Как решать уравнения в информатике 8 класс

Бинарный урок математики и информатики. 8-й класс.Использование информационных технологий на уроке математики. Тема » Овладение расчетами с помощью Excel при решении квадратных уравнений по формуле»

Класс: 8

Цели урока:

• по математике: повторение формул нахождения дискриминанта и корней квадратного уравнения;
• по информатике: решение расчетной задачи с использованием математических и логических функций для решения квадратного уравнения в среде электронных таблиц Excel;
• общеучебные: развитие логического и алгоритмического мышления, памяти, умения внимательно и правильно выполнять инструкцию.

Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.

Оборудование: компьютеры, раздаточный материал (технология решения задачи), карточки для самостоятельной работы, мультимедиапроектор.

«Сегодня без знаний компьютера невозможно обучение, профессиональный рост и, в конечном счете, благополучие»

I. Постановка задачи

Учитель: На уроках математики мы решаем квадратные уравнения по формуле, и это занимает много времени для вычислений.
Еще Готфрид Лейбниц в XVII в. заметил «Недостойно одаренному человеку тратить, подобно рабу, часы на вычисления, которые, безусловно, можно было бы доверить любому лицу, если при этом применить машину» Видя, как много вычислений приходится делать его другу астроному Христиану Гюйгенсу, Лейбниц решил изобрести механическое устройство для расчетов, создание которого он закончил в 1694 г.
Обсудим проблему, а можно ли использовать компьютер для быстрого решения квадратного уравнения и как это сделать? (Ученики высказывают свои варианты: с помощью калькулятора вычислить дискриминант и корни; в электронных таблицах вычислять дискриминант и корни удобнее).
Итак, наша задача сводится к следующему: по известным коэффициентам квадратного уравнения вычислить дискриминант, сделать вывод о наличии корней и, если корни есть, найти их. Мы еще не знакомы с языками программирования и не можем составить программу для решения квадратных уравнений. Оказывается можно программировать без языков программирования. Помогут нам электронные таблицы.
Запишите тему урока «Овладение расчетами с помощью Excel при решении квадратных уравнений по формуле».

II. Актуализация знаний учащихся

а) по информатике (Слайд 2)

1) Для чего предназначены электронные таблицы? (ЭТ – это инструмент для табличных расчетов)
2) Из чего состоит имя ячейки? (Из имени столбца и номера строки. Например, А1, В7, F12.)
3) Что может быть содержимым ячейки? (Текст, числовое значение или формула.)
4) Каковы правила записи формул в ячейках? (Ввод формулы начинается со знака =, вся формула пишется в строку, символы выстраиваются последовательно друг за другом, проставляются все знаки операций. Формулы могут содержать числа, имена ячеек, знаки операций, круглые скобки, имена функций.)
5) Как выглядят знаки арифметических операций в ЭТ? («+» сложение, «–» вычитание, «*» умножение, «^» возведение в степень, «/» – деление)

б) по математике (Слайд 3)

1) Запишите квадратное уравнение в общем виде(ах 2 + bх + с = 0, где а =/= 0)
2) Вспомните формулу для нахождения дискриминанта и запишите ее в виде алгебраической формулы и в виде формулы для расчета в ЭТ (С помощью гиперссылки на слайд 4 ученики проверяют свой ответ. D = b 2 – 4ac; = b^2 – 4*а*с. По управляющей кнопке возвращаемся на слайд 3)
3) Напишите формулу корней квадратного уравнения. (Гиперссылка на слайд 5)

Учитель: Как же записать формулу корней в электронной таблице. Мы знаем, как записываются арифметические операции. А как же записать квадратный корень? Для этого используем математическую функцию КОРЕНЬ.
По щелчку на слайде 5 появляются последовательно две формулы для корней:

в) Задание для учащихся (слайд 6)

Решите уравнения: х 2 – 3х + 2 = 0; 2х 2 – 2х + 3 = 0; 4х 2 – 4х + 1 = 0.

(Три ученика решают у доски, остальные в тетрадях. Ответы остаются на доске.)

III. Постановка задачи

Учитель: Вы решали квадратное уравнение по формуле корней. Какой алгоритм решения?

Ученики:

1. Выписываем коэффициенты.
2. Вычисляем дискриминант.
3. Если дискриминант меньше нуля, то корней нет, иначе находим корни по формуле корней. (Демонстрируется блок-схема слайд 7)

IV. Математическая модель

Пусть а, b, с – коэффициенты квадратного уравнения (а =/= 0),
D – дискриминант, тогда D = b 2 – 4ас,
x₁, x₂ – корни уравнения,

V. Объяснение темы

Учитель: Откройте ЭТ Excel. Переименуйте лист на квадратное уравнение. Чтобы представить формулы для решения квадратного уравнения в электронных таблицах потребуются логическая функция ЕСЛИ и математическая функция КОРЕНЬ.
Эти функции можно вызвать, используя мастер функций (на стандартной панели кнопка f_x) и категории математические и логические. А можно набирать с клавиатуры самим. Пока мы будем набирать с клавиатуры.
У вас на столах есть карточки с технологией решения задачи (Приложение 2), если вы точно все выполните, то, сохранив файл, вы всегда быстро решите любое квадратное уравнение, изменив значения коэффициентов квадратного уравнения. Электронная таблица мгновенно найдет корни.

VI. Работа на компьютере

Учитель использует мультимедиапроектор и одновременно с учениками выполняет работу в электронных таблицах Excel (Приложение 3) и все учащиеся могут видеть на экране результат.

Учитель: Следуя технологии решения задачи для уравнения х 2 – 3х + 2 = 0; вы получаете таблицу:

Для проверки правильности ввода формул, то есть для отображения в ячейках не чисел, а формул, учитель предлагает ученикам ввести команду [Cервис–параметры…–формулы]. Получаем таблицу:

Вернитесь к первоначальному состоянию[Cервис–параметры…. выключите флажок формулы]

VII. Самостоятельная работа

а) Сделайте отладку задачи на двух других уравнениях:

Для этого введите значения новых коэффициентов. Сделайте вывод.

(Программа составлена верно, так как все ветви работают правильно).

б) Работа по карточкам:

Приведите квадратные уравнения к стандартному виду и решите уравнения с помощью составленной программы. (Приложение 4)

VIII. Итог урока

Учитель: Что нового для себя узнали на уроке? Что понравилось?

IX. Домашнее задание

Составьте формулы для решения линейного уравнения ах = b в электронных таблицах.

Занятие «Графический способ решения уравнений и систем уравнений в среде Microsoft Excel »
план-конспект урока по информатике и икт (8 класс) на тему

Занятие в среде Microsoft Excel. Графическое решение уравнения и системы уравнений с помощью Мастера диаграмм

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Графический способ решения уравнений и систем уравнений в среде Microsoft Excel Тема занятия:

После этого занятия Вы будете: иметь представление о возможностях использования Мастера диаграмм при построении графиков и решении математических уравнений; знать способ построения графиков функций, способ графического решения систем уравнений; уметь применять ЭТ для решения задач, использовать средства автоматизации, выполнять расчеты с помощью ЭТ, табулировать функцию с двумя изменяющимися аргументами, производить простейшие расчеты, используя формулы, стандартные функции, включать в рабочие листы Excel диаграммы, строить графики различных функций в одной координатной плоскости.

Тест «Электронные таблицы» Инструкция: Открыть файл «Электронные таблицы» Запустить тест. В тесте нет возврата к предыдущему вопросу. Отводится 7 минут.

Эталоны ответов Выберите правильный ответ и закончите фразу Ответ учащегося 1 вопрос Принципиальное отличие электронной таблицы от обычной заключается в наличии . . . автоматического пересчета формул при изменении исходных данных

2 вопрос. Задание: На рисунке представлено рабочее окно табличного редактора MS Excel. Расставьте цифры, соответствующие следующим основным элементам рабочего окна. Ответ учащегося Цифра Элемент рабочего окна 1 строка заголовка рабочей книги 9 системное меню 2 панели инструментов 6 строка формул 7 поле имени ячейки 4 заголовки столбцов ЭТ 10 заголовки строк ЭТ 8 ярлычки рабочих листов книги 3 активная ячейка 5 блок ячеек

Выберите правильный ответ и закончите фразу Ответ учащегося 3 вопрос Каждая ячейка ЭТ имеет свой адрес, который состоит из . . . имени столбца и номера строки на пересечении которых располагается ячейка Выберите правильный ответ и закончите фразу Ответ учащегося 4 вопрос Адрес активной ячейки дублируется в . . . поле имен ячеек Выберите правильный ответ и закончите фразу Ответ учащегося 5 вопрос Строка формул используется для . . . ввода и отображения любых значений активной ячейки

Задание Ответ учащегося 7 вопрос Введите в выделенную ячейку формулу для электронной таблицы =5-( y^2+3 ) /(11+2*x) Выберите правильный ответ Ответ учащегося 6 вопрос Среди приведенных формул укажите формулу для электронной таблицы =A3*B8+12 Выберите правильный ответ и закончите фразу Ответ учащегося 8 вопрос Для наглядного представления числовых данных можно использовать . . . диаграмму

Выберите правильный ответ и закончите фразу Ответ учащегося 1 1 вопрос Диаграмма, в которой отдельные значения представлены вертикальными столбцами различной высоты, называется . . гистограммой Выберите правильный ответ Ответ учащегося 9 вопрос Как выглядит маркер заполнения черный квадрат в правом нижнем углу активной ячейки Выберите правильный ответ Ответ учащегося 10 вопрос Программа-помощник, которая предназначена для графического представления данных в таблице Мастер диаграмм

средство наглядного графического изображения информации, предназначенное для сравнения нескольких величин или нескольких значений одной величины, слежения за изменением их значений, выявления их закономерностей и т.п. Диаграмма —

Алгоритм построения диаграмм 1. Составить таблицу. Вызов Мастера диаграмм командой Вставка – Диаграмма или кнопкой на панели инструментов 2. Выделить данные в таблице. 3. С помощью Мастера диаграмм построить гистограмму .

Задание Дан фрагмент таблицы. Постройте диаграмму, отображающую продажу путевок за месяц Март. Продажа путевок за год туроператором «Клеопатра» НАПРАВЛЕНИЕ ЯНВАРЬ ФЕВРАЛЬ МАРТ АПРЕЛЬ МАЙ Египет 100 45 34 22 45 Турция 89 68 24 68 25 Италия 46 45 98 15 35 Скандинавия 45 53 5 25 21

Выделить данные Мастер диаграмм – шаг 1 Выбор типа и подтипа диаграммы Мастер диаграмм – шаг 2 Проверка интервала данных. Ориентация данных Подписи осей. Мастер диаграмм – шаг 3 Заголовки, легенда, оси, таблица данных. Мастер диаграмм – шаг 4 Лист для диаграммы Выделить данные Если данные не введены или введены с ошибкой Создание диаграммы с помощью Мастера диаграмм

Алгоритм построения диаграмм Составить таблицу. Выделить данные в таблице. С помощью Мастера диаграмм ( ВСТАВКА-ДИАГРАММА ) построить диаграмму: Шаг 1. Выбор типа и подтипа диаграммы Шаг 2. Проверка интервала данных. Ориентация данных. Подписи осей. Шаг 3. Заголовки, легенда, оси, таблица данных. Шаг 4. Лист для диаграммы.

Пример 1 . Построить график функции у = х 2 на промежутке [- 7 ; 7 ] с шагом 1. Подготовить таблицу. Выделить данные в таблице. С помощью Мастера диаграмм построить диаграмму.

Пример 1 . Построить график функции у = х 2 на промежутке [- 7 ; 7 ] с шагом 1. Составим таблицу значений функции у = х 2 на промежутке [–7; 7] с шагом 1 . Для этого: В первой строке задаем значения переменной х на данном отрезке. Во второй строке задаем значения переменной y . Значения переменной y зависят от значений переменной х . у = х 2

Пример 1 . Построить график функции у = х 2 на промежутке [- 7 ; 7 ] с шагом 1. Выделяем подготовленную таблицу. Вызываем Мастер диаграмм . Параметры диаграммы: тип “ Точечная ”, легенда и линии сетки не нужны, заголовок “ y = x 2 ”, на имеющемся листе. Точечная диаграмма позволяет сравнивать пары значений.

Запомните: Для построения графика функции с двумя изменяющимися аргументами необходимо: протабулировать функцию с определенным шагом, производить расчеты с помощью формул, использовать средства автоматизации ввода, воспользоваться помощью Мастера диаграмм.

Задание 1 . Построить график функции у = 3 х 2 -4x+1 на промежутке [-6;6] с шагом 1. Задание 2 . Построить график функции у = х 3 на промежутке [-5;5] с шагом 0,5 . САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

Ответы Задание 1. Задание 2.

Решение систем уравнений

Пример 2 . Решить систему уравнений на интервале [-5 ;6 ] с шагом 1.

Решить систему уравнений — — найти такие значения х и у , которые будут удовлетворять и первое уравнение и второе. Решить графически систему уравнений — в одной координатной плоскости построить графики первого и второго уравнения системы и найти координаты точек их пересечения .

Построить в одной координатной плоскости графики уравнений: у 1 = x 2 -5 и у 2 = 8- x 2 . Алгоритм: Составляем таблицу значений Выделяем диапазон данных Строим точечную диаграмму Пример 2 . Решить систему уравнений

Запомните: Для того, чтобы графически решить систему уравнений необходимо построить графики функций из системы в одной координатной плоскости, найти точки пересечения графиков.

Вывод Для построения графика функции с двумя изменяющимися аргументами необходимо: протабулировать функцию с определенным шагом, производить расчеты с помощью формул, использовать средства автоматизации ввода, воспользоваться помощью Мастера диаграмм. Для того, чтобы графически решить систему уравнений необходимо с помощью Мастера диаграмм построить графики функций из системы в одной координатной плоскости, найти точки пересечения графиков.

Предварительный просмотр:

1. Тема занятия : Графический способ решения уравнений и систем уравнений в среде Microsoft Excel.

1. Тип занятия : Комбинированный

1. Задача урока: Научиться графически решать уравнения и системы уравнений с помощью Мастера диаграмм.

Воспитательная : Способствовать приобретению навыков сознательного и рационального использования компьютеров в учебной и производственной деятельности; способствовать развитию информационной культуры учащихся, способствовать воспитанию трудолюбия, культуры речи и общения учащихся.

Развивающая: развитие наглядно-образного мышления, памяти, внимания, умения сравнивать и анализировать, логически излагать мысли.

сформировать представление учащихся о возможностях системной программы «Мастер диаграмм» при построении графиков и решении математических уравнений;

сформировать знания о способах построения графиков функций по алгоритму, о способах графического решения систем уравнений;

сформировать умения производить простейшие расчеты в электронной таблице с помощью формул и стандартных функций, строить графики различных функций в одной координатной плоскости по алгоритму построения диаграмм, применять электронные таблицы для решения задач, табулировать функцию с двумя изменяющимися аргументами, использовать средства автоматизации.

1. Методы: словесный, наглядно – демонстрационный, практический, метод контроля.
2. Оборудование: компьютерный класс, проектор, программное обеспечение Windows XP, Microsoft Office, файл-заготовка с входным тестом, карточка с заданием.
3. Литература:

• А. А. Журин, И. А. Милютина Microsoft Office 97 для школьников и начинающих пользователей. / Учеб. пособие. / Под ред. А. А. Журина. – М.: Аквариум, К.: ГИППВ, 2000.
• Богумирский Б.С. Руководство пользователя ПЭВМ. Ч. 1,2. -С.-Питербург: «Печатный двор», 1994.
• Информатика. Еженедельная газета Издательского дома «Первое сентября».
• Лавренов С.М. «Excel. Сборник примеров и задач»
• Леонтьев В. П. Новейшая энциклопедия персонального компьютера 2001 год. – М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2001.
• Фигурнов В.Э. IBM PC для пользователя. Изд. 7, перераб. и дополн. — М.: ИНФРА-М, 1997. — 640 с.
• Эффективный самоучитель работы на ПК: Пер. с англ. и нем./ А. Клименко, П. Нортон, Р. Вебер – К.: Издательство «ДиаСофт», 2001.-672 с.

1. Ход занятия:

1. План урока:

1. Введение – 2 минуты;
2. Решение теста – 10 минут;
3. Повторение – 5 минут;
4. Изучение новой темы – 25 минут;
5. Подведение итогов – 3 минуты.

7.2. Краткое содержание:

1) Приветствие учащихся и гостей.

Все, с чем мы ежедневно сталкиваемся в жизни, скорее всего, зарегистрировано и хранится каким-либо образом. Для хранения и обработки данных используют базы данных , они же играют особую роль в современном мире.

Так как иметь дело с обширными таблицами приходится во многих областях жизни, то и информацию, представленную в них, необходимо осмыслить, проанализировать, выделить главное, не вникая в несущественное. В частности, это относится ко всем видам финансовой и учетной деятельности.

Включаются слайды 1,2

Способность электронных таблиц быстро и точно производить автоматические вычисления используют не только бухгалтеры. Без электронных таблиц не обходятся участники бирж, руководители брокерских контор, банков и другие финансовые менеджеры.

С помощью электронных таблиц можно моделировать реальные ситуации и оценивать получающиеся результаты. При работе с большими объемами данных важную роль играет их наглядность. Для этого, как Вы знаете, используют графики и диаграммы. Графическое представление помогает осмыслить закономерности, лежащие в основе больших объемов данных.

На предыдущем уроке Вы строили диаграммы для сравнения числовых данных в таблицах.

Сегодня Вы узнаете, как можно с помощью Мастера диаграмм строить графики функций и решать системы уравнений.

Итак, тема нашего урока «Графический способ решения уравнений и систем уравнений в среде Microsoft Excel».

Посмотрите на экран.

После этого урока Вы будете: Слайд 5

2) Прежде чем перейти к изучению материала урока, предлагаю ответить на вопросы теста.

У каждого из Вас на рабочем столе располагается тестовый файл «Электронные таблицы». Откройте его и ответьте на вопросы теста (В тесте нет возврата к предыдущему вопросу). На работу с тестом отводится 7 минут.

Сделали упражнение для отдыха глаз : на стене висят картинки с изображением птиц и дерева. Необходимо проводить глазами птицу из левого угла до дерева, а потом с дерева в правый угол и обратно.

После выполнения теста все учащиеся называют свою оценку преподавателю, который выставляет ее в свой журнал.

Молодцы. Сравните свои результаты с эталоном ответов. Включаются слайды 7-11.

3) В тесте было практическое задание. Вспомните, какое? Построить диаграмму.

Вспомните и дайте определение диаграммы. Учащиеся дают определение. Слайд 7

Расскажите, как можно с помощью программы MS Excel построить диаграмму.

(Учащиеся рассказывают алгоритм построения диаграмм.)

Алгоритм построения диаграмм:

1. Подготовить таблицу.

2. Выделить данные в таблице, которые надо включить в диаграмму.

3. С помощью Мастера диаграмм построить гистограмму.

Гистограмма – это разновидность диаграмм, представленная в виде столбиков.

Назовите способ выделения несмежных областей. С нажатой клавишей CTRL .

Назовите два способа вызова на экран Мастера диаграмм .

1 способ: меню Вставка – команда Диаграмма .

2 способ — соответствующая кнопка на панели инструментов.

Молодцы. Итак, правильно выполнив практическое задание, Вы получили следующую диаграмму. Слайд 9.

Из материала предыдущего урока Вы знаете, что работу Мастера диаграмм можно представить в виде следующей схемы (смотрим на экран): Слайд 10

Учащийся поясняет каждый этап, во время ответа ученика на экране появляются слайды с пошаговым построением диаграммы с помощью Мастера Диаграмм.

Итак, для того чтобы построить диаграмму, необходимо работать по алгоритму и воспользоваться помощью Мастера диаграмм . Слайд 11.

4) Итак, сегодня мы займемся с озданием графиков с помощью Мастера диаграмм.

Рассмотрим пример построения графика функции у = х 2 на промежутке [–7; 7] с шагом 1.

Составим таблицу значений функции у = х 2 на промежутке [–7; 7] с шагом 1.

Таблица содержит две строки:

• В первой строке задаем значения переменной х на данном отрезке.

Напомните, как можно упростить ввод значений в первую строку таблицы.

Можно задать только два значения переменной х , например, -7 и -6 , а затем использовать маркер заполнения. Слайд 12.

• Во второй строке задаем значения переменной y . Обратите внимание, что значения переменной y зависят от значений переменной х .

Назовите эту зависимость. у = х 2 .

Таким образом, значение переменной у задается формулой. Слайд 13.

Какая будет записана формула? =В1^2 .

Можно ли упростить ввод значений во вторую строку таблицы? Аргументируйте свой ответ.

Да. Формулу вводим только в одну ячейку, а затем используем маркер заполнения.

Итак, таблица построена. Что делаем дальше?

Выделяем подготовленную таблицу. Вызываем Мастер диаграмм .

Устанавливаем следующие параметры диаграммы: тип “ Точечная ”, легенда и линии сетки не нужны, заголовок “y=x 2 ”, на имеющемся листе.

Так как большинство графиков готовится к деловым документам, то излишества здесь не нужны, и желательно придерживаться делового стиля в оформлении графика.

Назовите вид кривой, полученной в результате построения. Парабола. Слайд 14.

Для построения графика функции с двумя изменяющимися аргументами необходимо:

• Задать функцию с определенным шагом,
• производить расчеты с помощью формул,
• использовать средства автоматизации ввода,
• воспользоваться помощью Мастера диаграмм.

Сделали упражнение для отдыха глаз : на стене висят картинки с изображением птиц и дерева. Необходимо проводить глазами птицу из левого угла до дерева, а потом с дерева в правый угол и обратно.

Перед Вами на столах лежат листы с практической работой, в них подробно рассмотрен предыдущий пример.

Для закрепления материала, выполните самостоятельно Задание1 (1 ряд) и Задание2 (2ряд) за компьютерами.

Проверка правильности выполненной работы Слайд 17

Перейдем к следующему этапу урока. Слайд 18.

Рассмотрим пример, в котором требуется решить графически систему уравнений. Слайд 19.

Решить систему уравнений — это значит найти такие значения х и у, которые будут удовлетворять и первое уравнения и второе. Графически решить систему уравнений — в одной координатной плоскости построить графики уравнений системы и найти координаты точек их пересечения. Слайд 20.

А теперь давайте решим данную систему уравнений.

Итак, построим в одной координатной плоскости графики уравнений: у 1 =x 2 -5 и у 2 = 8-x 2 . Нам необходимо: Слайд 21.

1. Подготовить таблицу.

2. Выделить данные в таблице, которые надо включить в диаграмму.

3. С помощью Мастера диаграмм построить график.

Подумайте и скажите, сколько строк будет в таблице? Три строки.

Итак, смотрим на экран. Слайд 22.

Таблицу строим аналогично предыдущим заданиям, но в таблице будет уже три строки.

Обратите внимание: в первой строке задаем значения переменной х , во второй строке – значения переменной y 1 , и в третьей строке – значения y 2 .

Назовите зависимости, связывающие значения y 1 и y 2 с переменной х .

С помощью Мастера диаграмм строим точечную диаграмму и получаем следующее решение.

ЗАПОМНИТЕ : Слайд 23.

Для того чтобы графически решить систему уравнений необходимо:

• построить графики функций из системы в одной координатной плоскости,
• найти точки пересечения графиков.

Сделали упражнение для отдыха глаз : на стене висят картинки с изображением птиц и дерева. Необходимо проводить глазами птицу из левого угла до дерева, а потом с дерева в правый угол и обратно.

5) Мы с Вами сегодня разобрали только два аспекта применения электронных таблиц, на самом деле их гораздо больше. Используя электронные таблицы, программисты создают обучающие программы, тесты и т.д.

Итак, чему же мы с вами сегодня научились? Ребята отвечают.

1) узнали о возможностях использования Мастера диаграмм при построении графиков и решении математических уравнений;

2 научились строить графики различных функций в одной координатной плоскости;

3) узнали новый способ графического решения систем уравнений с помощью электронных таблиц.

Давайте еще раз вспомним, как построить график функции и как решить графически систему уравнений. Ребята дают ответ, на экране появляется слайд 24.

ВОПРОС 1.Принципиальное отличие электронной таблицы от обычной заключается в наличии . . .

• автоматического пересчета формул при изменении исходных данных.

ВОПРОС 2. На рисунке представлено рабочее окно табличного редактора MS Excel. Расставьте цифры, соответствующие следующим основным элементам рабочего окна.

Информатика

План урока:

Способы решения задач по логике

Многие задачи можно решить, используя инструменты алгебры логики. Чтобы получить результат, можно пойти 3 путями:

• рассуждая над условием;
• решая логические операции;
• используя таблицы истинности.

Логический подход подразумевает перевод условия из естественного языка на язык символов, схем и формул. Для такой формализации высказываний нужно выполнить ряд шагов.

Этапы решения логических задач:

• Разобраться с условием на естественном языке, выделив простые высказывания, и дать им символьные обозначения (латиница).
• Записать условие в виде формулы. Решить ее поэтапно, упрощая, учитывая приоритеты (( ), ¬, &, V).
• Просчитать формулы строчно или при помощи таблиц истинности, учитывая законы алгебры логики.
• Проверить, соответствует ли полученный результат условию задачи.

Табличный способ – этапы, особенности

Таблица истинности – табличное выражение результата логических операций для каждого отдельного набора значений переменных.

Такие таблицы позволяют абстрагироваться от маловажной информации, сосредоточиться только на связях между исходными данными, над происходящими процессами. Таким образом, человек может абстрагироваться от непонятной для него информации, решать неспецифические задачи.

Метод таблиц

Чтобы использовать таблицы истинности, необходимо формализовать условие, то есть отойти от деталей задачи, обозначая первоначальную информацию при помощи букв и цифр 0 и 1.

Существует общий алгоритм построения таблиц:

• Определить число логических значений/переменных (n) в примере.
• Установить вид, число и тип операций. Важно заранее определить очередность действий, выразить это при помощи скобок.
• Полученные данные позволяют рассчитать сколько нужно столбцов – это сумма числа переменных и операций.
• Нарисовать таблицу, заполнить шапку, записав обозначение переменных и выбранные действия.
• Определить, сколько существует наборов логических переменных (т.е. число строчек) по формуле m = 2 n + 1 (шапка).
• Заполнить столбцы, вписав наборы значений логических переменных (0 или 1).
• Записать результаты логических операций, указанных в шапке для каждой совокупности значений.
• Сделать выводы на основании полученных результатов.

Если необходимо перебрать все значения простых выражений, то для задач:

• с 2-мя переменными может быть только 4 набора логических переменных;

Если словесно описывать все эти комбинаций, на каждый из примеров понадобится десятки строк текста.

Обязательно учитывают приоритет операций:

• Указанные в скобках.
• Отрицание.
• Логическая конъюнкция чисел.
• Дизъюнкция.
• Строгая дизъюнкция.
• Импликация.
• Эквивалентность.

Обозначение логических операций:

Сравнение методов решения

Метод рассуждений

Он заключается в пошаговом анализе условий с промежуточными выводами на каждом этапе. Выполняется анализ таблицы истинности каждого логического выражения.

Пример №1.

Андрей, Владимир, Георгий и Дмитрий живут на одной улице, они соседи. Они работают по таким специальностям: гитарист, плотник, егерь и стоматолог.

• дом плотника правее егеря;
• стоматолог проживает левее егеря;
• дом гитариста с самого краю;
• стоматолог живет рядом с гитаристом;
• Владимир не гитарист, и его дом не соседствует с гитаристом;
• дома Дмитрия и егеря соседние;
• здание, в котором прописан Андрей, правее стоматолога;
• между домами Андрея и Дмитрия один дом.

Чтобы рассуждать было проще, добавим изображение зданий, присвоим им номера:

Но стоматолог живет левее егеря, а правее егеря – плотник. Получается, что дом гитариста не может быть последним, а дом стоматолога не может быть предпоследними. То есть, егерь живет в предпоследнем доме:

Между домами Андрея и Дмитрия стоит один дом, значит, дом Андрея не может быть предпоследним, получается номер – 4, что автоматом исключает проживание там Дмитрия и Владимира.

Условие задачи заняло 2 предложения, а рассуждений получилось на 2 страницы.

Такой подход лучше не использовать, если условие сложное или много данных.

Табличный метод

Более удачным подходом к решению задач с большим количеством данных (несколько множеств), считается табличный, или графический (диаграммы).

Чтобы построить таблицу истинности логических выражений, следует:

• Разбить задачу на простейшие утверждения, которые обозначить символами (большие буквы латинского алфавита).
• Записать условие задачи, как составное выражение из символов логических операций.
• Нарисовать таблицу истинности для полученных данных.
• Выбрать такой вариант, при котором полученные значения подходят под условие.
• Проверить соответствие выбранного варианта и условия задачи.

Чтобы преобразовывать условие задачи в логические выражения и операции, удобно пользоваться такой сводной таблицей истинности логических операций:

Рассмотрим тот же пример.

Определяем, что только гитарист может жить в первом доме, далее смотрим на заметки и условия и получаем таких жителей:

Метод компактнее, для некоторых задач нагляднее.

Построение таблиц истинности для различных типов задач

Несмотря на многообразие задач, многие условия повторяются, если оставить сухие формулы, не вникая в имена, места, профессии. Разобравшись с примером один раз, можно решать аналогичные задачи без труда. Рассмотрим несколько любопытных заданий, решив при помощи логически.

Пример 2.

Известно, что если первый студент летал в Англию на стажировку, то и второй тоже летал, но неправда, что если летал третий, то и второй.

Разобьём условие на 3 простые высказывания, присвоим им буквенные обозначения:

А — «Первый студент летал в Англию»;

В — «Второй студент летал в Англию»;

С — «Третий студент летал в Англию».

Запишем выясненные данные при помощи логических операций:

Пример 3.

Есть три 8-ых класса (А, В, С), которые соревнуются между собой за средний бал. Учителя в начале года сделали такие предположения:

• Если А получит максимальный бал, то максимальный бал получат Ви С.
• А и С получат или не получат максимальный бал одновременно.
• Необходимым условием получения высшего бала С класса является получение высшего бала В классом.

По завершении года оказалось, что 2 предсказания оказались верными, а одно – ошибочным.

Выясним, какие же классы добились высшего бала.

Разбиваем условие задачи на элементарные высказывания:

А – «А добьется высшего бала»;

В – «В добьется высшего бала»;

С – «С добьется высшего бала».

Запишем логические операции, описанные в примере:

Мы заполнили таблицу истинности для всех возможных значений исходных данных. В примере говорилось, что только 2 утверждения в конце года казались истинными, а 1- ложным. Такому условию отвечает 3-я строка в таблице.

Пример 4.

Во время знакомства девушка, любительница загадок, сказала, что ее имя узнать легко:

• последняя – гласная (Х1);
• или первая буква согласная (Х2)
• вторая – согласная (Х3).

Предложенные имена: Арина, Артур, Кэтрин, София.

Решим задачу, используя таблицу.

Сначала решим пошагово, выполняя операции по приоритету:

Указанному условию соответствует первое имя.

Пример 5.

Попробуем решать задачи, в которые нет четких высказываний, истинных или ложных. В них половина информации, правда, половина – ложь, при этом неизвестно, какая именно. Под такой тип задач можно подставить любое условие, но научившись решать его, можно разобраться со всеми аналогичными.

Известно, что в олимпиаде по химии участвовали 4 ученицы 8 класса: Марина, Света, Саша и Галя. Они заняли первые 4 места. Какое место заняла каждая из девочек, если есть их высказывания о победителях, но в них лишь половина информации правдива – первая или вторая половина предложения.

Маша Марина: «Саша заняла второе место, а Света – первое».

Полина Света: «Нет, это не так, Саша – победительница, а Галя, – на втором месте».

Ольга Саша: «Зачем вы всех путаете? Третье место за Мариной, а Света – на четвертом месте».

Составляем таблица для перебора вариантов. Правду обозначаем «1», ложь – «0».

Берем любое (Марины) утверждение и принимаем его первую часть за правду. Значит, Саша – 2 место, тогда Света не 1-ое (вторая половина фразы – ложь), остальных девочек на 2 место ставим «0».

Берем утверждение второй девочки. Так как Саша не может быть победительницей, то в этой фразе первая часть – ложь, а вторая должна быть истинной. Но в нем и вторая часть – неверна (второе место за Сашей, мы так приняли в начале).Уже на второй фразе получается противоречие всему.

Итог: Победительницей олимпиады стала Светлана, на втором месте – Галина, на третьем – Марина, на последнем из четырех – Александра.

Построение электронных схем, реализующих логические операции

Если рассмотреть электросхемы с точки зрения логики, особенно компьютерные, то их также можно описать при помощи «1» и «0» – электричество идет или не идет по проводам.

Попробуем нарисовать логические элементы схемы питания лампочки для нескольких простых операций.

Электросхема с конъюнктором

Рассмотрим все варианты:

• Все контакты включены, тогда источник света горит.
• Первый контакт в положении «выключено» – свет не горит.
• Второй контакт выключен – лампа не светит.
• Все контакты отключены – свет не горит.

Заключение – эта электрическая цепь реализует операцию «И».

Дизъюнктор, схема электропитания

Рассмотрим этот вид электрической цепочки:

• Все контакты включены – лампа горит.
• Первый контакт включен, второй выключен – свет горит.
• Обратная ситуация – выключен первый, включен второй – лампа светится.
• Все контакты выключены – света нет.

Заключение – такой вид электросхем соответствует логической операции «ИЛИ».

Инвертор в электросхемах

В этой схеме переключатель не ручной, а автоматический. Здесь процесс обратный – когда ток не идет, контакты замыкаются, горит свет. Если же в сеть подается электричество, пластинка размыкается вследствие электромагнитной индукции, и сеть разъединяется – света нет.

Заключение: схема соответствует логической операции «НЕ».

Умение читать и решать логические операции, строить соответствующие электросхемы, позволяет создавать иерархически более сложные конструкции, которые используются для реализации процессов в современных ПК.

Обозначение логических элементов

Удобно создавать электросхемы в ПО SmartNotebook, которое используется с интерактивной доской.