Как решать уравнения в разных системах счисления

Карточка для практической работы по теме «Уравнения и системы счисления»
учебно-методический материал по информатике и икт (8, 9, 10, 11 класс)

В карточке подробно разобраны различные примеры решения уравнений в разных системах счисления. Далее ребятам предлагаются аналогичные задания для самостоятельного решения и напоследок подборка заданий на повторение предыдущих тем. Часть заданий взята с сайта Константина Юрьевича Полякова

Скачать:

Предварительный просмотр:

1. Изучите способы решения уравнений и законспектируйте в тетрадь все примеры

Решите уравнение 42 5 +х=1122 3 .Ответ запишите в четверичной системе счисления.

Переведем все числа в десятичную систему счисления

4*5 1 +2*5 0 +х=1*3 3 +1*3 2 +2*3 1 +2*3 0

Переведем ответ из десятичной системы счисления в четверичную

22 4

20 5 4

Решите уравнение. 104 х +20 х =84 10 . Ответ запишите в двоичной системе счисления.

Переведем все числа в десятичную систему счисления

104 х +20 х =84 10

1*х 2 +0*х 1 + 4*х 0 +2*х 1 +0*х 0 =84

х 1 =8 , х 2 =-10 (не подходит)

Переведем ответ из десятичной системы счисления в двоичную

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 47 записывается в виде 52. Укажите это основание.

Пусть основание равно х

Решим это уравнение:

Запись числа 65 8 в некоторой системе счисления выглядит так: 311 N . Найдите основание системы счисления N.

Решим это уравнение:

3*N 2 +1*N 1 +1*N 0 =6*8 1 +5*8 0

x 2 не подходит, т.к. отрицательный

1. Решите уравнение 60 8 +х=120 7 . Ответ запишите в шестеричной системе счисления.
2. Решите уравнение . Ответ запишите в троичной системе счисления.
3. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 12 записывается в виде 110. Укажите это основание.
4. Решите уравнение . Ответ запишите в шестеричной системе счисления.
5. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 49 записывается в виде 100. Укажите это основание.
6. Запись числа 57 8 в некоторой системе счисления выглядит так: 2D N . Найдите основание системы счисления N.
7. Решите уравнение . Ответ запишите в десятичной системе счисления.
8. Десятичное число 70 в некоторой системе счисления записывается как 64. Определите основание системы счисления.
9. Определите число N, для которого выполняется равенство 143 N + 25 6 = 138 N+1 .
10. Запись числа 2B 16 в некоторой системе счисления выглядит так: 111 N . Найдите основание системы счисления N.
11. Известно, что X = 12 4 + 4 5 + 101 2 . Чему равно число X в десятичной системе счисления?
12. Выполните арифметические операции:

1. 7215 8 -676 8
2. D1C 16 +AF95 16
3. 1011101 2 ·1100 2
4. 5414 8 +435 8
5. 10101100 2 +110001 2
6. B8D4F 16 -BA76 16
7. 10010101 2 -11000100 2

1. Перевести:

1. 1023 4 =X 7
2. 2541 7 =X 3

1. Вычислите сумму чисел x и y при x = D2 16 , y = 37 8 . Результат представьте в двоичной системе счисления.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Практическая работа «Компьютерные словари и системы машинного перевода текста»

Практическая работа«Компьютерные словари и системы машинного перевода текста»1. Открыть Электронный словарь на сайте www.ver-dict.ru или по выбору.2.

Инструктивная карточка к практической работе по теме «спирты»

Инструктивная карточка к практической работе по теме «свойства спиртов», 10 (11) класс, органическая химия. Данная карточка позволяет оптимизировать проведение практической работы по органической хими.

Проверочная работа по по теме «Системы счисления»

Проверочная работа по по теме «Системы счисления» предназначения для проверки знаний учащихся 9 классов. В работе представлены 3 варианта.

Инструктивные карточки к практическим работам по химии

Представлены инструктивные карточки к практическим работам по химии за курс 8-11 класс.

Контрольная работа по теме «Информация. Системы счисления»

Материал контрольной работы в 2-х вариантах с ответами. Используются как тестовые задания, так и задания, требующие приведения решения.

инструктивная карточка к практической работе 9 класс

инструктивная карточка к практической работе 9 класс.

Практическая работа «Строение атома. Периодическая система химических элементов»

Задание1. Дать характеристику химическому элементу №39 по плану:Название, символ _______________________Порядковый номер______________________Атомная масса__________________________Ме, неМе, пер.

Решение задач по системе счисления. Часть 2

Главная > Решение

Решение задач по системе счисления. Часть 2.

Учитель информатики Батракова Л.В.

11. Решите уравнение .
Ответ запишите в четверичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение: Надо перевести все числа в десятичную систему, решить уравнение и результат перевести в четверичную систему:

1)

из уравнения получаем

переводим 22 в четверичную систему счисления:

12. Запись натурального числа в системах счисления с основанием 4 и 6 заканчивается на 0. Найдите минимальное натуральное число, удовлетворяющее этим условиям.

Решение: если запись числа в системе счисления с основанием N заканчивается на 0, то это число делится на N нацело, поэтому в данной задаче требуется найти наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на 4 и на 6, то есть это число12.

13. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 3 в записи чисел 13, 14, 15, …, 23 в системе счисления с основанием 4.

Решение (вариант 1):

При решении задачи надо помнить, что в 4-ой системе счисления самая старшая цифра – 3.

Запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 4:

13 = 31 4 , 23 = 113 4 .

Оба они содержат цифру 3, так что, 2 цифры мы уже нашли.

Между 31 4 и 113 4 есть еще числа:

32 4 , 33 4 , 100 4 , 101 4 , 102 4 , 103 4, 110 4 , 111 4 , 112 4 .

В них 4 цифры 3, поэтому всего цифра 3 встречается 6 раз.

Решение (вариант 2):

Можно перевести все указанные числа в систему счисления с основанием 4 и подсчитать количество 3:

13 =31 4 , 14 =32 4 , 15 =33 4 , 16 =100 4 , 17 =101 4 , 18 =102 4 , 19 =103 4 , 20 =110 4 , 21 = 111 4 , 22=112 4 , 23 = 113 4 .

Получается 6 штук.

14. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 50 двузначна.

Решение: Так как число по условию двухзначное, то достаточно найти первое целое число, квадрат которого больше 50; это — 8, так как:

Так как , следовательно, в системе счисления с основанием 7 запись числа 50 будет трехзначна, а в 8-ой системе счисления – двузначной.

15. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием 6 начинается на 4?

Решение: Поскольку , в интересующих нас числах может быть не более 2 цифр. Есть всего одно однозначное число, начинающееся на 4, это 4. Выпишем все числа в шестеричной системе счисления, которые являются двузначными, начинаются с 4 и не превосходят 25 в десятичной системе. Это числа: 40 6 = 24, 41 6 = 25. Ответ: 4, 24, 25

16. Запись числа 65 8 в некоторой системе счисления выглядит так: 311 N . Найдите основание системы счисления N.

Решение: Из условия задачи следует, что 65 8 = 311 N . Переведем 65 8 в десятичную систему счисления:

,

Второе число разложим по основанию счисления N:

Так как что 65 8 = 311 N , то можно записать: .

Решаем это уравнение и получаем, что N = 4.

17. Даны 4 числа, они записаны с использованием различных систем счисления. Укажите среди этих чисел то, в двоичной записи которого содержится ровно 5 единиц. Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них.

1) 31 10 * 8 10 + 1 10 2) F0 16 + 1 10 3) 351 8 4) 11100011 2

Решение: Нужно перевести все заданные числа в двоичную систему, подсчитать число единиц и выбрать наибольшее из чисел, в которых ровно 5 единиц.

Для первого варианта переведем оба сомножителя в двоичную систему:

31­ 10 = 11111­ 2 8 10 = 1000­ 2

В первом числе ровно 5 единиц, умножение на второе добавляет в конец три нуля:

31­ 10 * 8 10 = 11111­ 2 * 1000­ 2 = 111110­00 2

то есть в этом числе 5 единиц, но надо добавить еще одну единицу в конец, получим число 11111001, в котором 6 единиц. Так как нам нужны числа с 5-ю единицами, то это число не рассматриваем.

Для второго варианта воспользуемся двоичным представлением 16-ричных чисел: каждую цифру шестнадцатеричного числа можно переводить отдельно в тетраду (4 двоичных цифры):

F­0 16 = 1111­0000 2

после добавления единицы F0 16 + 1 = 1111 0001 2 получаем число, содержащее ровно 5 единиц.

Для третьего варианта используем связь между восьмеричной и двоичной системами: каждую цифру восьмеричного числа переводим отдельно в триаду (группу из трёх) двоичных цифр:

351 8 = 11101001­ 2

это число тоже содержит 5 единиц, но меньше, чем число во втором варианте ответа.

Последнее число 11100011 2 уже записано в двоичной системе, оно тоже содержит ровно 5 единиц, но меньше второго и третьего числа.

Таким образом, только 3 числа, указанные в вариантах ответов, содержат ровно 5 единиц, но наибольшее из них – второе.

18. Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе:
10001011, 10111000, 10011011, 10110100.
Сколько среди них чисел, больших, чем А4 16 +20 8 ?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение: Надо перевести А4 16 +20 8 в двоичную систему счисления, разложив их по тетрадам для 16-х чисел и по триадам для 8-х чисел: А4 16 — 10100100 2 и 20 8 — 10000 2 и поразрядно сложить: 10100100 2 + 10000 2 = 10110100 2 .

Сравнив с заданными числами, видим, что только одно число больше полученного, это: 10111000.

19. К записи натурального числа в восьмеричной системе счисления справа приписали два нуля. Во сколько раз увеличилось число? Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Решение: Так как приписали 2 нуля, то для решения задачи достаточно вычислить 8 2 =64.

20. Десятичное число 109 в некоторой системе счисления записывается как «214». Определите основание системы счисления.

Решение: Обозначим искомое основание системы счисления через x , тогда можно записать выражение:

109 = 2 x 2 + x +4 или 2 x 2 + x -105 = 0. Решив это уравнение, получим x =7.

Дополнительно (для самых умных):

Запись числа N в системе счисления c основанием 6 содержит две цифры, запись этого числа в системе счисления c основанием 5 содержит три цифры, а запись в системе счисления c основанием 11 заканчивается на 1. Чему равно N? Запишите ответ в десятичной системе счисления.

Решение: Из первых двух условий задачи следует, что 5 2 = 25 ≤ N 2 = 36, следовательно, значение N надо искать из следующего набора чисел: 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35.

Из третьего условия находим число, которое при делении на 11 дает остаток 1, это число 34.

Проверка: 34 = 54 6 =5· 6 1 + 4 · 6 0 , 34 = 114 5 = 1· 5 2 + 1 · 5 1 + 4 · 5 0 , 34 = 31 11 = 3 · 11 1 + 1 · 11 0 .

Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение: 144 + 24 = 201.

Решение: Так как старшая цифра в выражении 4, то надо рассматривать системы счисления, начиная с 5-ной.

Пятеричная система не подходит, т.к. 4 + 4 в пятеричной системе даст нам последнюю цифру в ответе 3. Шестеричная система так же не подходит – последняя цифра в ответе будет 2. А вот семеричная система подойдет для всех цифр ответа.

Дополнительно (для самых-самых умных):

1. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11.

неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через

пока будем считать, что запись числа 31 в системе с основанием состоит из трех цифр, причем две младшие (11) нам даны, а одну (обозначим ее через ) нужно найти:

31 = k 1 1 N = k · N 2 + N 1 + N 0 = k· N 2 + N + 1

можно показать, что при большем количестве разрядов эта формула также верна, то есть, число 31 можно представить как при некотором целом ; например, для числа с пятью разрядами получаем:

4 3 2 1 0 ← разряды

31 = k 4 k 3 k 2 1 1 N = k 4 ·N 4 + k 3 · N 3 + k 2 · N 2 + N 1 + N 0

для (из первых трех слагаемых вынесли общий множитель )

Решение: Нужно найти все целые числа , такие что

(**)

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …).

Сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа.

Из формулы (**) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 30 и отобрать только те из них, для которых уравнение (**) разрешимо при целом , то есть, – целое число.

Выпишем все делители числа 30, большие или равные 2: 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Из всех этих делителей только для 2, 3, 5 и 30 значение – целое число (оно равно соответственно 7, 3, 1 и 0)

Ответ : 2, 3, 5, 30.

Замечание: Можно, конечно, решить задачу и методом подбора.

31 = 2 5 – 1 = 11111 2

2. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 94 начинается на 23.

Решение: Из условия задачи видно, что искомое основание не меньше 4 (в записи есть цифра 3).

Если запись числа 94 в некоторой системе счисления с основанием двузначна (94 = 23 x ), то справедливо равенство .

Нас интересуют натуральные решения этого уравнения, такие что , но таких решений нет.

Предположим, что число четырехзначное. Минимальное допустимое четырехзначное число – 2300 x , где . При минимальном основании () оно равно.

Следовательно, запись нужного нам числа имеет три знака.

Можно записать: , где – целое неотрицательное число, такое что .

Максимальное можно определить как решение уравнения (при ).

Получаем одно из решений – 6,15. Отсюда: 4≤.

определится как: .

Подставим поочередно в эту формулу , пытаясь получить .

Минимальное = 4 будет при , т.е условиевыполняется, а при получается .

Задача №16. Поиск основания системы по окончанию числа, уравнения и различные кодировки, арифметические действия в различных системах.

Перед тем, как приступить к решению задач, нам нужно понять несколько несложных моментов.

Рассмотрим десятичное число 875. Последняя цифра числа (5) – это остаток от деления числа 875 на 10. Последние две цифры образуют число 75 – это остаток от деления числа 875 на 100. Аналогичные утверждения справедливы для любой системы счисления:

Последняя цифра числа – это остаток от деления этого числа на основание системы счисления.

Последние две цифры числа – это остаток от деления числа на основание системы счисления в квадрате.

Например, . Разделим 23 на основание системы 3, получим 7 и 2 в остатке (2 – это последняя цифра числа в троичной системе). Разделим 23 на 9 (основание в квадрате), получим 18 и 5 в остатке (5 = ).

Вернемся опять к привычной десятичной системе. Число = 100000. Т.е. 10 в степени k– это единица и k нулей.

Аналогичное утверждение справедливо для любой системы счисления:

Основание системы счисления в степени k в этой системе счисления записывается как единица и k нулей.

1. Поиск основания системы счисления

Пример 1.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 27 записывается в виде 30. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда .Т.е. x = 9.

Пример 2.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 13 записывается в виде 111. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда

Решаем квадратное уравнение, получаем корни 3 и -4. Поскольку основание системы счисления не может быть отрицательным, ответ 3.

Ответ: 3

Пример 3

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 29 оканчивается на 5.

Решение:

Если в некоторой системе число 29 оканчивается на 5, то уменьшенное на 5 число (29-5=24) оканчивается на 0. Ранее мы уже говорили, что число оканчивается на 0 в том случае, когда оно без остатка делится на основание системы. Т.е. нам нужно найти все такие числа, которые являются делителями числа 24. Эти числа: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Заметим, что в системах счисления с основанием 2, 3, 4 нет числа 5 (а в формулировке задачи число 29 оканчивается на 5), значит остаются системы с основаниями: 6, 8, 12,

Ответ: 6, 8, 12, 24

Пример 4

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.

Если в некоторой системе число оканчивается на 13, то основание этой системы не меньше 4 (иначе там нет цифры 3).

Уменьшенное на 3 число (71-3=68) оканчивается на 10. Т.е. 68 нацело делится на искомое основание системы, а частное от этого при делении на основание системы дает в остатке 0.

Выпишем все целые делители числа 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 не подходит, т.к. основание не меньше 4. Остальные делители проверим:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (ост 1) – подходит

68:17 = 4; 4:17 = 0 (ост 4) – не подходит

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ост 2) – не подходит

68:68 = 1; 1:68 = 0 (ост 1) – подходит

2. Поиск чисел по условиям

Пример 5

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Решение:

Для начала выясним, как выглядит число 25 в системе счисления с основанием 4.

. Т.е. нам нужно найти все числа, не больше , запись которых оканчивается на 11. По правилу последовательного счета в системе с основанием 4,
получаем числа и . Переводим их в десятичную систему счисления:

3. Решение уравнений

Пример 6

Ответ запишите в троичной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно).

Переведем все числа в десятичную систему счисления:

Квадратное уравнение имеет корни -8 и 6. (т.к. основание системы не может быть отрицательным). .

Ответ: 20

4. Подсчет количества единиц (нулей) в двоичной записи значения выражения

Для решения этого типа задач нам нужно вспомнить, как происходит сложение и вычитание «в столбик»:

При сложении происходит поразрядное суммирование записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если полученная сумма двух цифр больше или равна основанию системы счисления, под суммируемыми цифрами записывается остаток от деления этой суммы на основание системы, а целая часть от деления этой суммы на основание системы прибавляется к сумме следующих разрядов.

При вычитании происходит поразрядное вычитание записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если первая цифра меньше второй, мы «занимаем» у соседнего (большего) разряда единицу. Занимаемая единица в текущем разряде равна основанию системы счисления. В десятичной системе это 10, в двоичной 2, в троичной 3 и т.д.

Пример 7

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: ?

Представим все числа выражения, как степени двойки:

В двоичной записи двойка в степени n выглядит, как 1 и n нулей. Тогда суммируя и , получим число, содержащее 2 единицы:

Теперь вычтем из получившегося числа 10000. По правилам вычитания занимаем у следующего разряда.

Теперь прибавляем к получившемуся числу 1:

Видим, что у результата 2013+1+1=2015 единиц.