Решение уравнений в MathCad
Для решения уравнений в Mathcad можно воспользоваться двумя способами:
Использование метода Given — Find:
Это наиболее распространенный способ решения обычных алгебраических уравнений. Он достаточно прост. В рабочем поле записываем слово Given. Это служебное слово. Оно подключает определенные программные модули mathcad для обработки исходных данных, необходимых для решения уравнения численными методами.
Затем указывается начальное приближение для искомой переменной. Это нужно для увеличения скорости и точности решения уравнения. Если начальное приближение не задать, то mathcad по умолчанию примет его равным нулю
Рис. 1. Ввод данных в поле mathcad
Далее вводится уравнение. Его можно записать в явном или неявном виде. Само уравнение набирается с клавиатуры вручную с использованием панели Calculator. Из этой панели можно взять основные математические операции: дроби, тригонометрию, факториалы и прочее. Уравнение нужно записывать с использованием логического символа «ровно». На панели Boolean он выделен жирным шрифтом (см. рис. 2)
Рис. 2. Панели Boolean и Calculator
После уравнения вводится функция Find(x) (где х — переменная). Это функция, которая возвращает результат. Значение функции Find(x) можно присвоить какой-либо переменной с помощью символа «:=» и использовать ее далее в расчетах
Для получения результата, после Find(x) следует поставить символ «→» либо «=» из панели Evaluation (см. рис. 3). Причем, если вы используете символ «→«, то mathcad определит все корни уравнения и сформирует матрицу результатов. Но если вы используете символ «=«, то mathcad выведет единственный корень, который был наиболее близок к начальному приближению. Так что, если вы не знаете сколько корней имеет уравнение, то лучше использовать стрелочку
Рис. 3. Панель «Evaluation»
В зависимости от сложности уравнения через определенное время MathCad выведет результат. На рис.4 можно рассмотреть синтаксис и различие результатов выводимых mathcad. Обратите внимание, что выводимые результаты одного и того же уравнения различны
Рис. 4. Результат численного решения уравнения
Mathcad позволяет решать уравния в символьном виде. Например, если мы заменим все числовые константы на неизвестные параметры и решим уравнение относительно x, то результат выведется в символьном виде (см. рис. 5). Причем, обратите внимание, что в данном случае нам не нужно вводить начальное приближение и мы должны использовать символ «→» для вывода результата
Рис. 5. Результат символьного решения уравнения
Использование метода Solve:
Этот метод отличается от выше рассмотренного синтаксисом. На свободном поле вводим уравнение с использованием логического символа «ровно» из панели Boolean. После ввода уравнения, не смещая курсор ввода, на панели Symbolic нажимаем кнопку solve (см. рис. 6)
Рис. 6. Панель Symbolic
Затем ставим запятую и вводим переменную, относительно которой нужно решить уравнение (в нашем случае это x). Нажимаем Enter на клавиатуре и смотрим результат (см. рис. 7)
Рис. 7. Результат решения уравнения методом Solve
Обратите внимание, что метод подходит как для численного так и для символьного представления результатов
Как показывает моя личная инженерная практика, иногда не удается решить уравнения с помощью Given — Find, но получается в Solve. При этом, к сожалению, метод Solve не очень удобен для далнейшего использования результатов решения уравнения
Donec eget ex magna. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fergiat. Pellentesque in mi eu massa lacinia malesuada et a elit. Donec urna ex, lacinia in purus ac, pretium pulvinar mauris. Curabitur sapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis dapibus rutrum facilisis. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Etiam tristique libero eu nibh porttitor fermentum. Nullam venenatis erat id vehicula viverra. Nunc ultrices eros ut ultricies condimentum. Mauris risus lacus, blandit sit amet venenatis non, bibendum vitae dolor. Nunc lorem mauris, fringilla in aliquam at, euismod in lectus. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. In non lorem sit amet elit placerat maximus. Pellentesque aliquam maximus risus, vel venenatis mauris vehicula hendrerit.
Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fersapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique lorem ipsum dolor.
Урок 22. Линейные уравнения в Mathcad
В этом уроке мы рассмотрим применение векторов и матриц, а именно решение систем линейных уравнений.
Пример
Есть система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Традиционный метод решения таких систем – последовательное исключение переменных. Например, мы можем сложить (1) и (3), затем (2) и (3):
Затем, используя (4):
Линейные уравнения можно решить с помощью векторов и матриц. Запишем левую часть уравнений (1), (2) и (3) как произведение матрицы коэффициентов A на вектор решений X:
Убедитесь, что элементы матрицы A совпадают с коэффициентами системы уравнений. Правую часть запишем как вектор решений:
Краткая запись системы уравнений:
Тогда решение можно найти:
Такую запись можно применять к сколь угодно большим системам, будь там три, сорок или десять тысяч уравнений. Запомните, что решение есть произведение обратной матрицы коэффициентов и вектора результатов, при этом важна их последовательность. Такой метод решения не самый эффективный, но он хорош для решения многих задач.
Расчет цепи постоянного тока
Цепь состоит из резисторов и источников ЭДС. Необходимо определить токи во всех ветвях цепи:
Примем значения сопротивлений и ЭДС:
Запишем уравнения для контуров I, II и III, исходя из второго правила Кирхгофа:
Для узлов a, b и c запишем уравнения по первому правилу Кирхгофа:
Запишем матрицу A, содержащую коэффициенты при токах, а в вектор b – правые части уравнений:
Решение системы уравнений:
Решение X можно найти по-другому – с помощью функции lsolve(A,B):
Линейные уравнения
С линейными уравнениями обычно не возникает проблем, но есть несколько вещей, о которых следует знать. Продемонстрируем их на системе двух уравнений:
Можно записать как:
Решение – точка (0,1), и здесь проблем не возникло:
Это обычный случай. Интересно вычислить определитель матрицы коэффициентов:
Он не равен нулю. Теперь поменяем второе уравнение системы и попробуем найти решение:
Система имеет бесконечное множество решений:
Определитель матрицы коэффициентов:
Он равен нулю. При попытке решить систему Mathcad скажет, что матрица является сингулярной. Здесь два уравнения идентичны, но результат будет тот же, если одно из уравнений кратно другому. Такие уравнения называются линейно зависимыми.
В третьем варианте изменим константу во втором уравнении:
Здесь нет решений: две прямые параллельны:
Как Вы догадывались, определитель снова равен нулю:
Поведение большего числа уравнений аналогично.
Таким образом, если определитель равен нулю, возникает проблема, которую часто сложно распознать. При записи большой системы уравнений легко ошибиться и, например, дважды записать одно уравнение.
Если в коэффициентах присутствует погрешность округления, Mathcad может принять эти два уравнения за разные. Ответ будет получен, но результат будет неверным.
Резюме
- Система линейных уравнений обычно имеет своим решением столько переменных, сколько самих уравнений.
- Небольшие системы линейных уравнений могут быть решены последовательным исключением переменных.
- Для больших систем уравнений нужна краткая запись. Мы использовали векторы и матрицы. Левая часть уравнений является произведением матрицы коэффициентов A на вектор решений x, правая часть – это вектор решений b. Решение: .
- С помощью матриц и векторов мы решили задачу цепи постоянного тока.
- Решение не будет найдено, если матрица коэффициентов сингулярна.
Как решать уравнения в маткаде видео
Электронный курс по MathCAD
Лекция 5.
Решение уравнений и систем.
5.1 Решение алгебраических (и других) уравнений и систем.
5.2 Решение дифференциальных уравнений и систем (задача Коши и граничные задачи).
5.3 Задание.
5.1 Решение алгебраических (и других) уравнений и систем.
Линейные алгебраические уравнения.
Определение: Уравнение вида ax+b=0 с заданным базовым множеством Gx, a из Ga , b из Gb называется линейным уравнением.
Этапы решения при помощи Mathcad:
- Ввести уравнение (знак «=» вводится при помощи комбинации [Ctrl++]).
- Выделить курсором переменную, относительно которой должно быть решено уравнение.
- Выбрать команду Solve (Вычислить) подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы).
При решении линейных уравнений (без параметров) или дробных уравнений, которые сводятся к линейным, MathCAD находит все существующие решения. Однако при этом следует правильно интерпретировать сообщения, выдаваемые системой.
Нормальный случай.
Дробные уравнения