Степенные или показательные уравнения.
Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.
Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a•a•…•a=a n
3. a n • a m = a n + m
5. a n b n = (ab) n
7. a n /a m = a n — m
Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.
Примеры показательных уравнений:
В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.
Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0
Теперь разберем как решаются показательные уравнения?
Возьмем простое уравнение:
Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:
Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.
Теперь подведем итоги нашего решения.
Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.
Теперь прорешаем несколько примеров:
Начнем с простого.
Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.
x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2
В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.
Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:
Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n ) m = a nm .
Получим 9 х+8 =(3 2 ) х+8 =3 2х+16
3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.
3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.
Смотрим следующий пример:
2 2х+4 — 10•4 х = 2 4
В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n ) m = a nm .
4 х = (2 2 ) х = 2 2х
И еще используем одну формулу a n • a m = a n + m :
2 2х+4 = 2 2х •2 4
Добавляем в уравнение:
2 2х •2 4 — 10•2 2х = 24
Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х ,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:
2 2х (2 4 — 10) = 24
Посчитаем выражение в скобках:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Все уравнение делим на 6:
Представим 4=2 2 :
2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.
9 х – 12*3 х +27= 0
Преобразуем:
9 х = (3 2 ) х = 3 2х
Получаем уравнение:
3 2х — 12•3 х +27 = 0
Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены. Число с наименьшей степенью заменяем:
Тогда 3 2х = (3 х ) 2 = t 2
Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:
t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Возвращаемся к переменной x.
3 х = 9
3 х = 3 2
х1 = 2
Один корень нашли. Ищем второй, из t2:
t2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х2 = 1
Ответ: х1 = 2; х2 = 1.
На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.
Показательные уравнения
О чем эта статья:
6 класс, 7 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение показательного уравнения
Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.
Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:
Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.
С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a
Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.
Свойства степеней
Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.
Решение показательных уравнений
Презентация к уроку
Тип урока: урок изучения новой темы.
Продолжительность урока: 2 часа ( 90 минут).
Цели урока:
- образовательные: формирование понятия показательного уравнения; ознакомление учащихся с типами показательных уравнений; формирование умений и навыков решения показательных уравнений;
- развивающие: развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей; формирование математической речи;
- воспитательные: формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради и самостоятельность мышления у учащихся.
Задачи урока
- Повторить свойства показательной функции
- Отработать алгоритм решения показательных уравнений
- Научить учащихся различать типы показательных уравнений
- Научить учащихся решать показательные уравнения
1. Организационный этап.
“Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по–моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно. И решать их нужно правильно”.
Альберт Энштейн
На предыдущих уроках мы познакомились с показательной функцией, изучили ее свойства. Сегодня нам предстоит повторить свойства показательной функции, уметь применять их при решении показательных уравнений, рассмотреть примеры уравнений, предлагаемых на экзамене базового уровня.
а) представить в виде степени с основанием 2: 32; 0,5; 1; ;
б) вычислить ; ( 10 ; .
в) сколько точек пересечения имеют графики функций у = 2 х и у=16; у= 5 -х и у= 0,2; у=3 х и у = 7 х .
2. Объяснение новой темы. Решение показательных уравнений
Определение. Показательными называются уравнения, содержащие переменную в показателе степени.
Теорема. Если а > 1, а 1, то уравнение а f( x ) = a g (x ) равносильно уравнению f( x ) = g (x ).
1. Если b 0, то уравнение а f( x ) = b решений не имеет.
Пример. 5 х + 1 = -5 решений нет; 5 х + 1 = 0 решений нет.
2. Уравнение а f( x ) = 1 равносильно уравнению f ( x ) = 0 ( а f( x ) = а 0 равносильно уравнению f ( x ) = 0 ).
Пример.
- 2 4х +1 = 1,
- 2 4х +1 = 2 0 ,
- 4х +1 = 0,
- х = — 1 : 4,
- х = — 0,25.
3. Уравнение а f( x ) = a n равносильно уравнению f ( x ) = n.
а) 7 х = 7 2 , х = 2.
б) 7 х = 49, 7 х = 7 2 , тогда х = 2
в) 7 3х – 2 = 7 – 2 , 3х – 2 = — 2, 3х = 0, тогда х= 0
г) 7 2х = , 7 2х = 7 — 2 , 2х = -2 , тогда х = -1
4. Уравнение а f( x ) = b f (x ) равносильно уравнению , значит f ( x ) = 0.
Пример. 3 2х-1 = 5 2х-1 , , 2х-1=0, тогда х = .
5. Показательные уравнения, приводящиеся к линейному.
Рассмотрим уравнение, сводящееся к линейному с помощью вынесения за скобки общего множителя.
3 х+1 + 3 х =108, т.к. 3 х+1 = 3 х * 3 , то уравнение можно записать в виде 3 * 3 х + 3 х = 108; вынесем за скобки общий множитель 3 х , получим
6 х + 1 +35 * 6 х -1 = 71, вынесем за скобки наименьший множитель 6 х -1 , т.к. 6 х + 1 = 6 х-1 * 6 2 , то получим 6 х -1 ( 6 2 + 35) = 71,
2 х+1 + 2 х-1 +2 х = 28, вынесем за скобки наименьший множитель 2 х -1 , получим 2 х-1 (2 2 + 1 +2 ) = 28,
5 1-х + + = 155 ,
5 1-х + + = 155, вынесем общий множитель 5 -х за скобки, получим
5 – х ( 5 + 5 2 +1) = 155,
5 – х ( 5 + 25 +1) = 155,
7 3-х — 7 2 –х = 2 5 –х – 2 3 –х ,
7 * 7 2-х — 7 2 –х = 8 * 2 2 –х – 2 * 2 2 –х ,
7 2-х (7 — 1) = 2 2 –х (8 – 2),
7 2-х * 6 = 2 2 –х * 6, 7 2-х = 2 2 –х ,
,
6. Показательные уравнения, приводящиеся к квадратному.
Рассмотрим уравнение в общем виде Аа 2х + Ва х + С =0
Пусть а х = t и а 2х = t 2 , тогда Аt 2 + Вt + С =0 – квадратное уравнение.
т.к. 4 х = 2 2х = (2 х ) 2 ; пусть 2 х = t и 2 2х = t 2 , тогда
если t1=4, то 2 х = 4, х=2;
если t2=1, то 2 х = 1, х=0. Ответ: 0; 2.
,
,
пусть , тогда + 13t -12 = 0,
t1=, t2= 1,
= решения нет;
=,
7. Однородные показательные уравнения
Рассмотрим уравнение А.
Разделим почленно на . Получим уравнение , пусть , тогда уравнение принимает вид .
Пример. .
, разделим на , получим уравнение
, пусть , тогда
, t1 = 1, t2= ,
тогда , х=0 ;
и х = -1.
8. Задание. Определите, каким методом будем решать каждое уравнение
1)
2)
3) .
Вывод: Существуют методы решения показательных уравнений:
- Метод приведения степеней к одному основанию
- Вынесение общего множителя за скобки
- Метод замены переменной
- Метод почленного деления (однородные уравнения )
3. Подведение итогов урока.
“Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели.” Лейбниц.
4. Домашняя работа (задание на карточке уравнения п.8).
5. Рефлексия
- Сегодня на уроке я повторил .
- Сегодня на уроке я узнал .
- Сегодня на уроке я научился .
— Оцените свои знания и умения по данной теме.
http://skysmart.ru/articles/mathematic/pokazatelnye-uravneniya
http://urok.1sept.ru/articles/661061