sin(-a),cos(-a),tg(-a),ctg(-a). Минус в аргументе синуса, косинуса
И сразу два важных замечания.
Многие ученики думают, что если можно вынести минус из тригонометрической функции, то можно вынести и число, но это не так:
Квадрат меняет ситуацию. Всё дело в том, что \(sin^2(-x)=(sin(-x) )^2=(-sin\,x )^2=sin^2x\), т.е. минус все равно выносится, но так как синуса два и они перемножаются, то в итоге получается плюс.
Примеры из ЕГЭ
Из рисунка видно, что и косинус, и синус положителен. Косинус из трех стандартных значений \(\frac<1><2>\), \(\frac<\sqrt<2>><2>\), \(\frac<\sqrt<3>><2>\) принимает наименьшее т.е. \(cos\,\frac<π><3>=\frac<1><2>\). Синус из трех стандартных значений будет равен среднему т.е. \(sin\,\frac<π><4>=\frac<\sqrt<2>><2>\). Получается:
Если вы не поняли почему \(\frac<π><3>\) и \(\frac<π><4>\) находятся на круге там, где мы из обозначили, то читайте статью « Как обозначать числа с пи на числовой окружности? ». А если не поняли, как мы нашли синус и косинус, то читайте статью « Как найти синус и косинус без тригонометрической таблицы ».
Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения \(44\sqrt<3>\,tg\,(-480^° )\).
Решение. \(44\sqrt<3>\,tg(-480^° )=-44\sqrt<3>\,tg(480^° )=-44\sqrt<3>\,tg(360^°+120^° )=-44\sqrt<3>\,tg(360^°+90^°+30^°)\).
Находим \(480^°\) на окружности:
Соединяем точку, соответствующую \(480^°\) и центр окружности, и продляем до оси тангенсов:
Мы попадаем в самое маленькое (из стандартных) значение тангенса.
Значит, \(tg(480^° )=-\sqrt<3>\).
В итоге имеем: \(44\sqrt <3>tg(-480^° )=-44\sqrt<3>\cdot(-\sqrt<3>)=44\cdot 3=132\).
Ответ: \(132\).
Если вам не понятно, как мы нашли значение тангенса, то читайте статью « Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы? ».
Доказательства формул с минусом в аргументе:
Простейшие тригонометрические уравнения. Часть 1
Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:
Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники часто допускают ошибки, что ведет к потере баллов на ЕГЭ. Именно поэтому так важна данная тема.
Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений.
Первый подход — бессмысленный и тяжёлый. Следуя ему, надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрежки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы отказываемся от такого подхода раз и навсегда.
Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.
Уравнения и
Напомним, что — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу , а — её ордината.
Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения и имеют решения только при условии .
Абитуриент, будь внимателен! Уравнения или решений не имеют!
Начнём с самых простых уравнений.
. .
Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1:
Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: . Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов (т. е. нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).
Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:
Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что — это множество целых чисел.
Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой :
Эта точка соответствует углу и всем углам, отличающихся от на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:
. .
Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой :
И записываем ответ:
Обсуждать тут уже нечего, не так ли? 🙂
Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:
Это — дело исключительно вашего вкуса.
Заодно сделаем первое полезное наблюдение. Чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить .
На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой 0:
Эти точки соответствуют углам Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов (т. е. с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны). Таким образом,
Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.
Точки с абсциссой 0 также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:
Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из — прибавлением целого числа углов (полуоборотов):
Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.
Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить .
Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от 0 или ). Начинаем с косинуса.
Имеем вертикальную пару точек с абсциссой :
Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):
Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:
Обе серии решений можно описать одной формулой:
Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.
Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее.
Имеем горизонтальную пару точек с ординатой :
Углы, отвечающие правой точке:
Углы, отвечающие левой точке:
Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет. Можно записать ответ в таком виде:
Тем не менее, объединяющая формула существует, и её надо знать. Выглядит она так:
На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она дает обе серии решений. Но давайте посмотрим, что получается при чётных . Если , то
Мы получили первую серию решений . А если — нечетно, , то
Это вторая серия .
Обратим внимание, что в качестве множителя при обычно ставится правая точка, в данном случае .
Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.
На этом с синусом и косинусом пока всё. Переходим к тангенсу.
Линия тангенсов.
Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).
Из подобия треугольников и имеем:
Мы рассмотрели случай, когда находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.
Тангенс угла равен ординате точки , которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой , соединяющей точку с началом координат.
Вот рисунок в случае, когда находится во второй четверти. Тангенс угла отрицателен.
Уравнение
Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение имеет решения при любом .
.
Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:
Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:
Имеем диаметральную пару:
Вспоминаем второе полезное наблюдение и пишем ответ:
Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.
На этом заканчиваем пока и с тангенсом.
Уравнение нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что:
уравнение равносильно уравнению ;
при уравнение равносильно уравнению .
Впрочем, существует также и линия котангенсов, но. . . Об этом мы вам расскажем на занятиях 🙂
Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций. Именно такие задачи встречаются в части В вариантов ЕГЭ.
А что делать, например, с уравнением ? Для этого надо сначала познакомиться с обратными тригонометрическими функциями. О них мы расскажем вам в следующей статье.
Методы решения тригонометрических уравнений
Разделы: Математика
Составной частью ЕГЭ являются тригонометрические уравнения.
К сожалению, не существует общего единого метода, следуя которому можно было бы решить любое уравнение, в котором участвуют тригонометрические функции. Успех здесь могут обеспечить лишь хорошие знания формул и умение видеть те или иные полезные комбинации, что вырабатывается лишь практикой.
Общая цель обычно состоит в преобразовании входящего в уравнение тригонометрического выражения к такому виду, чтобы корни находились из так называемых простейших уравнений:
сos px = a; | sin gx = b; | tg kx = c; | ctg tx = d. |
Для этого необходимо уметь применять тригонометрические формулы. Полезно знать и называть их “именами”:
1. Формулы двойного аргумента, тройного аргумента:
сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;
sin 2x = 2 sin x cos x;
tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;
ctg 2x = (ctg 2 x – 1)/2 ctg x;
sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3 x;
cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;
tg 3x = (2 tg x – tg 3 x)/(1 – 3 tg 2 x);
ctg 3x = (ctg 3 x – 3ctg x)/(3ctg 2 x – 1);
2. Формулы половинного аргумента или понижения степени:
sin 2 x/2 = (1 – cos x)/2; сos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;
tg 2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);
ctg 2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);
3. Введение вспомогательного аргумента:
рассмотрим на примере уравнения a sin x + b cos x = c а именно, определяя угол х из условий sin y = b/v(a 2 + b 2 ), cos y = a/v(a 2 + b 2 ), мы можем привести рассматриваемое уравнение к простейшему sin (x + y) = c/v(a 2 + b 2 ) решения которого выписываются без труда; тем самым определяются и решения исходного уравнения.
4. Формулы сложения и вычитания:
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;
sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b;
cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b;
cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;
tg (a + b) = ( tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);
tg (a – b) = ( tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);
5. Универсальная тригонометрическая подстановка:
cos a = (1 – tg 2 (a/2))/(1 + (tg 2 (a/2));
tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));
6. Некоторые важные соотношения:
sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));
cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));
7. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:
sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 cos (a – b)/2;
sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;
cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;
cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;
tg a + tg b = sin (a + b)/(cos a cos b);
tg a – tg b = sin (a – b)/(cos a cos b).
А также формулы приведения.
В процессе решения надо особенно внимательно следить за эквивалентностью уравнений, чтобы не допустить потери корней (например, при сокращении левой и правой частей уравнения на общий множитель), или приобретения лишних корней (например, при возведении обеих частей уравнения в квадрат). Кроме того, необходимо контролировать принадлежат ли получающие корни к ОДЗ рассматриваемого уравнения.
Во всех необходимых случаях (т.е. когда допускались неэквивалентные преобразования), нужно обязательно делать проверку. При решении уравнении необходимо научить учащихся сводить их к определенным видам, обычно начиная с легких уравнении.
Ознакомимся с методами решения уравнений:
1. Сведение к виду аx 2 + bx + c = 0
2. Однородность уравнений.
3. Разложение на множители.
4. Сведение к виду a 2 + b 2 + c 2 = 0
5. Замена переменных.
6. Сведение уравнения к уравнению с одной переменной.
7. Оценка левой и правой части.
8. Метод пристального взгляда.
9. Введение вспомогательного угла.
10. Метод “ Разделяй и властвуй ”.
1. Решить уравнение: sin x + cos 2 х = 1/4.
Решение: Решим методом сведения к квадратному уравнению. Выразим cos 2 х через sin 2 x
4 sin 2 x – 4 sin x – 3 = 0
sin x = -1/2, sin x = 3/2(не удовлетворяет условию х€[-1;1]),
т.е. х = (-1) к+1 arcsin 1/2 + k, k€z,
Ответ: (-1) к+1 /6 + k, k€z.
2. Решить уравнение: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,
решим способом разложения на множители
2 tg x cos x – 2 cos x + 1 – tg x = 0,где х /2 + k, k€z,
2 cos x (tg x – 1) – (tg x – 1) = 0
(2 cos x – 1) (tg x – 1) = 0
2 cos x – 1 = 0 или tg x – 1 = 0
cos x = 1/2, tgx = 1,
т.е х = ± /3 + 2k, k€z, х = /4 + m, m€z.
Ответ: ± /3 + 2k, k€z, /4 + m, m€z.
3. Решить уравнение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0.
Решение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0 однородное уравнение 2 степени. Поскольку cos x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим левую и правую часть на cos 2 х. В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg x
tg x = 1 и tg x = 2,
откуда х = /4 + m, m€z,
х = arctg 2 + k, k€z.
Ответ: /4 + m, m€z, arctg 2 + k, k€z.
4. Решить уравнение: cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4.
Решение: Метод введения новой переменной
Пусть 5х + 6 = у, тогда cos 2у + 42 sin у = 4
1 – 2 sin 2 у + 42 sin у – 4 = 0
sin у = t, где t€[-1;1]
2t 2 – 42t + 3 = 0
t = 2/2 и t = 32/2 (не удовлетворяет условию t€[-1;1])
sin (5x + 6) = 2/2,
5x + 6 = (-1) к /4 + k, k€z,
х = (-1) к /20 – 6/5 + k/5, k€z.
Ответ: (-1) к ?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.
5. Решить уравнение: (sin х – cos у) 2 + 40х 2 = 0
Решение: Используем а 2 +в 2 +с 2 = 0, верно, если а = 0, в = 0, с = 0. Равенство возможно, если sin х – cos у = 0, и 40х = 0 отсюда:
х = 0, и sin 0 – cos у = 0, следовательно, х = 0, и cos у = 0, отсюда: х = 0, и у = /2 + k, k€z, также возможна запись (0; /2 + k) k€z.
Ответ: (0; /2 + k) k€z.
6. Решить уравнение: sin 2 х + cos 4 х – 2 sin х + 1 = 0
Решение: Преобразуем уравнение и применим метод “разделяй и властвуй”
(sin 2 х – 2 sin х +1) + cos 4 х = 0;
(sin х – 1) 2 + cos 4 х = 0; это возможно если
(sin х – 1) 2 = 0, и cos 4 х = 0, отсюда:
sin х – 1 = 0, и cos х = 0,
sin х = 1, и cos х = 0, следовательно
х = /2 + k, k€z
Ответ: /2 + k, k€z.
7. Решить уравнение: sin 5х + sin х = 2 + cos 2 х.
Решение: применим метод оценки левой и правой части и ограниченность функций cos и sin.
– 1 sin 5х 1, и -1 sin х 1
0 cos 2 х 1
0 + 2 2 + cos 2 х 1 + 2
2 2 + cos 2 х 3
sin 5х + sin х 2, и 2 + cos 2 х 2
-2 sin 5х + sin х 2, т.е.
sin 5х + sin х 2,
имеем левая часть 2, а правая часть 2,
равенство возможно если, они оба равны 2.
cos 2 х = 0, и sin 5х + sin х = 2, следовательно
х = /2 + k, k€z (обязательно проверить).
Ответ: /2 + k, k€z.
8. Решить уравнение: cos х + cos 2х + cos 3х+ cos 4х = 0.
Решение: Решим методом разложения на множители. Группируем слагаемые, расположенные в левой части, в пары.
(В данном случае любой способ группировки приводит к цели.) Используем формулу cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2.
2 cos 3/2х cos х/2 + 2 cos 7/2х cos х/2 = 0,
cos х/2 (cos 3/2х + cos 7/2х) = 0,
2 cos 5/2х cos х/2 cos х = 0,
Возникают три случая:
- cos х/2 = 0, х/2 = /2 + k, k€z, х = + 2k, k€z;
- cos 5/2х = 0, 5/2х = /2 + k, k€z, х = /5 + 2/5k, k€z;
- cos х = 0, х = /2 + k, k€z.
Ответ: + 2k, /5 + 2/5k, /2 + k, k€z.
Обратим внимание на то, что второй случай включает в себя первый. (Если во втором случае взять к = 4 + 5, то получим + 2n). Поэтому нельзя сказать, что правильнее, но во всяком случае “культурнее и красивее” будет выглядеть ответ: х1 = /5 + 2/5k, х2 = /2 + k, k€z. (Вновь типичная ситуация, приводящая к различным формам записи ответа). Первый ответ также верен.
Рассмотренное уравнение иллюстрирует весьма типичную схему решения – разложение уравнения на множители за счёт попарной группировки и использования формул:
sin a + sin b = 2 sin (a + b)/2 cos (a – b)/2;
sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;
cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;
cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.
Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведём решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления лишних (посторонних) корней и методы “борьбы” с ними.
Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнений. Приведём примеры.
9. Решить уравнение: (sin 4х – sin 2х – cos 3х + 2sin х -1)/(2sin 2х – 3) = 0.
Решение: Приравняем нулю числитель (при этом происходит расширение области определения уравнения – добавляются значения х, обращающие в нуль знаменатель) и постараемся разложить его на множители. Имеем:
2 cos 3х sin х – cos 3х + 2sin х – 1 = 0,
(cos 3х + 1) (2 sin х – 1) = 0.
Получаем два уравнения:
cos 3х + 1 = 0, х = /3 + 2/3k.
Посмотрим, какие k нам подходят. Прежде всего, заметим, что левая часть нашего уравнения представляет собой периодическую функцию с периодом 2. Следовательно, достаточно найти решение уравнения, удовлетворяющее условию 0 х 8 х – cos 5 х = 1.
Решение этого уравнения основывается на следующем простом соображении: если 0 t убывает с ростом t.
Значит, sin 8 х sin 2 х, – cos 5 х cos 2 х;
Сложив почленно эти неравенства, будем иметь:
sin 8 х – cos 5 х sin 2 х + cos 2 х = 1.
Следовательно, левая часть данного уравнения равна единице тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:
sin 8 х = sin 2 х, cos 5 х = cos 2 х,
т.е. sin х может принимать значения -1, 0
Ответ: /2 + k, + 2k, k€z.
Для полноты картины рассмотрим ещё пример.
12. Решить уравнение: 4 cos 2 х – 4 cos 2 3х cos х + cos 2 3х = 0.
Решение: Будем рассматривать левую часть данного уравнения как квадратный трёхчлен относительно cos х.
Пусть D – дискриминант этого трёхчлена:
1/4 D = 4 (cos 4 3х – cos 2 3х).
Из неравенства D 0 следует cos 2 3х 0 или cos 2 3х 1.
Значит, возникают две возможности: cos 3х = 0 и cos 3х = ± 1.
Если cos 3х = 0, то из уравнения следует, что и cos х = 0, откуда х = /2 + k.
Эти значения х удовлетворяют уравнению.
Если cos 3х = 1, то из уравнения cos х = 1/2 находим х = ± /3 + 2k. Эти значения также удовлетворяют уравнению.
Ответ: /2 + k, /3 + 2k, k€z.
13. Решить уравнение: sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x.
Решение: Преобразуем выражение sin 4 x + cos 4 x,выделив полный квадрат: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 х cos 2 х + cos 4 x – 2 sin 2 х cos 2 х = (sin 2 х + cos 2 х) 2 – 2 sin 2 х cos 2 х, откуда sin 4 x + cos 4 x = 1 – 1/2 sin 2 2х. Пользуясь полученной формулой, запишем уравнение в виде
1-1/2 sin 2 2х = 7/4 sin 2х.
обозначив sin 2х = t, -1 t 1,
получим квадратное уравнение 2t 2 + 7t – 4 = 0,
решая которое, находим t1 = 1/2, t2 = – 4
уравнение sin 2х = 1/2
2х = (- 1) к /6 + k, k€z, х = (- 1) к //12 + k /2, k€z .
уравнение sin 2х = – 4 решений не имеет.
Ответ: (- 1) к //12 + k /2, k€z .
14. Решить уравнение: sin 9х + sin х = 2.
Решение: Решим уравнение методом оценки. Поскольку при всех значениях а выполнено неравенство sin а1,то исходное уравнение равносильно sin х = 1 и sin 9х =1,откуда получаем х = /2 + 2k, k€z и х = /18 + 2n, n€z.
Решением будут те значения х, при которых выполнено и первое, и второе уравнение. Поэтому из полученных ответов следует отобрать только х = /2 + 2k, k€z.
Ответ: /2 + 2k, k€z.
15. Решить уравнение: 2 cos x = 1 – 2 cos 2 x – v3 sin 2х.
Решение: воспользуемся формулой:
сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;
и перепишем уравнение в виде
2 cos x = – cos 2х – 3 sin 2х.
Применим к правой части процедуру введения дополнительного аргумента. Получим уравнение:
2 cos x = – 2 (1/2 cos 2х + 3/2 sin 2х),
которое можно записать в виде
2 cos x = – 2 (cos а cos 2х + sin а sin 2х),
где очевидно, а = /3. Преобразуя правую часть полученного уравнения с помощью формулы:
cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;
приходим к уравнению
2 cos x = – 2 cos (2х – /3),
cos x + cos (2х – /3) = 0.
Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в произведение по формуле:
cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2,
cos x + cos (2х – /3) = 2 cos (3х/2 – /6) cos (/6 – х/2) = 0
Это уравнение расщепляется на два уравнения
cos (3х/2 – /6) = 0, и
cos (/6 – х/2) = 0,
решение которых уже не представляет сколь нибудь значительных трудностей.
Ответ: 2/9(2 + 3n), 2/3(2 + 3 k), n, k€z.
16. При каких значениях параметра а, уравнение а sin x – 4 cos x = 5, имеет решения?
Решение: преобразуем левую часть уравнения, используя формулу введения дополнительного аргумента:
а sin x – 4 cos x = (а 2 + 16) sin (x – y), где y определяется из условий sin y = – 4/(а 2 + 16), и cos y = а /(а 2 + 16).
Но значение y нас не интересует. Поэтому данное уравнение перепишем в виде
(а 2 + 16) sin (x – y) = 5,
sin (x – y) = 5/(а 2 + 16), это уравнение имеет решение при условии 5/(а 2 + 16) 1.
Решим это неравенство:
5/(а 2 + 16) 1, обе части умножим на (а 2 + 16):
5 (а 2 + 16),
(а 2 + 16) 5,
а 2 + 16 25,
а 2 9, или
а 3, следовательно
а € (-;-3] U [3; ).
Ответ: (-;-3] U [3; ).
17. При каких значениях параметра а, уравнение 2 sin 2 x + 3 cos (x +2 а) = 5, имеет решения?
Решение: поскольку 0 sin 2 x 1, и -1 cos (x +2а) 1 левая часть уравнения может равняться 5 тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства sin 2 x = 1, и cos (x +2 а) = 1.
Это означает, что исходное уравнение равносильно системе уравнений sin 2 x = 1, и cos (x +2 а) = 1.
sin x = – 1, sin x = 1, cos (x +2 а) = 1;
х = /2 + n, n€z, и x +2 а = 2 к, к€z;
х = /2 + n, и x = – 2 а + 2 к;
/2 + n = – 2 а + 2 к;
2 а = 2 к – /2 – n;
а = к – /4 – n/2;
а = – /4 + /2 (2к – n);
а = – /4 + m/2, m€z.
Ответ: – /4 + m/2, где m€z.
Рассмотренные выше примеры лишь иллюстрируют несколько общих рекомендаций, которые полезно учитывать при решении тригонометрических уравнений. Из приведённых примеров видно, что дать общий рецепт в каждом конкретном случае невозможно.
Ежегодно варианты экзаменационных материалов ЕГЭ содержат от 4-х до 6-ти различных задач по тригонометрии. Поэтому параллельно с повторением теоретического материала значительное время должно быть отведено решению конкретных задач, в том числе и тригонометрических уравнений. А умение можно выработать, только получив практические навыки в решении достаточного числа тригонометрических уравнений.
http://ege-study.ru/prostejshie-trigonometricheskie-uravneniya-chast-1/
http://urok.1sept.ru/articles/537151