + 37 2

Искусственные приемы при разложении многочлена на множители

Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.

Способ группировки

Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.

Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 на множители.

Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1 , — 1 , 2 и — 2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках. Получаем, что

1 4 + 4 · 1 3 — 1 2 — 8 · 1 — 2 = — 6 ≠ 0 ( — 1 ) 4 + 4 · ( — 1 ) 3 — ( — 1 ) 2 — 8 · ( — 1 ) — 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 3 — 2 2 — 8 · 2 — 2 = 26 ≠ 0 ( — 2 ) 4 + 4 · ( — 2 ) 3 — ( — 2 ) 2 — 8 · ( — 2 ) — 2 = — 6 ≠ 0

Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.

Необходимо провести группировку:

x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 = x 4 + 4 x 3 — 2 x 2 + x 2 — 8 x — 2 = = ( x 4 — 2 x 2 ) + ( 4 x 3 — 8 x ) + x 2 — 2 = = x 2 ( x 2 — 2 ) + 4 x ( x 2 — 2 ) + x 2 — 2 = = ( x 2 — 2 ) ( x 2 + 4 x + 1 )

После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что

x 2 — 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = — 2 ⇒ x 2 — 2 = x — 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 — 4 · 1 · 1 = 12 x 1 = — 4 — D 2 · 1 = — 2 — 3 x 2 = — 4 — D 2 · 1 = — 2 — 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 — 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 = x 2 — 2 x 2 + 4 x + 1 = = x — 2 x + 2 x + 2 — 3 x + 2 + 3

Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.

Произвести разложение на множители многочлен x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 .

Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что

x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 = = ( x 4 + x 3 ) + ( 2 x 3 + 2 x 2 ) + ( — 2 x 2 — 2 x ) — x 2 — 2 x + 2 = = x 2 ( x 2 + x ) + 2 x ( x 2 + x ) — 2 ( x 2 + x ) — ( x 2 + 2 x — 2 ) = = ( x 2 + x ) ( x 2 + 2 x — 2 ) — ( x 2 + 2 x — 2 ) = ( x 2 + x — 1 ) ( x 2 + 2 x — 2 )

После разложения на множители получим, что

x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 = x 2 + x — 1 x 2 + 2 x — 2 = = x + 1 + 3 x + 1 — 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 — 5 2

Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители

Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.

Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 на множители.

Необходимо выполнить преобразование выражения к виду

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3

На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x + 1 4 .

Значит, имеем x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 .

После применения разности квадратов, получим

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 = = x + 1 4 — 3 = x + 1 2 — 3 x + 1 2 + 3

Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 = = x + 1 4 — 3 = x + 1 2 — 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 — 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Произвести разложение на множители x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Займемся преобразованием выражения. Получаем, что

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 — 2 = ( x + 2 ) 3 — 2

Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = ( x + 2 ) 3 — 2 = = x + 2 — 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 — 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Способ замены переменной при разложении многочлена на множители

При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.

Произвести разложение на множители многочлена вида x 6 + 5 x 3 + 6 .

По условию видно, что необходимо произвести замену y = x 3 . Получаем:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Корни полученного квадратного уравнения равны y = — 2 и y = — 3 , тогда

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 — 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 — 3 3 x + 9 3

То есть получили искомое разложение.

Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении и разложении многочлена на множители разными способами.

Разложение многочлена на множители

Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов.

Примером разложения многочлена на множители является вынесение общего множителя за скобки, поскольку исходный многочлен обращается в произведение двух сомножителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом.

Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки

При вынесении общего множителя за скобки образуется произведение из двух сомножителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом. Например:

В рамках изучения многочленов, одночлен принято считать многочленом, состоящим из одного члена. Поэтому, когда в многочлене выносится за скобки общий множитель, то говорят что исходный многочлен представлен в виде произведения многочленов.

В нашем примере многочлен 6x + 3xy был представлен в виде произведения многочленов 3x и (2 + y) . По-другому говорят, что многочлен 6x + 3xy разложен на множители 3x и (2 + y)

Существуют также многочлены, в которых можно вынести за скобки такой общий множитель, который является двучленом. Например, рассмотрим многочлен 5a(x + y) + 7a(x + y) . В этом многочлене общим множителем является двучлен (x + y) . Вынесем его за скобки:

Разложение многочлена на множители способом группировки

Некоторые многочлены содержат группу членов, имеющих общий множитель. Такие группы можно заключать в скобки и далее выносить общий множитель за эти скобки. В результате получается разложение исходного многочлена на множители, которое называют разложением на множители способом группировки.

Рассмотрим следующий многочлен:

Члены ax и ay имеют общий множитель a . Выпишем эти члены и заключим их в скобки:

Далее в многочлене ax + ay + 3 x + 3 y члены 3x и 3y имеют общий множитель 3. Выпишем эти члены и тоже заключим их в скобки:

Теперь соединим выражения (ax + ay) и (3x + 3y) знаком «плюс»

В многочлене (ax + ay) вынесем за скобки общий множитель a , а в многочлене (3x + 3y) вынесем за скобки общий множитель 3. Делать это нужно в исходном выражении:

Далее замечаем, что двучлен (x + y) является общим множителем. Вынесем его за скобки. Продолжаем решение в исходном примере. В результате получим:

Запишем решение покороче, не расписывая подробно, как каждый член был разделен на общий множитель. Тогда решение получится более компактным:

Чтобы проверить правильно ли мы разложили многочлен на множители, выполним умножение (x + y)(a + 3) . Если мы всё сделали правильно, то получим многочлен ax + ay + 3x + 3y

Пример 2. Разложить многочлен 9x + ax − 9y − ay на множители способом группировки.

Члены 9x и −9y имеют общий множитель 9. А члены ax и −ay имеют общий множитель a . Сгруппируем их с помощью скобок, и объединим с помощью знака «плюс»

В первой группе (9x − 9y) вынесем за скобки общий множитель 9. Во второй группе (ax − ay) вынесем за скобки за скобки общий множитель a

Далее вынесем за скобки двучлен (x − y)

Пример 3. Разложить многочлен ab − 3b + b 2 − 3a на множители способом группировки.

Сгруппируем первый член ab с четвёртым членом −3a . А второй член −3b сгруппируем с третьим членом b 2 . Не забываем, что объединять группы нужно с помощью знака «плюс»

В первой группе вынесем за скобки общий множитель a , во второй группе — общий множитель b

Во втором произведении b(−3 + b) в сомножителе (−3 + b) изменим порядок следования членов. Тогда получим b(b − 3)

Теперь вынесем за скобки общий множитель (b − 3)

Пример 4. Разложить многочлен x 2 y + x + xy 2 + y + 2xy + 2 на множители способом группировки.

Сгруппируем первый член многочлена со вторым, третий с четвёртым, пятый с шестым:

В первой группе вынесем за скобки общий множитель x , во второй группе — общий множитель y , в третьей группе — общий множитель 2

Далее замечаем, что многочлен (xy + 1) является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Разложение многочлена на множители по формуле квадрата суммы двух выражений

Формулы сокращённого умножения, которые мы рассматривали в прошлом уроке, можно применять для разложения многочленов на множители.

Вспомним, как выглядит формула квадрата суммы двух выражений:

Поменяем местами левую и правую часть, получим:

Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b) 2 представляет собой перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (a + b).

Стало быть, если нам встретится выражение вида a 2 + 2ab + b 2 , то мы можем представить его в виде произведения (a + b) (a + b) . Иными словами, разложить на множители (a + b) и (a + b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 4x 2 + 12xy + 9y 2

Чтобы воспользоваться формулой a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 , нужно узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b .

Первый член многочлена 4x 2 + 12xy + 9y 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 2x , поскольку (2x) 2 = 4x 2 . Третий член 9y 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 3y , поскольку (3y) 2 = 9y 2 , а член 12xy это есть удвоенное произведение членов 2x и 3y , то есть 2 × 2x × 3y = 12xy .

Очевидно, что переменная a в данном случае равна 2x , а переменная b равна 3y

Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 4x 2 + 12xy + 9y 2 выглядело в виде квадрата суммы (2x + 3y) 2 , но в результате применения формулы квадрата суммы оно обратилось в многочлен 4x 2 + 12xy + 9y 2 . Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (2x + 3y) 2

А поскольку (2x + 3y) 2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (2x + 3y) , то исходный многочлен 4x 2 + 12xy + 9y 2 можно представить в виде разложения на множители (2x + 3y) и (2x + 3y)

Полностью решение можно записать так:

Пример 2. Разложить на множители многочлен x 2 + 12x + 36

Первый член данного многочлена является результатом возведения в квадрат одночлена x, поскольку x 2 = x 2 , третий член — результатом возведения в квадрат числа 6, поскольку 6 2 = 36 , а член 12x это удвоенное произведение членов x и 6 , поскольку 2 × x × 6 = 12x .

Воспользуемся формулой a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 . Роль переменной a играет одночлен x , а роль переменной b играет одночлен 6 . Отсюда:

А поскольку (x + 6) 2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (x + 6) , то исходный многочлен x 2 + 12x + 36 можно представить в виде разложения на множители (x + 6) и (x + 6)

Разложение многочлена на множители по формуле квадрата разности двух выражений

Как и по формуле квадрата суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле квадрата разности двух выражений.

Формула квадрата разности двух выражений выглядит так:

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:

Поскольку правая часть это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a 2 − 2ab + b 2 можно разложить на множители (a − b) и (a − b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 9x 2 − 12xy + 4y 2

Чтобы воспользоваться формулой a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2 , нужно узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b .

Первый член данного многочлена является результатом возведения в квадрат одночлена 3x , поскольку (3x) 2 = 9x 2 . Третий член 4y 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 2y , поскольку (2y) 2 = 4y 2 , а член 12xy это удвоенное произведение членов 3x и 2y , то есть 2 × 3x × 2y = 12xy .

Очевидно, что переменная a в данном случае равна 3x , а переменная b равна 2y

Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 9x 2 − 12xy + 4y 2 выглядело в виде квадрата разности (3x − 2y) 2 , но в результате применения формулы квадрата разности оно обратилось в многочлен 9x 2 − 12xy + 4y 2 . Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (3x − 2y) 2

А поскольку (3x − 2y) 2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (3x − 2y) , то исходный многочлен 9x 2 − 12xy + 4y 2 можно представить в виде разложения на множители (3x − 2y) и (3x − 2y)

Полностью решение можно записать так:

Пример 2. Разложить на множители многочлен x 2 − 4x + 4

Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:

Разложение многочлена на множители по формуле куба суммы двух выражений

Вспомним, как выглядит формула куба суммы двух выражений:

Поменяем местами левую и правую часть, получим:

Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b) 3 представляет собой перемножение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (a + b).

Стало быть, если нам встретится выражение вида a 3 + 3a 2 b +3ab 2 + b 3 , то мы можем представить его в виде произведения (a + b)(a + b)(a + b) . Иными словами, разложить на множители (a + b), (a + b) и (a + b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3

Прежде чем применять формулу куба суммы, следует проанализировать данный многочлен. А именно, убедиться что перед нами действительно куб суммы двух выражений.

Чтобы убедиться, что исходное выражение является кубом суммы двух выражений, следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b .

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена m

Последний член 8n 3 является результатом возведения в куб одночлена 2n

Второй член 6m 2 n является утроенным произведением квадрата первого выражения m и последнего 2n

Третий член 12mn 2 является утроенным произведением первого выражения m и квадрата последнего выражения 2n

То есть исходный многочлен m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3 по всем параметрам соответствует кубу суммы двух выражений. Переменной a в данном многочлене соответствует m , а переменной b соответствует 2n

Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3 выглядело в виде куба суммы (m + 2n) 3 , но в результате применения формулы куба суммы оно обратилось в многочлен m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3 . Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (m + 2n) 3

А поскольку (m + 2n) 3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (m + 2n) , то исходный многочлен m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3 можно представить в виде разложения на множители (m + 2n), (m + 2n) и (m + 2n)

Пример 2. Разложить на множители многочлен 125x 3 + 75x 2 + 15x + 1

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 5x

Последний член 1 является результатом возведения в куб одночлена 1

Второй член 75x 2 является утроенным произведением квадрата первого выражения 5x и последнего 1

Третий член 15x является утроенным произведением первого выражения 5x и квадрата второго выражения 1

Воспользуемся формулой a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 . Роль переменной a играет одночлен 5x , а роль переменной b играет одночлен 1

А поскольку (5x + 1) 3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (5x + 1) , то исходный многочлен 125x 3 + 75x 2 + 15x + 1 можно представить в виде разложения на множители (5x + 1), (5x + 1) и (5x + 1)

Разложение многочлена на множители по формуле куба разности двух выражений

Как и по формуле куба суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле куба разности двух выражений.

Вспомним, как выглядит формула куба разности двух выражений:

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:

Поскольку правая часть это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 можно разложить на множители (a − b), (a − b) и (a − b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3

Прежде чем применять формулу куба разности, следует проанализировать данный многочлен. А именно, убедиться что перед нами действительно куб разности двух выражений.

Чтобы убедиться, что исходное выражение является кубом разности двух выражений, следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b .

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 4

Последний член 8x 3 является результатом возведения в куб одночлена 2x

Второй член 96x является утроенным произведением квадрата первого выражения 4 и последнего 2x

Третий член 48x 2 является утроенным произведением первого выражения 4 и квадрата второго выражения 2x

3 × 4 × (2x) 2 = 3 × 4 × 4x 2 = 48x 2

Видим, что исходный многочлен 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3 по всем параметрам соответствует кубу разности двух выражений. Переменной a в данном многочлене соответствует 4 , а переменной b соответствует 2x

Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3 выглядело в виде куба разности (4 − 2x) 3 , но в результате применения формулы куба разности оно обратилось в многочлен 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3 . Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (4 − 2x) 3

А поскольку (4 − 2x) 3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен (4 − 2x) , то исходный многочлен 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3 можно представить в виде разложения на множители (4 − 2x) , (4 − 2x) и (4 − 2x)

Пример 2. Разложить на множители многочлен 27 − 135x + 225x 2 − 125x 3

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 3

Последний член 125 является результатом возведения в куб одночлена 5x

Второй член 135x является утроенным произведением квадрата первого выражения 3 и последнего 5x

Третий член 225x 2 является утроенным произведением первого выражения 3 и квадрата второго выражения 5x

3 × 3 × (5x) 2 = 3 × 3 × 25x 2 = 225x 2

Воспользуемся формулой a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = (a − b) 3 . Роль переменной a играет одночлен 3 , а роль переменной b играет одночлен 5x

А поскольку (3 − 5x) 3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (3 − 5x) , то исходный многочлен 27 − 135x + 225x 2 − 125x 3 можно представить в виде разложения на множители (3 − 5x) , (3 − 5x) и (3 − 5x)

Разложение многочлена на множители по формуле разности квадратов двух выражений

Вспомним, как выглядит формула умножения разности двух выражений на их сумму:

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:

Эту формулу называют разностью квадратов. Она позволяет разложить выражение вида a 2 − b 2 на множители (a − b) и (a + b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 16x 2 − 25y 2

Чтобы воспользоваться формулой a 2 − b 2 = (a − b)(a + b), следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b .

Первый член 16x 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 4x

Второй член 25y 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 5y

То есть в данном случае переменной a соответствует одночлен 4x , а переменной b соответствует одночлен 5y

Теперь можно воспользоваться формулой a 2 − b 2 = (a − b)(a + b) . Подставим в неё наши значения a и b

Полностью решение можно записать так:

Для проверки можно выполнить умножение (4x − 5y)(4x + 5y) . Если мы всё сделали правильно, то должны получить 16x 2 − 25y 2

Пример 2. Разложить на множители многочлен x 2 − y 2

В данном случае переменной a соответствует x , а переменной b соответствует y . Тогда по формуле квадрата разности имеем:

Случай как в данном примере является наиболее простым, поскольку здесь сразу видно чему равно a и чему равно b .

Чаще всего члены, из которых состоит исходная разность, являются результатами возведения во вторую степень каких-нибудь одночленов. Чтобы узнать чему в таком случае равны a и b, нужно как в первом примере представить члены исходной разности в виде одночленов возведённых в квадрат.

Например, чтобы разложить многочлен 4x 4 − 9y 6 на множители, нужно исходные члены представить в виде одночленов возведённых в квадрат. Первый член в виде одночлена, возведенного в квадрат, можно записать как (2x 2 ) 2 , поскольку вычисление этого выражение даёт в результате 4x 4

А член 9y 6 в виде одночлена, возведенного в квадрат, можно записать как (3 y 3 ) 2 , поскольку вычисление этого выражение даёт в результате 9y 6

Теперь мы знаем, чему равны a и b . Они равны 2x 2 и 3y 3 соответственно. Подставим их в формулу a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

Полностью решение можно записать так:

Несмотря на простоту разложения по формуле разности квадратов, частые ошибки приходятся именно на эти задачи. Чтобы убедиться, что задача решена правильно, не мешает выполнить умножение в получившемся разложении. Если задача решена правильно, то должен получиться изначальный многочлен.

Проверим умножением данный пример. У нас должен получиться многочлен 4x 4 − 9y 6

Пример 4. Разложить на множители многочлен 81 − 64

Представим члены исходной разности в виде одночленов возведенных в квадрат. Далее воспользуемся формулой разности квадратов:

81 − 64 = 9 2 − 8 2 = (9 − 8)(9 + 8)

Разложение многочлена на множители по формуле сумме кубов двух выражений

Мы помним, что произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений:

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим формулу, называемую суммой кубов двух выражений:

Эта формула позволяет разложить выражение вида a 3 + b 3 на множители (a + b) и (a 2 − ab + b 2 ) .

Пример 1. Разложить на множители многочлен 27x 3 + 64y 3

Представим члены 27x 3 и 64y 3 в виде одночленов, возведённых в куб

Теперь воспользуемся формулой суммы кубов. Переменная a в данном случае равна 3x , переменная b равна 4y

Пример 2. Разложить на множители многочлен 125 + 8

Представим члены 125 и 8 в виде одночленов, возведённых в куб:

125 + 8 = 5 3 + 2 3

Далее воспользуемся формулой суммы кубов:

125 + 8 = 5 3 + 2 3 = (5 + 2)(25 − 10 + 4)

Разложение многочлена на множители по формуле разности кубов двух выражений

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений:

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим формулу, называемую разностью кубов двух выражений:

Эта формула позволяет разложить выражение вида a 3 − b 3 на множители (a − b) и (a 2 + ab + b 2 ) .

Пример 1. Разложить на множители многочлен 64x 3 − 27y 3

Представим члены 64x 3 и 27y 3 в виде одночленов, возведённых в куб:

Теперь воспользуемся формулой разности кубов. Переменная a в данном случае равна 4x , переменная b равна 3y

Пример 2. Разложить на множители многочлен 64 − 27

Представим члены 64 и 27 в виде одночленов, возведённых в куб:

64 − 27 = 4 3 − 3 3 = (4 − 3)(16 + 12 + 9)

Пример 3. Разложить на множители многочлен 125x 3 − 1

Представим члены 125x 3 и 1 в виде одночленов, возведённых в куб:

Теперь воспользуемся формулой разности кубов. Переменная a в данном случае равна 5x , переменная b равна 1

Разложение многочлена на множители различными способами

К некоторым многочленам можно применять различные способы разложения на множители. Например, к одному многочлену можно применить способ вынесения общего за скобки, а затем воспользоваться одной из формул сокращённого умножения.

Пример 1. Разложить на множители многочлен ax 2 − ay 2

В данном многочлене содержится общий множитель a . Вынесем его за скобки:

При этом в скобках образовался многочлен, который является разностью квадратов. Применив формулу разности квадратов. Тогда получим:

Пример 2. Разложить на множители многочлен 3x 2 + 6xy + 3y 2

Вынесем за скобки общий множитель 3

В скобках образовался многочлен, который является квадратом суммы двух выражений, а именно выражений x и y . Тогда этот квадрат суммы можно представить как (x + y) 2 и далее записать в виде двух сомножителей, каждый из которых равен (x + y)