Урок тригонометрии «Различные способы решения уравнения sinx + cosx = 1»
Разделы: Математика
Образовательные, развивающие и воспитательные цели урока:
Техническая оснащенность урока: компьютеры.
План сдвоенного урока.
I. Повторение по теме “Уравнения”.
Вопросы для повторения.
II. Сообщение темы урока, знакомство с целями.
Урок посвящён способам решения уравнения sin x + cos x = 1.
III. Ход работы.
Я буду ставить перед вами задачу, определив способ решения, а вы будете именно этим способом решать данное уравнение, используя различные приёмы. Работать будете на листочках. Кто раньше решит, выйдет и приведёт своё решение на обороте доски (такую возможность будут иметь одновременно 4 ученика).
По окончанию работы и сдачи листочков на проверку класс обсудит приведённые на доске варианты решений. Затем начнётся следующий этап работы. Не забывайте каждый раз подписывать листочки.
Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x + cos x = 1.
I способ. Введение вспомогательного угла.
Рассмотрим два приёма:
Разделим обе части уравнения на :
Воспользуемся алгоритмом решения уравнений вида а sin x + b cos x = c.
применительно к уравнению sin x + cos x, имеем:
Подпишите листочки.
- Изложите на листочках алгоритм использования вспомогательного угла при решении уравнений вида a sin x + b cos x =0.
- Запишите формулу применения синуса дополнительного угла для выражения sin x + cos x.
- Теперь выразите sin x + cos x через косинус дополнительного угла.
- Кто раньше закончит работу, покажет свои варианты ответов на доске.
II способ. С помощью универсальной тригонометрической подстановки.
Запишите формулы универсальной подстановки для sin x, cos x . Кто первый закончит, покажет на доске.
(1)
Выводы: Обращение к функции tgx / 2 предполагает, что cosx / 2 0, т.е. x 2n, n Z.
При таком переходе возможна потеря решений, т.к. исходное уравнение имело смысл при всех значениях переменной х, в том числе и при x = + 2n, n Z.
Есть вероятность того, что они могут оказаться корнями исходного уравнения,
поэтому надо проверить, не являются ли значения x = + 2n, n Z решениями данного уравнения.
sin ( + 2n) + cos( + 2n) = 1
-1 1.
Следовательно, x = + 2n, n Z.
Решением уравнения не является и переход к функции tgx / 2, в данном случае потери решения за собой не повлечёт. Итак, по формулам (1) из исходного уравнения sin x + cos x = 1, получаем:
III способ. Сведение к однородному уравнению.
Возможно, ли получить из данного уравнения однородное уравнение?
Надо перейти к аргументу x/2 и применить формулы половинного аргумента к функциям в левой и правой частях уравнения sin x + cos x = 1.
Написать на листочках формулы, которые при этом используются, и то однородное уравнение, которое получится. Получили однородное уравнение второй степени.
2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin 2 x/2 = sin 2 x/2 + cos 2 x/2 (2)
Подпишите листочки и решите данное однородное тригонометрическое уравнение второй степени
2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin 2 x/2 = sin 2 x/2 + cos 2 x/2,
2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin 2 x/2 — sin 2 x/2 — cos 2 x/2 = 0
sinx/2*cosx/2 — sin 2 x/2 = 0
Это уравнение можно решить, используя различные приёмы.
Разделим обе части уравнения на cos 2 x/2, т.к. cos 2 x/2 0
Ответ: <2n; /2 + 2k>, где n, k Z
Рассмотрим решение уравнения (2) способом разложения на множители:
sinx/2*cosx/2 — sin 2 x/2 = 0,
sinx/2*(cosx/2 — sinx/2) = 0,
x = 2n, n Z;
b) cosx/2 – sinx/2 = 0
x = /2 + 2k, k Z.
Ответ : <2n; /2 + 2k>, где n, k Z.
IV способ. Преобразование суммы в произведение.
Запишите формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение. Кто первый закончит работу, воспроизведёт её на доске. Используя формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение, решить данное уравнение:
а) Выразим cos x через sin(/2 – x):
О т в е т : <2n; /2 + 2k>, где n, k Z
sin x + cos x = 1
б) Выразим sin x через cos (/2 – х):
V способ. Применение формул половинного и двойного аргумента.
Напишите формулы тригонометрических функций двойного аргумента и половинного аргумента.
Запишите: sin x + cos x = 1; sin x = 1- cos x, приведите левую и правую части уравнения к аргументу х/2, используя формулы двойного и половинного угла, и решите получившееся уравнение.
2sinx/2 * cosx/2 = 2 sin 2 x/2 ,
sinx/2 * cosx/2 = sin 2 x/2 ,
x = /2 + 2k, k Z.
x = 2n; n, Z
Ответ: <2n; /2 + 2k>, где n, k Z.
Или это уравнение можно решить делением обеих частей на cos 2 x/2.
VI способ. Возведение обеих частей уравнения в квадрат:
sin x + cos x = 1,
(sin x + cos x) 2 = 1,
2 sin x cos x + 1= 1,
2 sin x cos x = 0,
При возведении в степень возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней, т.е. получается уравнение-следствие. Причина приобретения корней состоит в том, что при возведении в квадрат чисел, равных по абсолютной величине, но разных по знаку, получается один и тот же результат.
При возведении в квадрат обеих частей уравнения sin x + cos x = 1, мы производим эту же операцию и с частями «теневого» уравнения (- sin x — cos x = 1), поскольку результат этих действий будет один и тот же.
Следовательно, по окончании решения, обязательно следует производить отбор корней.
1. Проверим корни вида x = j:
Значит, значения x = 2k, k Z, являются решениями исходного уравнения.
х= j , при j = 2k + 1, k Z.
следовательно, значения x = 2(k+1), где k Z, не являются решениями исходного уравнения.
2. Проверяем корни вида x = /2 + j, j Z:
j = 2n : x = /2+ 2n, где n Z.
Значит, значения x = /2+ 2n, где n Z являются решениями исходного уравнения.
x = /2 + 2(n+1); n Z.
следовательно, значения x = /2 + 2(n+1); n Z не являются решениями исходного уравнения.
Ответ : <2n; /2 + 2k>, где n, k Z.
VII способ. Замена cos x выражением :
Проверив результат, убеждаемся, что из серии x = k, k Z решением исходного уравнения являются только значения х вида: x = 2h, где h Z при k = 2h.
Ответ : <2h; /2 + 2n>, где n, h Z.
VIII способ. Графическое решение уравнения sin x + cos x = 1.
Предварительно проводится фронтальная беседа.
1. Что значит решить уравнение графически?
2. Как можно решить графически данное уравнение?
1. Построить в одной системе координат графики функций:
Абсциссы точек пересечения графиков функций и являются решением данного уравнения.
2. Построить график функции y = sin x+ cos x –1.
Абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс являются решением исходного уравнения.
3. Построение графиков на экране компьютера:
Прежде чем приступить к работе на компьютере, повторим элементы компьютерной грамотности, позволяющие построение графиков.
Что такое масштаб применительно к ЭВМ?
Масштаб – количество точек на экране, приходящееся на единицу значения.
Что называется пикселем?
Пиксель – наименьший объект графической среды, характеризующийся координатой Х и У (это точка на экране).
С помощью какого оператора можно построить точку на экране?
C помощью, какого оператора устанавливается новая система координат?
Window (x1, y1) – (x2, y2).
Рассказать о порядке построения линий осей координат на экране.
Line (x, y) – (x2, y2), c
Назовите операторы, которые обеспечивают надписи на осях координат.
Locate x, y: PRINT «Y».
Что собой представляет график на экране?
Что обеспечивает развёртку графика по осям координат?
Выполняем решение систем (1) на компьютере по соответствующим программам.
IV. Домашнее задание:
Решить различными способами уравнение sinx – cosx = 1 или любое другое уравнение.
РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения
Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.
19.1. Уравнение cos x = a
Объяснение и обоснование
- Корни уравненияcosx=a.
При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)
2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.
Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).
Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда
Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,
Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,
Примеры решения задач
Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:
19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a
Объяснение и обоснование
1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a
Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x1 = arctg a и для этого корня tg x = a.
Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:
При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).
Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x1=arсctg a.
Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:
таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни
Примеры решения задач
Вопросы для контроля
- Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
- Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
- Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
- Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.
Упражнения
Решите уравнение (1-11)
Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)
Арксинус. Решение уравнения sin x = a
п.1. Понятие арксинуса
В записи \(y=sinx\) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – синус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному синусy найти угол. Но одному значению синусa соответствует бесконечное количество углов. Например, если \(sinx=1\), то \(x=\frac\pi2+2\pi k,\ k\in\mathbb
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором синус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: \(-\frac\pi2 \leq x\leq \frac\pi2\) (правая половина числовой окружности).
\(arcsin\frac12=\frac\pi6,\ \ arcsin\left(-\frac<\sqrt<3>><2>\right)=-\frac<\pi><3>\)
\(arcsin2\) – не существует, т.к. 2> 1
п.2. График и свойства функции y=arcsinx
1. Область определения \(-1\leq x\leq1\) .
2. Функция ограничена сверху и снизу \(-\frac\pi2\leq arcsinx\leq \frac\pi2\) . Область значений \(y\in[-\frac\pi2; \frac\pi2]\)
3. Максимальное значение \(y_
Минимальное значение \(y_
4. Функция возрастает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.
6. Функция нечётная: \(arcsin(-x)=-arcsin(x)\) .
п.3. Уравнение sinx=a
Значениями арксинуса могут быть только углы от \(-\frac\pi2\) до \(\frac\pi2\) (от -90° до 90°). А как выразить другие углы через арксинус? |
Углы в левой части числовой окружности записывают как разность π и арксинуса (угла справа). А остальные углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арксинуса и величин, которые «не помещаются» в область значений арксинуса.
1) Решим уравнение \(sinx=\frac12\).
Найдем точку \(\frac12\) в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через через эту точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам \(\frac\pi6\) и \(\frac<5\pi><6>\) — это базовые корни.
Если взять корень справа \(\frac\pi6\) и прибавить к нему полный оборот \(\frac\pi6+2\pi=\frac<13\pi><6>\), синус полученного угла \(sin\frac<13\pi><6>=\frac12\), т.е. \(\frac<13\pi><6>\) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида \(\frac\pi6+2\pi k\) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида \(\frac<5\pi><6>+2\pi k\).
Получаем ответ: \(x_1=\frac\pi6+2\pi k\) и \(x_2=\frac<5\pi><6>+2\pi k\)
Заметим, что \(arcsin\frac12=\frac\pi6\). Полученный ответ является записью вида
\(x_1=arcsin\frac12+2\pi k\) и \(x_2=\pi-arcsin\frac12+2\pi k\)
А т.к. арксинус для \(\frac12\) точно известен и равен \(\frac\pi6\), то мы его просто подставляем и пишем ответ. Но так бывает далеко не всегда.
2) Решим уравнение \(sinx=0,8\)
Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках. По определению правая точка – это угол, равный arcsin0,8. Тогда левая точка – это разность развернутого угла и арксинуса, т.е. (π–arcsin0,8). Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни. Получаем ответ: \(x_1=arcsin0,8+2\pi k,\) \(x_2=\pi-arcsin0,8+2\pi k\) |
Докажем, что семейства решений для корней справа и слева можно записать одним выражением \(x=(-1)^k arcsina+\pi k\).
Действительно, для чётных \(k=2n\) получаем: $$ x=(-1)^ <2n>arcsina+\pi \cdot 2n=arcsina+2\pi n $$ это семейство решений для корня справа (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Для нечётных \(k=2n+1\):
$$ x=(-1)^ <2n+1>arcsina+\pi \cdot (2n+1)=-arcsina+2\pi n +\pi=\pi-arcsina+2\pi n $$ это семейство решений для корня слева (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Обратное преобразование двух семейств решений в общую запись аналогично.
Следовательно: $$ x=(-1)^k arcsina+\pi k\Leftrightarrow \left[ \begin
Для примеров, решённых выше, можем записать: $$ 1) \left[ \begin
$$ 2) \left[ \begin
Как правило, если ответ еще не найден, и нужны дальнейшие преобразования, решение записывают как два раздельных семейства.
Если же просто нужно записать ответ, то пишут общее выражение.
п.4. Примеры
Пример 1. Найдите функцию, обратную арксинусу. Постройте графики арксинуса и найденной функции в одной системе координат.
Для \(y=arcsinx\) область определения \(-1\leq x\leq 1\), область значений \(-\frac\pi2\leq y\leq \frac\pi2\).
Обратная функция \(y=sinx\) должна иметь ограниченную область определения \(-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2\) и область значений \(-1\leq y\leq 1\).
Строим графики:
Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.
Пример 2. Решите уравнения:
a) \(sin x=-1\) \(x=-\frac\pi2+2\pi k\) | б) \(sin x=\frac<\sqrt<2>><2>\) $$ \left[ \begin |
в) \(sin x=0\) \(x=\pi k\) | г) \(sin x=\sqrt<2>\) \(\sqrt<2>\gt 1,\ \ x\in\varnothing\) Решений нет |
д) \(sin x=0,7\) \begin e) \(sin x=-0,2\) | Арксинус нечетный, поэтому: $$ srcsin(-0,2)=-arcsin(0,2) $$ Получаем: \begin |
Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arcsin0,2;\ \ arcsin(-0,7);\ \ arcsin\frac\pi4 $$
Способ 1. Решение с помощью числовой окружности |
Отмечаем на оси синусов (ось OY) точки с абсциссами 0,2; -0,7; \(\frac\pi4\approx 0,79\)
Значения синусов (углы) считываются на правой половине окружности: чем больше синус (от -1 до 1), тем больше угол (от \(-\frac\pi2\) до \(\frac\pi2\)).
Получаем: $$ arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4 $$
Отмечаем на оси OY аргументы 0,2; -0,7; \(\frac\pi4\approx 0,79\). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арксинусов по возрастанию: $$ arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4 $$
Арксинус – функция возрастающая: чем больше аргумент, тем больше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по возрастанию: -0,7; 0,2; \(\frac\pi4\).
И записываем арксинусы по возрастанию: \(arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4\)
Пример 4*. Решите уравнения:
\(a)\ arcsin(x^2-3x+3)=\frac\pi2\) \begin
\(б)\ arcsin^2x-arcsinx-2=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arcsin x,\ -\frac\pi2\leq t\leq \frac\pi2\)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-2=0\Rightarrow (t-2)(t+1)=0\Rightarrow \left[ \begin
\(в)\ arcsin^2x-\pi arcsinx+\frac<2\pi^2><9>=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arcsin x,\ -\frac\pi2\leq t\leq \frac\pi2\)
Решаем квадратное уравнение: \begin
\begin
http://ya-znau.ru/znaniya/zn/280
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/arksinus-reshenie-uravneniya-sinx-a/