Как решать задачи по физике с уравнениями

Уравнения математической физики: примеры и задачи

Уравнения математической физики для чайников

Задачи математической физики состоят в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям. Такими дополнительными условиями чаще всего являются так называемые граничные условия, т.е. условия, заданные на границе рассматриваемой среды, и начальные условия, относящиеся к одному какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления.

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений по предмету «Уравнения математической физики» (подраздел курса «Дифференциальные уравнения в частных производных» с физическими приложениями) для студентов. Разобраны типовые примеры для самых распространенных уравнений (уравнения Лапласа, Пуассона, теплопроводности, волновое), методов (разделения переменных, Фурье, Даламбера) и задач (Штурма-Лиувилля, Пфаффа и т.д.).

Задачи с решениями по уравнениям математической физики онлайн

Задача 1. Определить тип уравнений. Привести к каноническому виду. $$ u_+4u_+u_+u_x+u_y-x^2y=0. $$

Задача 2. Решить методом разделения переменных следующую задачу для неоднородного волнового уравнения.

Задача 3. Решить методом разделения переменных следующую задачу для неоднородного уравнения теплопроводности:

Задача 4. Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения Пуассона в кольце.

Задача 5. Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения Лапласа в кольцевом секторе.

Задача 6. Решить уравнение Лапласа в прямоугольнике:

Задача 7. Используя формулу Пуассона, найти решение задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Задача 8. Решить задачу Коши для волнового уравнения:

Задача 9. Решить смешанную задачу для волнового уравнения

Задача 10. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа для круга:

Задача 11. Решить уравнение методом Лагранжа-Шарпи.

Задача 12. Решить уравнение Пфаффа

$$ z^2 dx +zdy +(3zx +2y)dz=0. $$

Заказать работу по уравнениям в частных производных? Легко!

Нужно выполнить контрольную работу или задания из практикума по УМФ или ДУвЧП? Нет проблем — примем заказ от очников и заочников любых ВУЗов! Стоимость консультации по решению уравнения математической физики — от 150 рублей, подробное оформление согласно требованиям методички в Word.

Как решать задачи по физике с уравнениями

Задачи по физике — это просто!

Не забываем, что решать задачи надо всегда в системе СИ!

А теперь к задачам!

Элементарные задачи из курса школьной физики по кинематике.

Задача на составление описания движения и составление уравнения движения по заданному графику движения

Дано: график движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. составить уравнение движения тела.

Проекцию вектора скорости определяем по графику, выбрав любой удобный для рассмотрения отрезок времени.
Здесь удобно взять t=4c

Составляем уравнение движения тела:

Записываем формулу уравнения прямолинейного равномерного движения.

Подставляем в нее найденный коэффициент V_x (не забываем о минусе!).
Начальная координата тела (X_о) соответствует началу графика, тогда X_о=3

Составляем описание движения тела:

Желательно сделать чертеж, это поможет не ошибиться!
Не забываем, что все физические величины имеют единицы измерения, их необходимо указывать!

Тело движется прямолинейно и равномерно из начальной точки X_о=3м со скоростью 0,75 м/с противоположно направлению оси X.

Задача на определение места и времени встречи двух движущихся тел (при прямолинейном равномерном движении)

Движение тел задано уравнениями движения для каждого тела.

Дано:
1. уравнение движения первого тела
2. уравнение движения второго тела

Найти:
1. координату места встречи
2. момент время (после начала движения), когда произойдет встреча тел

По заданным уравнениям движения строим графики движения для каждого тела в одной системе координат.

Точка пересечения двух графиков движения определяет:

1. на оси t — время встречи ( через сколько времени после начала движения произойдет встреча)
2. на оси X — координату места встречи (относительно начала координат)

В результате:

Два тела встретятся в точке с координатой -1,75 м через 1,25 секунд после начала движения.

Для проверки полученных графическим способом ответов можно решить систему уравнений из двух заданных
уравнений движения:

Для тех, кто почему-то забыл, как построить график прямолинейного равномерного движения:

График движения — это линейная зависимость ( прямая), строится по двум точкам.
Выбираем два любых удобных для простоты расчета значения t₁ и t₂.
Для этих значений t подсчитываем соответствующие значения координат X₁ и X₂.
Откладываем 2 точки с координатами (t₁, X₁) и (t₂, X₂) и соединяем их прямой — график готов!

Задачи на составление описания движения тела и построение графиков движения по заданному уравнению прямолинейного равномерного движения

Задача 1

Дано: уравнение движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. построить график движения

Заданное уравнение сравниваем с формулой и определяем коэффициенты.
Не забываем делать чертеж, чтобы еще раз обратить внимание на направление вектора скорости.

Задача 2

Дано: уравнение движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. построить график движения

Задача 3

Дано: уравнение движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. построить график движения

Задача 4

Дано: уравнение движения тела

Найти:
1. составить описание движения
2. построить график движения

Тело находится в состоянии покоя в точке с координатой X=4м (состояние покоя — это частный случай движения, когда скорость тела равна нулю).

Задача 5

Дано:
начальная координата движущейся точки xo=-3 м
проекция вектора скорости Vx=-2 м/с

Найти:
1. записать уравнение движения
2. построить график движения
3. показать на чертеже векторы скорости и перемещения
4. найти координату точки через 10 секунд после начала движения

Решение задач физики и техники с применением интеграла

п.1. От ускорения к скорости и координате

Рассматривая применение производной в физике и технике (см. §51 данного справочника), мы во второй производной от уравнения прямолинейного равномерного движения \(x(t)\) пришли к постоянному ускорению \(a=const\).
С помощью интегрирования можно пройти обратный путь.
Начнем с постоянного ускорения \(a=const\).
Интеграл от ускорения по времени – это скорость: $$ v(t)=\int adt=a\int dt=at+C $$ Физический смысл постоянной интегрирования \(C\) в этом случае – начальная скорость \(v_0\). Получаем: $$ v(t)=at+v_0 $$ Интеграл от скорости по времени – это координата: $$ x(t)=\int v(t)dt=\int (at+v_0)dt=\frac<2>+v_0 t+C $$ Физический смысл постоянной интегрирования \(C\) в этом случае – начальная координата \(x_0\). Получаем: $$ x(t)=\frac<2>+v_0 t+x_0 $$ Таким образом, если нам известны ускорение \(a\), начальная скорость \(v_0\) и начальная координата \(x_0\), мы всегда сможем получить уравнение движения \(x(t)\).

п.2. Физические величины как интегралы других величин

Если \(v(t)\) — скорость некоторого физического процесса, уравнение этого процесса можно найти интегрированием: $$ f(t)=\int v(t)dt $$ Такие величины часто встречаются в различных разделах физики и техники.

Скорость \(v(t)=\int a(t)dt\)

Координата \(x(t)=\int v(t)dt\)

Угловое ускорение \(\beta(t)\)

Угловая скорость \(\omega(t)=\int \beta(t) dt\)

Угловая скорость \(\omega(t)\)

Угол поворота \(\varphi(t)=\int\omega(t)dt\)

Скорость расходования горючего \(u(t)\)

Масса горючего ракеты \(m(t)=\int u(t)dt\)

Заряд \(q(t)=\int I(t)dt\)

Работа \(A(t)=\int N(t)dt\)

ЭДС индукции \(\varepsilon(t)\)

Магнитный поток \(Ф(t)=-\int\varepsilon(t)dt\)

Скорость радиоактивного распада \(I(t)\)

Число атомов радиоактивного вещества \(N(t)=\int I(t)dt\)

Берутся интегралы и по другим переменным. Например, чтобы найти работу переменной силы \(F(x)\), нужно взять интеграл по координате: $$ A=\int_^F(x)dx $$ В трехмерном пространстве интегралы могут браться по всем трем координатам.
При решении уравнений в частных производных интегралы берутся и по времени и по координатам.

В современной физике интеграл по времени берётся также и от самого уравнение движения. Полученная скалярная величина называется действием и носит фундаментальный характер. В простейшем случае: $$ S_0=\int \overrightarrow

\cdot \overrightarrowdt $$ где \(\overrightarrow

\cdot \overrightarrow\) — скалярное произведение векторов импульса и скорости.

п.3. Примеры

Пример 1. Тело движется со скоростью \(v(t)\) (м/с). Найдите путь, пройденный за промежуток времени от \(t_1\) до \(t_2\) (с):
a) \(v(t)=3t+2t^2,\ t_1=0,\ t_2=6\)
Путь: \begin s(t)=\int_^v(t)dt\\ s=\int_<0>^<6>(3t+2t^2)dt=\left(\frac<3t^2><2>+\frac<2t^3><3>\right)|_<0>^<6>=\frac<3\cdot 36><2>+\frac<2\cdot 36\cdot 6><3>-0=\\ =3\cdot 18+4\cdot 36=54+144=198\ \text <(м)>\end
б) \(v(t)=2(t+2)^<5/2>,\ t_1=0,\ t_2=7\) \begin s=\int_<0>^<7>2(t+2)^<5/2>dt =2\cdot\frac<(t+2)^<\frac52+1>><\frac72>|_<0>^<7>=\frac47\cdot 9^<\frac72>-0=\frac47\cdot 3^7\approx 1250\ \text <(м)>\end

Пример 2. . Сила тока в проводнике изменяется по закону \(I(t)=e^<-t>+2t\) (время в секундах, ток в амперах). Какой заряд пройдет через поперечное сечение проводника за время от второй до шестой секунды?
Заряд: \begin Q(t)=\int_^I(t)dt \end По условию: \begin Q=\int_<2>^<6>(e^<-t>+2t)dt=(-e^<-t>+t^2)|_<2>^<6>=-e^<-6>+6^2+e^<-2>-2^2=\frac<1>-\frac<1>+32=\\ =\frac+32\approx 32,1\ \text <(Кл)>\end

Пример 3*. Найдите путь, который пройдет тело от начала движения до возвращения в исходную точку, если его скорость \(v(t)=18t-9t^2\) (время в секундах, скорость в м/с). Движение тела прямолинейное.

Если тело вернулось в исходную точку, оно меняло направление движения.
В момент разворота скорость равна нулю. Решаем уравнение: $$ 18t-9t^2=0\Rightarrow 9t(2-t)=0\Rightarrow \left[ \begin t=0\\ t=2 \end \right. $$ \(t=0\) – начало движения, \(t=2\) — разворот.

Уравнение движения: $$ x(t)=\int(18t-9t^2)dt=9t^2-3t^3+C $$ В начальный момент времени \(x_0=0\Rightarrow C=0\) $$ x(t)=9t^2-3t^3 $$ В точке C(2;12) кривая \(x(t)\) имеет максимум. Тело двигалось в течение 2 с в одну сторону и прошло 12 м, а затем за 1 с вернулось обратно.

Общий путь: 12+12 = 24 м.

Пример 4*. Найдите работу, которую необходимо совершить, чтобы выкачать воду из полусферического котла радиуса R м.

Найдем работу \(dA\), которую нужно совершить, чтобы выкачать слой воды толщиной \(dH\) с глубины \(H\).
Радиус слоя на глубине \(H:\ r^2=R^2-H^2\) — по теореме Пифагора.
Объем слоя воды: \(dV=\pi r^2 dH=\pi(R^2-H^2)dH\)
Масса слоя воды: \(dm=\rho dV=\pi\rho(R^2-H^2)dH\)
Работа по подъему слоя на высоту \(H\): $$ dA=dm\cdot gH=\pi\rho gH(R^2-H^2)dH $$ Получаем интеграл: \begin A=\int_<0>^dA=\int_<0>^\pi\rho gH(R^2-H^2)dH=\pi\rho g\int_<0>^(HR^2-H^3)dH=\\ =\pi\rho g\left(\frac<2>R^2-\frac<4>\right)|_<0>^=\pi\rho g\left(\frac<2>-\frac<4>-0\right)=\frac\pi 4=\rho gR^4 \end Ответ: \(A=\frac\pi 4=\rho gR^4\)

Пример 5*. Какую работу выполняют при запуске ракеты массой m кг с поверхности планеты на высоту h м, если радиус планеты равен R м и масса планеты равна M кг?
Сравните работу при запуске ракеты с Земли и Луны на высоту одного радиуса небесного тела, если ускорение свободного падения на поверхности Луны \(g_M=1,62\) м/с 2 , радиус Луны \(R_M=1737\) км; для Земли соответственно \(g_E=9,81\) м/с 2 \(R_E=6371\) км.

Ускорение свободного падения на поверхности планеты: \(g_0=G\frac\)
Ускорение свободного падения при подъеме на высоту x: \begin g(x)=G\frac <(R+x)^2>\end Работа по преодолению силы тяжести \(F(x)=mg(x)\) при подъеме ракеты на высоту h: \begin A=\int_<0>^mg(x)dx=m\int_<0>^G\frac<(R+x)^2>dx=GmM\int_<0>^\frac<(R+x^2)>=\\ =GmM\cdot\left(-\frac<1>\right)|_<0>^=GmM\cdot\left(-\frac<1>+\frac1R\right)=GmM\left(\frac1R-\frac<1>\right)=\\ =GmM\frac=GmM\frac \end Также, если выразить работу через ускорение свободного падения на поверхности планеты: $$ A=\frac\frac=mg_0\frac